2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划1　数学建模——生产生活情境下预测与决策问题

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：学案 特别策划1　数学建模——生产生活情境下预测与决策问题，共6页。试卷主要包含了762≈6 849，01)；，3＋82＋87＋87，1x＋10，5＋68＋67等内容，欢迎下载使用。

建立回归模型进行预测
例1 (2023·温州期初)中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气．每年的《中国生态环境状态公报》都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017－2021五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表．
并计算得：eq \i\su(i＝1,5,y)eq \\al(2,i)＝34 321.74，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1 268.1．
附：相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(eq \i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2eq \i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，82.762≈6 849.22，eq \r(756.4)≈27.5．
(1) 求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数(精确到0.01)；
【解答】 由已知可得eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(78＋79.3＋82＋87＋87.5,5)＝82.76，所以eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝eq \i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq \x\t(x)·eq \x\t(y)＝1 268.1－5×3×82.76＝26.7．又eq \i\su(i＝1,5,x)eq \\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＝55，所以eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))2＝eq \i\su(i＝1,5,x)eq \\al(2,i)－5eq \x\t(x)2＝10．又eq \i\su(i＝1,5, ) (yi－eq \x\t(y))2＝eq \i\su(i＝1,5,y)eq \\al(2,i)－5eq \x\t(y)2≈3 4321.74－5×6 849.22＝75.64，所以r＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(eq \i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2eq \i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2))≈eq \f(26.7,\r(756.4))≈eq \f(26.7,27.5)≈0.97．
(2) 请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的经验回归方程(精确到0.01)和预测2023年(x＝7)的空气质量优良天数的百分比；
【解答】 由(1)知，y与x的相关系数r≈0.97接近1，所以y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．因为eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y), eq \i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(26.7,10)＝2.67，eq \(a,\s\up6(^))＝82.76－2.67×3＝74.75，故经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2.67x＋74.75．当x＝7时，eq \(y,\s\up6(^))＝2.67×7＋74.75＝93.44，故2023年的空气质量优良天数的百分比为93.44%．
(3) 试判断用所求回归方程是否可预测2026年(x＝10)的空气质量优良天数的百分比，并说明理由．
【解答】由(2)知，当x＝10时，eq \(y,\s\up6(^))＝2.67×10＋74.75＝101.45＞100，显然不合常理．其原因如下：根据该组数据的相关系数r≈0.97，是可以推断2017年—2021年间y与x两个变量正线性相关，且相关程度很强，由此来估计2023年的空气质量优良天数的百分比有一定的依据．但由于经验回归方程的时效性，随着国家对生态环境的治理，空气质量优良天数的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1，故用该回归直线方程去预测今后几年的空气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据．
变式1 某公司负责生产的A型材料是我国神舟飞船的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造．根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(单位：亿元)与产品的直接收益y(单位：亿元)的数据统计如下：
当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：eq \(y,\s\up6(^))＝4.1x＋10.9，模型②：eq \(y,\s\up6(^))＝21.3eq \r(x)－14.4；当x＞17时，确定y与x满足的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋eq \(a,\s\up6(^))．
附： 刻画回归效果的决定系数R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n, )yi－\(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2)，且当R2越大时，经验回归方程的拟合效果越好．eq \r(17)≈4.1．
(1) 根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①，②的决定系数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
【解答】 方法一：对于模型①，eq \x\t(y)＝eq \f(15＋22＋27＋40＋48＋54＋60,7)＝38，eq \i\su(i＝1,7, )(yi－eq \x\t(y))2＝eq \i\su(i＝1,7,y)eq \\al(2,i)－7eq \x\t(y)2＝1 750，故Req \\al(2,1)＝1－eq \f(79.13,1 750)≈0.955．对于模型②，同理Req \\al(2,2)＝1－eq \f(20.2,1 750)≈0.988，故模型②的拟合精度更高、更可靠．故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为eq \(y,\s\up6(^))＝21.3×eq \r(17)－14.4≈72.93(亿元)．
方法二：由79.13＞20.2，知模型②的拟合精度更高、更可靠．
(2) 为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以经验回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．
【解答】 当x＞17时，后五组的eq \x\t(x)＝eq \f(21＋22＋23＋24＋25,5)＝23，eq \x\t(y)＝eq \f(68.5＋68＋67.5＋66＋65,5)＝67，由最小二乘法可得eq \(a,\s\up6(^))＝67－(－0.7)×23＝83.1，故当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为－0.7×20＋83.1＋5＝74.1＞72.93，故投入17亿元比投入20亿元时收益小．
