2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第2讲　立体几何中的计算问题——线线角与线面角

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1．(人A必二P152例4改)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，则直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为( A )
A． eq \f(\r(6),6)B． eq \f(\r(5),5)
C． eq \f(\r(3),3)D． eq \f(\r(6),3)
【解析】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，故∠ACA1为A1C与平面ABCD所成的角，且AA1＝1，所以CA1＝ eq \r(12＋12＋22)＝ eq \r(6)，所以sin ∠ACA1＝ eq \f(AA1,CA1)＝ eq \f(\r(6),6)．
(第1题)
2．(人A选必一P38练习1)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
A． eq \f(\r(30),10)B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(30),15)D． eq \f(\r(15),10)
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，F1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，所以 eq \(BD1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，－1))， eq \(AF1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，－1))，所以|cs 〈 eq \(BD1,\s\up6(→))， eq \(AF1,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|\(BD1,\s\up6(→))·\(AF1,\s\up6(→))|,|\(BD1,\s\up6(→))||\(AF1,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\f(3,4),\r(\f(1,4)＋\f(1,4)＋1)×\r(\f(1,4)＋1))＝ eq \f(\r(30),10)．
(第2题)
3．(人A选必一P41练习3)如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值是__ eq \f(3\r(17),17)__．
(第3题)
【解析】 以O为坐标原点， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))， eq \(OA,\s\up6(→))为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，3，0)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，0，－3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，3，－3)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，0，0)．设m＝(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·m＝2x－3z＝0，,\(AC,\s\up6(→))·m＝3y－3z＝0，))令y＝1，则m＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1，1))，所以|cs 〈 eq \(OB,\s\up6(→))，m〉|＝ eq \f(|\(OB,\s\up6(→))·m|,|\(OB,\s\up6(→))||m|)＝ eq \f(3,2×\f(\r(17),2))＝ eq \f(3\r(17),17)，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为 eq \f(3\r(17),17)．
(第3题)
4．(多选)如图，已知长方体的长和宽都是6 cm，高是2 eq \r(3) cm，那么下列结论中正确的是( ACD )
(第4题)
A．BC和A′C′所成的角是45°
B．AA′和BC′所成的角是30°
C．AC′与底面ABCD所成角的正切值是 eq \f(\r(6),6)
D．AB′与底面ABCD所成的角是30°
【解析】 BC和AC所成的∠ACB是 BC和A′C′所成的角，因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠ACB＝45°，故A正确；AA′和AD′所成的∠A′AD′是 AA′和BC′所成的角，因为tan ∠A′AD′＝ eq \f(A′D′,AA′)＝ eq \f(6,2\r(3))＝ eq \r(3)，所以∠A′AD′＝60°，故B错误；AC′和AC所成的∠CAC′是 AC′与底面ABCD所成的角，因为tan ∠CAC′＝ eq \f(CC′,AC)＝ eq \f(2\r(3),6\r(2))＝ eq \f(\r(6),6)，故C正确；AB′和AB所成的∠BAB′是 AB′与底面ABCD所成的角，因为tan ∠BAB′＝ eq \f(BB′,AB)＝ eq \f(2\r(3),6)＝ eq \f(\r(3),3)，所以∠BAB′＝30°，故D正确．
举题固法
目标引领
直线与直线所成的角
例1 如图，在三棱锥M－ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，MA＝2 eq \r(3)，F是MC的中点，求异面直线MB与AF所成角的余弦值．
(例1)
【解答】 方法一：如图(1)，取BC的中点E，连接FE，AE．因为F是MC的中点，所以FE∥BM．易得MB＝4，FE＝2，AF＝2，AE＝ eq \r(3)．在△AFE中，由余弦定理可知cs ∠AFE＝ eq \f(22＋22－3,2×2×2)＝ eq \f(5,8)，所以异面直线MB与AF所成角的余弦值为 eq \f(5,8)．
(例1(1))
方法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示，易知A(0，0，0)，B( eq \r(3)，1，0)，F(0，1， eq \r(3))，M(0，0，2 eq \r(3))，所以 eq \(MB,\s\up6(→))＝( eq \r(3)，1，－2 eq \r(3))， eq \(AF,\s\up6(→))＝(0，1， eq \r(3))，则|cs 〈 eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|\(MB,\s\up6(→))·\(AF,\s\up6(→))|,|\(MB,\s\up6(→))||\(AF,\s\up6(→))|)＝ eq \f(5,4×2)＝ eq \f(5,8)，所以异面直线MB与AF所成角的余弦值为 eq \f(5,8)．
