【备战2024年中考】中考数学几何专项练习：相似模型--母子型相似（教师版+学生版）.zip

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1．如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ．
2．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
3．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
4．在中，，垂直平分，分别交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
5．如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，于点G，于点F，．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的值．
6．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，
(1)求证：△DAC∽△ABC；
(2)求△ACD的面积．
7．如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知，．求当该菱形改变为正方形，其余条件不变时正方形的边长．
8．如图，点P是菱形的对角线上一点，连接并延长交于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
9．（1）【基础模型】：
如图1，在中，为上一点，．求证：．
（2）【尝试应用】：
如图2，在平行四边形中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长．
（3）【更上层楼】：
如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，请直接写出菱形的边长．

10．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
11．解答下列各题：
（1） [基础巩固]
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．
（2）[尝试应用]
如图2，在平行四边形ABCD中，F为AB上一点，E为BC延长线上一点， ∠AEF＝∠D．若AE＝6，BF＝5，求CD的长．
（3）[拓展提高]
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝4EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝3，DF＝4，求菱形ABCD的边长．
12．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与 C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．
（1）求证：△APF∽△EPC；
（2）求证：PA2＝PG•PF
（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．
13．如图，，，，．点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，的面积等于面积的？
（2）经过几秒，与相似？
14．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：AG＝CG；
（2）求证：△AEG∽△FAG；
（3）若GE•GF＝9，求CG的长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，联结DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E交DB于点G，垂足为点G．
（1）求证：EB2＝EG•EA；
（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC．求证：BE＝CE．
16．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，连接DE、DC，DE交AC于点G，且DE＝DC．
（1）请证明∠ACD＝∠BDE；
（2）若AB＝mAD，求的值（用含m的式子表示）
（3）如图2，将△ABC沿BC翻折，若点A的对应点A'恰好落在DE的延长线上，求的值．
17．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
(1)求证：AF＝CF；
(2)求证：AF2＝EF•GF；
(3)若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
18．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
(1)求证：AG＝CG；
(2)若GE•GF＝9，求CG的长．
19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CG⊥AD于点G，连接EG．
(1)求证：CD2＝DG•DA；
(2)如图1，若点D是BC中点，求证：CF＝2EF；
(3)如图2，若GC＝2，GE＝2，求证：点F是CE中点．
20．模型建立：
(1)如图1，在中，是上一点，，求证：；
(2)类比探究：如图2，在菱形中，、分别为边、上的点，且，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点．
①求证：；
②若，，，求的长．
21．已知矩形，点E、F分别在、边上运动，连接、，记、交于点P．
-
(1)如图1，若，，，求线段的长度；
(2)如图2，若，，求；
(3)如图3，连接，若，，，求的长度．
22．已知在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E为射线BC上的一个动点，AE与边CD交于点G．
（1）如图1，连接对角线BD交AE于点F，连接CF，若AF2＝CG•CD，试求∠CFE的度数；
（2）如图2，点F为AE上一点，且∠ADF＝∠AED，若菱形的边长为2，则当DE⊥BC时，求△CFE的面积；
（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，试求的最小值．
23．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）求证EG2＝GF•AF；
（3）若AG＝3，EG＝，求BE的长．
24．在△ABC中，点D是BC上一点，点E是AD上一点，且ED＝BD，∠EBC＝∠BAC，BE的延长线交AC于点F．

(1)求证：△AEF∽△BAF；
(2)如图2，若AD⊥BC，AE＝6，DE＝12，求AF的长；
(3)如图3，若AB＝AC，AD＝2BD，AF＝1，求CF的长．
25．在△ABC中，P为边AB上一点．
(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：＝AP•AB；
(2)若M为CP的中点，AC＝4．
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝7，求BP的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，求BP的长．
26．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．