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考点05 直线和圆大题归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)
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这是一份考点05 直线和圆大题归类-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)，文件包含考点05直线和圆大题归类原卷版docx、考点05直线和圆大题归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
1、求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．特别是类似阿波罗尼斯圆这类型。
（2）定义法：根据圆定义列方程．
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等
2、非圆形特别是未知型曲线，常用求轨迹的方法：
（1）定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程；
（2）参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；
（3）转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；
（4）几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.
3、解决直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与圆方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
4、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
5、解答直线与圆的题目要注意的两点：
（1）常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
考点一 直线和圆的切线问题
1．（2023秋·浙江金华·高二统考期末）在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点．
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且 ．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
2．（2022秋·北京昌平·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，且经过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积.
3．（2022秋·河南信阳·高二统考期中）已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于两点，求；
(3)过作圆的两条切线，求切线的长.
4．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．
(1)当在直线上时，求的值；
(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
5．（2022·高二单元测试）已知圆．
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标．
6．（2022秋·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期中）已知圆C：，直线l：．
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围．
7．（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知的顶点分别为，，．
(1)求外接圆的方程；
(2)直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的最小值，并求点的坐标．
8．（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆（圆心在第一象限）的半径为2，且与轴正半轴交于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)设点是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.
考点二 直线和圆的弦长问题
9．（2022秋·新疆哈密·高二校考期末）已知点,直线，直线过点且与垂直，直线交圆于两点．
(1)求直线的方程．
(2)求弦的长．
(3)求与直线平行且与圆相切的直线方程．
10．（2022秋·广东广州·高二校考期末）圆的圆心为，且过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆交两点，且，求.
11．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
12．（2022秋·山西·高二校联考期末）已知圆和直线.
(1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程；
(3)已知点在圆C上，求的最大值.
13．（2022秋·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知圆C经过点M（0，-2）和N（3，1），圆心C在直线上．直线l的方程为
(1)求圆C的标准方程；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最大值和最小值．
考点三 与圆有关的轨迹问题
14．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知动点M到点A（6，0）的距离等于M到点的距离的3倍，
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若直线与轨迹C没有交点，求k的取值范围.
15．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.
(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.
16．（2022秋·内蒙古包头·高二包头一中校考期中）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
17．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第十九中学校考期中）已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程．
考点四 直线和圆的最值问题
18．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）已知圆C：与直线l：
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程．
19．（2022秋·海南海口·高二校考期中）已知圆内有一点为过点且倾斜角为的弦.
(1)当时，求弦的长；
(2)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最小值.
20．（2022秋·吉林长春·高二校考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求的面积最小值．
21．（2022秋·湖南衡阳·高二校考期中）已知圆C：，直线l过定点．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
22．（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）已知圆和圆外一点．
(1)若过点P的直线截圆所得的弦长为8，求该直线的方程；
(2)求的最大值和最小值．
23．（2022秋·四川成都·高二校联考期中）已知圆过点，且与轴相切于坐标原点，过直线上的一动点引圆的两条切线，，切点分别为，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点为线段的中点，点为坐标原点，求的最大值．
考点五 韦达定理及其应用
24．（2022秋·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若，其中O为坐标原点，求的面积．
25．（2022·全国·高二期末）已知与直线.
(1)若，判断直线与位置关系；
(2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值.
26．（2022秋·北京·高二北京四中校考期中）已知圆C与圆关于直线对称.
(1)求圆C的方程；
(2)若A，B为圆C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线OA，OB，AB的斜率分别为，，，当时，求的取值范围.
27．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆市铁路中学校校考期中）已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐标原点，求直线的方程.
考点六 直线和圆的定点、定值问题
28．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰市元宝山区第一中学校考期中）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程；
(3)若Q是直线上的动点，过点Q作圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，探究：直线MN是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由.
29．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线被圆M截得的弦长为2.
(1)求圆M的方程，并判断圆M 与圆N：的位置关系；
(2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.