(例1(2))
(1) 综合法求线线角：①根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；②解三角形，求出所作的角．
(2) 向量法求线线角：先求出直线的方向向量，再求出两方向向量夹角的余弦值的绝对值．
变式1 如图所示是底面半径为3的圆锥OP，D为PA的中点，∠AOC＝ eq \f(π,3)，求异面直线CD与AB所成的角．
(变式1)
【解答】 方法一：如图(1)，取OA边上中点E，连接DE，CE，AC，因为DE是△AOP的中位线，所以DE∥OP．因为OP⊥底面ABC，所以DE⊥底面ABC，所以DE⊥AB．因为OA＝OC，∠AOC＝ eq \f(π,3)，可得△AOC为等边三角形，所以CA＝CO，又E为OA中点，所以CE⊥OA，即AB⊥CE．因为CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE．又CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成的角为 eq \f(π,2)．
(变式1(1))
方法二：取圆弧AB中点E，连接OE，则OE⊥AB．以O为坐标原点， eq \(OE,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OP,\s\up6(→))的正方向分别为x，y，z轴，设OP＝h，可建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(0，－3，0)，B(0，3，0)，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，－\f(3,2)，0))，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(3,2)，\f(h,2)))，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，6，0)， eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，0，\f(h,2)))，所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝0，即AB⊥CD，所以异面直线AB与CD所成的角为 eq \f(π,2)．
(变式1(2))
直线与平面所成的角
例2－1 (2023·厦门四模)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC＝12，E是AB的中点，D在AC上，DE⊥AB，如图，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A1的位置，且二面角A1－DE－B的大小为60°．
(例2－1)
(1) 求证：A1C⊥BE；
【解答】 因为DE⊥BE，DE⊥A1E，BE∩A1E＝E，所以DE⊥平面A1EB，则∠A1EB为二面角A1－DE－B的平面角，即∠A1EB＝60°．因为EA1＝EB，所以△BEA1为等边三角形．如图，取BE的中点O，连接OA1，OC，CE，则BE⊥A1O．因为BC＝BE＝CE，所以BE⊥OC．又OC∩OA1＝O，所以BE⊥平面OCA1．因为A1C⊂平面OCA1，所以BE⊥A1C．
(2) 求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值．
【解答】 由(1)知DE⊥平面A1EB，从而DE⊥A1O．因为DE⊥BE，BE⊥OC，所以DE∥CO，所以CO⊥A1O，所以OC，OB，OA1两两垂直，以O为坐标原点，以 eq \(OC,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OA1,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A1(0，0，3 eq \r(3))，C(3 eq \r(3)，0，0)，D(2 eq \r(3)，－3，0)，E(0，－3，0)，所以 eq \(EA1,\s\up6(→))＝(0，3，3 eq \r(3))， eq \(A1C,\s\up6(→))＝(3 eq \r(3)，0，－3 eq \r(3))， eq \(CD,\s\up6(→))＝(－ eq \r(3)，－3，0)．设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(A1C,\s\up6(→))＝0，,n·\(CD,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3\r(3)x－3\r(3)z＝0，,－\r(3)x－3y＝0，))令y＝1，则n＝(－ eq \r(3)，1，－ eq \r(3))．设直线A1E与平面A1CD所成的角为θ，则sin θ＝|cs 〈 eq \(EA1,\s\up6(→))，n〉|＝ eq \f(|0＋3－9|,6×\r(7))＝ eq \f(\r(7),7)，故直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值为 eq \f(\r(7),7)．
(例2－1)
向量法求线面角：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角．
例2－2 如图，在五面体ABCDFE中，四边形BCFE为等腰梯形，EF∥BC，且BE＝EF＝ eq \f(1,2)BC．
(例2－2)
(1) 求证：AD∥BC；
【解答】 依题意知EF∥BC，EF⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．又EF⊂平面ADFE，平面ABCD∩平面ADFE＝AD，所以EF∥AD，所以AD∥BC．
(2) 若△ABE为等边三角形，且平面ABE⊥平面BCFE，求AC与平面ABE所成的角．
【解答】 如图，在等腰梯形BCFE中，不妨设BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，分别过E，F作BC的垂线EG，FH，则BE＝2BG，故∠EBC＝60°，所以EC＝ eq \r(BE2＋BC2－2BE·BC·cs 60°)＝ eq \r(3)，所以BC2＝BE2＋CE2，所以BE⊥EC．又平面ABE⊥平面BCFE，平面ABE∩平面BCFE＝BE，EC⊂平面BCFE，因此CE⊥平面ABE，从而CA与平面ABE所成角即为∠CAE，0°＜∠CAE＜90°，其中AE＝BE＝1，EC＝ eq \r(3)，因而tan ∠CAE＝ eq \f(CE,AE)＝ eq \r(3)，故∠CAE＝60°，从而CA与平面ABE所成角为60°．
(例2－2)
综合法求线面角：①先按定义作出线面角，然后在待求角所在的直角三角形中求解；②经常要设定某些参数以助推理论证或计算求解；③要落实垂足的位置．
变式2 (2022·全国甲卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝ eq \r(3)．
(变式2)
(1) 求证：BD⊥PA；