计算期望与方差进行决策
例2 (2023·泰安一模)某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．
(1) 若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元．
①求员工所获得的奖励为1 000元的概率；
②求员工所获得的奖励金额的分布列及数学期望．
【解答】 设员工所获得的奖励金额为X．
①P(X＝1 000)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(2,4))＝eq \f(1,2)，所以员工所获得的奖励金额为1 000元的概率为eq \f(1,2)．
②X所有可能的取值为400,1 000，P(X＝400)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,4))＝eq \f(1,2)，P(X＝1 000)＝1－P(X＝400)＝eq \f(1,2)，所以X的分布列为
所以员工所获得的奖励金额的数学期望为E(X)＝400×eq \f(1,2)＋1 000×eq \f(1,2)＝700(元)．
(2) 公司对奖励额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
【解答】 根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1 000元，所以先寻找期望为1 000元的可能方案．对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200,200,200,800)的方案，因为1 000元是面值之和的最大值，所以期望不可能为1 000元；如果选择(800,800,800,200)的方案，因为1 000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1 000元．因此可能的方案是(800,800,200,200)，记为方案1．对于面值600元和400元的情况，同理排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案，所以可能的方案是(400,400,600,600)，记为方案2．对于方案1，设员工所获得的奖励金额为X1，X1可取400，1 000，1 600，P(X＝400)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，P(X＝1 000)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(2,4))＝eq \f(2,3)，P(X＝1 600)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，所以X1的期望为E(X1)＝400×eq \f(1,6)＋1 000×eq \f(2,3)＋1 600×eq \f(1,6)＝1 000，方差D(X1)＝(400－1 000)2×eq \f(1,6)＋(1 000－1 000)2×eq \f(2,3)＋(1 600－1 000)2×eq \f(1,6)＝120 000．对于方案2，设员工所获得的奖励金额为X2，X2可取800,1 000,1 200，P(X＝800)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，P(X＝1 000)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,2),C\\al(2,4))＝eq \f(2,3)，P(X＝1 200)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，所以X2的期望为E(X2)＝800×eq \f(1,6)＋1 000×eq \f(2,3)＋1 200×eq \f(1,6)＝1 000，方差D(X2)＝eq \f(1,6)×(800－1 000)2＋eq \f(2,3)×(1 000－1 000)2＋eq \f(1,6)×(1 200－1 000)2＝eq \f(40 000,3)．由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2．
变式2 (2023·邢台期末)灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠．该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量．
(变式2)
(1) 求X的分布列；
【解答】 设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，则P(ξ＝5)＝P(ξ＝7)＝P(ξ＝8)＝0.2，P(ξ＝6)＝0.4．X的所有取值是10,11,12,13,14,15,16，P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝11)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝12)＝0.42＋2×0.2×0.2＝0.24，P(X＝13)＝2×(0.2×0.2＋0.2×0.4)＝0.24，P(X＝14)＝0.22＋2×0.4×0.2＝0.2，P(X＝15)＝2×0.2×0.2＝0.08，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，故X的分布列为
(2) 若满足P(X≥n)≤0.6的n的最小值为n0，求n0；
【解答】 由(1)可知P(X≥12)＝0.8，P(X≥13)＝0.56，故n0＝13．
(3) 在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较n＝n0－1与n＝n0哪种方案更优．
【解答】 由(2)可知n＝n0－1＝12．在灯带安全使用寿命期内，当n＝12时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当n＝13时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，则E(u)＝24＋0.24×4＋0.2×8＋0.08×12＋0.04×16＝28.16，E(v)＝26＋0.2×4＋0.08×8＋0.04×12＝27.92．因为E(v)＜E(u)，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，n＝n0比n＝n0－1的方案更优．
1．预测问题：(1) 求经验回归方程；(2) 利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值．
2．决策问题：在实际问题中，已知两个随机变量ξ1，ξ2，当E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度．一般地，将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案．
年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码xi
1
2
3
4
5
百分比yi
78
79.3
82
87
87.5
序号
1
2
3
4
5
6
x
2
3
4
6
8
10
y
15
22
27
40
48
54
序号
7
8
9
10
11
12
x
13
21
22
23
24
25
y
60
68.5
68
67.5
66
65
回归模型
模型①
模型②
回归方程
eq \(y,\s\up6(^))＝4.1x＋10.9
eq \(y,\s\up6(^))＝21.3eq \r(x)－14.4
eq \i\su(i＝1,7, )(yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2
79.13
20.2
X
400
1 000
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
X
10
11
12
13
14
15
16
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04