31．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）己知圆，直线与圆O交于A，B两点．
(1)求；
(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．
32．（2022秋·山东潍坊·高二统考期中）已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
33．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
(1)求曲线的方程；
(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
34．（2022秋·山东菏泽·高二统考期末）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．
(1)求圆Q的方程；
(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值．
考点七 直线和圆的探索性问题
35．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）已知直线：，圆C：．
(1)若直线与圆C相切，求k的值．
(2)若直线与圆C交于A，B两点，是否存在过点的直线垂直平分弦AB？若存在，求出直线与直线的交点坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆经过点，与轴正半轴交于点.
(1)求的值；
(2)圆上是否存在点，使得的面积为15？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
37．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知圆．
(1)求过点与圆O相切的直线方程；
(2)点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围．
38．（2022秋·山东·高二山东省实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
(1)求圆的标准方程；
(2)设点，在圆上是否存在点使，若存在，请求出满足条件的点的个数；若无，请说明理由．
39．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）已知圆：.
(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
(2)当圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）时.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.
40．（2022秋·四川内江·高二统考期末）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．
(1)求圆的标准方程；
(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．
考点八 直线与圆的实际应用
41．（2022秋·黑龙江绥化·高二校考期中）一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．
(1)若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程．
(2)科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？
42．（2022秋·辽宁大连·高二统考期末）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．
(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；
(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；
(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围．
43．（2022秋·河南洛阳·高二统考期中）有一种大型商品，，两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍.已知，两地相距40公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和商品价格的总费用较低.求，两地的售货区域的分界线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
1、求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．特别是类似阿波罗尼斯圆这类型。
（2）定义法：根据圆定义列方程．
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等
2、非圆形特别是未知型曲线，常用求轨迹的方法：
（1）定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程；
（2）参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；
（3）转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；
（4）几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.
3、解决直线与圆相交问题，韦达定理题型常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与圆方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
4、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
5、解答直线与圆的题目要注意的两点：
（1）常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
考点一 直线和圆的切线问题
1．（2023秋·浙江金华·高二统考期末）在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点．
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且 ．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
2．（2022秋·北京昌平·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，且经过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点作圆的切线与轴交于点，求直线的方程及的面积.
3．（2022秋·河南信阳·高二统考期中）已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆交于两点，求；
(3)过作圆的两条切线，求切线的长.
4．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．
(1)当在直线上时，求的值；
(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
5．（2022·高二单元测试）已知圆．
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得的长度取得最小值的点的坐标．
6．（2022秋·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期中）已知圆C：，直线l：．
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当时，过圆C上点作圆的切线交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求的取值范围．
7．（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知的顶点分别为，，．
(1)求外接圆的方程；
(2)直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的最小值，并求点的坐标．
8．（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆（圆心在第一象限）的半径为2，且与轴正半轴交于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)设点是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.
考点二 直线和圆的弦长问题
9．（2022秋·新疆哈密·高二校考期末）已知点,直线，直线过点且与垂直，直线交圆于两点．
(1)求直线的方程．
(2)求弦的长．
(3)求与直线平行且与圆相切的直线方程．
10．（2022秋·广东广州·高二校考期末）圆的圆心为，且过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆交两点，且，求.
11．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知圆的圆心为原点，且与直线相切，直线过点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
12．（2022秋·山西·高二校联考期末）已知圆和直线.
(1)证明：不论m为何实数，直线l都与圆C相交；
(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程；
(3)已知点在圆C上，求的最大值.
13．（2022秋·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）已知圆C经过点M（0，-2）和N（3，1），圆心C在直线上．直线l的方程为
(1)求圆C的标准方程；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最大值和最小值．
考点三 与圆有关的轨迹问题
14．（2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知动点M到点A（6，0）的距离等于M到点的距离的3倍，
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)若直线与轨迹C没有交点，求k的取值范围.
15．（2022秋·福建泉州·高二校考期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.
(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.