【解答】 如图(1)，在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F．因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE＝BF＝ eq \f(1,2)，故DE＝ eq \f(\r(3),2)，BD＝ eq \r(DE2＋BE2)＝ eq \r(3)，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD．因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD．又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA．
(变式2(1))
(2) 求PD与平面PAB所成角的正弦值．
【解答】 由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，如图(2)，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0， eq \r(3)，0)，P(0，0， eq \r(3))，则 eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，0， eq \r(3))， eq \(BP,\s\up6(→))＝(0，－ eq \r(3)， eq \r(3))， eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，0， eq \r(3))．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AP,\s\up6(→))＝0，,n·\(BP,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x＋\r(3)z＝0，,－\r(3)y＋\r(3)z＝0，))令z＝1，则n＝( eq \r(3)，1，1)，|cs 〈n， eq \(DP,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|n·\(DP,\s\up6(→))|,|n||\(DP,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\r(5),5)，所以PD与平面PAB所成角的正弦值为 eq \f(\r(5),5)．
(变式2(2))
随堂内化
1．(2021·全国乙卷理)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1中点，则直线PB与AD1所成的角为( D )
A． eq \f(π,2)B． eq \f(π,3)
C． eq \f(π,4)D． eq \f(π,6)
【解析】 如图，连接BC1，PC1，PB，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则BC1＝2 eq \r(2)，PC1＝ eq \f(1,2)D1B1＝ eq \r(2)，sin ∠PBC1＝ eq \f(PC1,BC1)＝ eq \f(1,2)，所以∠PBC1＝ eq \f(π,6)．
(第1题)
2．如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在 eq \(AB,\s\up8(︵))上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( A )
(第2题)
A． eq \f(\r(3),4)B． eq \f(1,2)
C． eq \f(1,4)D． eq \f(3,4)
【解析】 因为∠AOD＝2∠BOD，且∠AOD＋∠BOD＝π，所以∠BOD＝ eq \f(π,3)．连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆O的半径为2，则A(0，－2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2 eq \r(3))，D( eq \r(3)，1，0)， eq \(AD,\s\up6(→))＝( eq \r(3)，3，0)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(0，－2，2 eq \r(3))．设异面直线AD与BC所成的角为θ，则cs θ＝|cs 〈 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))〉|＝ eq \f(|\(AD,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(|－6|,2\r(3) ×4)＝ eq \f(\r(3),4)，所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为 eq \f(\r(3),4)．
(第2题)
3．(多选)若正四棱柱ABCD eq \a\vs4\al(－)A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则下列说法中正确的是( AC )
A．异面直线BD1与AD所成角的正切值是 eq \r(5)
B．直线BD1与底面ABCD所成的角为30°
C．直线AC与BD1所成的角为90°
D．直线B1C1与BD1所成的角为90°
【解析】 如图，因为AD∥A1D1，所以异面直线BD1与AD所成的角就是BD1与A1D1所成的角，即∠A1D1B，由勾股定理得A1B＝2 eq \r(5)，tan ∠A1D1B＝ eq \r(5)，故A正确；直线BD1与底面ABCD所成的角为∠DBD1，cs ∠D1BD＝ eq \f(BD,BD1)＝ eq \f(2\r(2),2\r(6))＝ eq \f(\r(3),3)≠ eq \f(\r(3),2)＝cs 30°，故B错误；易知AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BD1，故C正确；直线BC与BD1所成的角就是B1C1与BD1所成的角，显然不是90°，故D错误．
(第3题)
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧棱B1B与截面A1BC1所成角的正弦值是__ eq \f(\r(3),3)__．
【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)， eq \(A1B,\s\up6(→))＝(0，1，－1)， eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(－1，1，0)， eq \(BB1,\s\up6(→))＝(0，0，1)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(A1B,\s\up6(→))＝y－z＝0，,n·\(A1C1,\s\up6(→))＝－x＋y＝0，))令x＝1，得n＝(1，1，1)．设B1B与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝ eq \f(|n·\(BB1,\s\up6(→))|,|n||\(BB1,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\r(3),3)．
(第4题)