16．（2022秋·内蒙古包头·高二包头一中校考期中）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
17．（2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第十九中学校考期中）已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程．
考点四 直线和圆的最值问题
18．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）已知圆C：与直线l：
(1)证明：直线和圆恒有两个交点；
(2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程．
19．（2022秋·海南海口·高二校考期中）已知圆内有一点为过点且倾斜角为的弦.
(1)当时，求弦的长；
(2)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最小值.
20．（2022秋·吉林长春·高二校考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，且过点．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求的面积最小值．
21．（2022秋·湖南衡阳·高二校考期中）已知圆C：，直线l过定点．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
22．（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）已知圆和圆外一点．
(1)若过点P的直线截圆所得的弦长为8，求该直线的方程；
(2)求的最大值和最小值．
23．（2022秋·四川成都·高二校联考期中）已知圆过点，且与轴相切于坐标原点，过直线上的一动点引圆的两条切线，，切点分别为，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点为线段的中点，点为坐标原点，求的最大值．
考点五 韦达定理及其应用
24．（2022秋·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若，其中O为坐标原点，求的面积．
25．（2022·全国·高二期末）已知与直线.
(1)若，判断直线与位置关系；
(2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的值.
26．（2022秋·北京·高二北京四中校考期中）已知圆C与圆关于直线对称.
(1)求圆C的方程；
(2)若A，B为圆C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线OA，OB，AB的斜率分别为，，，当时，求的取值范围.
27．（2022秋·重庆九龙坡·高二重庆市铁路中学校校考期中）已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐标原点，求直线的方程.
考点六 直线和圆的定点、定值问题
28．（2022秋·内蒙古赤峰·高二赤峰市元宝山区第一中学校考期中）已知圆C经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程；
(3)若Q是直线上的动点，过点Q作圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，探究：直线MN是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由.
29．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．
(1)求点E的轨迹方程；
(2)过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线被圆M截得的弦长为2.
(1)求圆M的方程，并判断圆M 与圆N：的位置关系；
(2)若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得?若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.
31．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）己知圆，直线与圆O交于A，B两点．
(1)求；
(2)设过点的直线交圆O于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点S满足．证明：直线SN过定点．
32．（2022秋·山东潍坊·高二统考期中）已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
33．（2022秋·山东泰安·高二统考期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
(1)求曲线的方程；
(2)已知斜率为的直线与曲线相交于异于原点的两点直线的斜率分别为，，且．若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
34．（2022秋·山东菏泽·高二统考期末）已知点关于直线的对称点为Q，以Q为圆心的圆与直线相交于A，B两点，且．
(1)求圆Q的方程；
(2)过坐标原点O任作一直线交圆Q于C，D两点，求证：为定值．
考点七 直线和圆的探索性问题
35．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）已知直线：，圆C：．
(1)若直线与圆C相切，求k的值．
(2)若直线与圆C交于A，B两点，是否存在过点的直线垂直平分弦AB？若存在，求出直线与直线的交点坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知圆经过点，与轴正半轴交于点.
(1)求的值；
(2)圆上是否存在点，使得的面积为15？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
37．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）已知圆．
(1)求过点与圆O相切的直线方程；
(2)点在直线上，若在圆O上存在两个不同的点A，B，使，求的取值范围．
38．（2022秋·山东·高二山东省实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．
(1)求圆的标准方程；
(2)设点，在圆上是否存在点使，若存在，请求出满足条件的点的个数；若无，请说明理由．
39．（2022秋·福建泉州·高二校联考期中）已知圆：.
(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
(2)当圆与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）时.问：是否存在圆：，使得过点M的任一条直线与该圆的交点，，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.
40．（2022秋·四川内江·高二统考期末）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于．
(1)求圆的标准方程；
(2)设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由．
考点八 直线与圆的实际应用
41．（2022秋·黑龙江绥化·高二校考期中）一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．
(1)若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程．
(2)科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？
42．（2022秋·辽宁大连·高二统考期末）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．
(1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）；
(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S；
(3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围．
43．（2022秋·河南洛阳·高二统考期中）有一种大型商品，，两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍.已知，两地相距40公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和商品价格的总费用较低.求，两地的售货区域的分界线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
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