2024年高考数学重难点突破讲义：学案 第4讲　随机变量的分布列、期望与方差

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1．(人A选必三P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝( B )
A．0B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(2,3)
【解析】 设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p．依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝eq \f(2,3)，故P(ξ＝0)＝1－p＝eq \f(1,3)．
2．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( A )
A．eq \f(7,3)B．4
C．－1D．1
【解析】 E(X)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3)．
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4．由此可以估计( B )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
4．(多选)已知2X－Y＝3，若X～B(10,0.8)，则下列说法正确的是( ABD )
A．E(X)＝8B．E(Y)＝13
C．D(X)＝3.2D．D(Y)＝6.4
【解析】 因为X～B(10,0.8)，则n＝10，p＝0.8，所以E(X)＝np＝10×0.8＝8，D(X)＝np(1－p)＝10×0.8×(1－0.8)＝1.6，又2X－Y＝3，则Y＝2X－3，所以E(Y)＝2E(X)－3＝16－3＝13，D(Y)＝22D(X)＝4×1.6＝6.4．
5．设0＜m＜1，随机变量ξ的分布列为
则当m在(0,1)上增大时，( D )
A．D(ξ)单调递增，最大值为eq \f(1,2)
B．D(ξ)先增后减，最大值为eq \f(1,3)
C．D(ξ)单调递减，最小值为eq \f(2,9)
D．D(ξ)先减后增，最小值为eq \f(1,6)
【解析】 由题知eq \f(a,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(2a－1,3)＝1，解得a＝1，所以E(ξ)＝0＋eq \f(m,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(m＋1,3)，所以D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(m＋1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(m＋1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(m＋1,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)(m2－m＋1)＝eq \f(2,9)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))．由二次函数性质可知，D(ξ)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递增，所以当m＝eq \f(1,2)时，D(ξ)有最小值eq \f(1,6)．
举题固法
目标引领
非标准模型的期望与方差
例1 (2023·新乡质检)2023年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，让学生每次从盒中不放回地摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．
(1) 求学生a摸球三次后停止摸球的概率；
【解答】 设事件E＝“学生a摸球三次后停止摸球”，则P(E)＝eq \f(A\\al(2,3),A\\al(3,4))＝eq \f(1,4)，故学生a摸球三次后停止摸球的概率为eq \f(1,4)．
(2) 记X为学生a摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
【解答】 随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4．P(X＝0)＝eq \f(1,4)，P(X＝1)＝eq \f(2,A\\al(2,4))＝eq \f(1,6)，P(X＝2)＝eq \f(1,A\\al(2,4))＋eq \f(A\\al(2,2),A\\al(3,4))＝eq \f(1,6)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,2)A\\al(2,2),A\\al(3,4))＝eq \f(1,6)，P(X＝4)＝eq \f(A\\al(3,3),A\\al(4,4))＝eq \f(1,4)．所以随机变量X的分布列为
期望E(X)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,4)＝2，方差D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,4)＋(1－2)2×eq \f(1,6)＋(2－2)2×eq \f(1,6)＋(3－2)2×eq \f(1,6)＋(4－2)2×eq \f(1,4)＝eq \f(7,3)．
变式1 李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过．经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为eq \f(1,2)，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为eq \f(1,24)，在三个路口都遇到红灯的概率为eq \f(1,4)，且他在各路口是否遇到红灯相互独立．
(1) 求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；
【解答】设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为p1，p2，p2＞p1＞eq \f(1,2)，依题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))1－p11－p2＝\f(1,24)，,\f(1,2)p1p2＝\f(1,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p1＝\f(2,3)，,p2＝\f(3,4)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p1＝\f(3,4)，,p2＝\f(2,3)))(舍去)，所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,8)．
(2) 记X为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望E(X)．
【解答】 由已知可得，X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq \f(1,24)，P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(11,24)，P(X＝3)＝eq \f(1,4)，所以X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,24)＋1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(11,24)＋3×eq \f(1,4)＝eq \f(23,12)．
期望与方差的性质
例2 (1) (多选)已知a，b，c∈(0,1)，随机变量ξ的分布列为
则下列说法正确的是( BC )
A．E(ξ－2)＝E(ξ)B．D(ξ－2)＝D(ξ)
C．E(ξ2)≥[E(ξ)]2D．D[(ξ－2)2]＝D(ξ2)
【解析】 因为E(ξ－2)＝E(ξ)－2，所以A错误；因为D(ξ－2)＝D(ξ)，所以B正确；因为D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq \i\su(i＝1,n,{)[xi－E(X)]2pi}＝eq \i\su(i＝1,n, )(xeq \\al(2,i)pi)－[E(X)]2，所以D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2≥0，所以E(ξ2)≥[E(ξ)]2，所以C正确；举特例，取a＝b＝c＝eq \f(1,3)，则E[(ξ－2)2]＝(1－2)2×eq \f(1,3)＋(2－2)2×eq \f(1,3)＋(3－2)2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，D[(ξ－2)2]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)，E(ξ2)＝1×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,3)＋9×eq \f(1,3)＝eq \f(14,3)，D(ξ2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(14,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(14,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(14,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(121,27)＋eq \f(4,27)＋eq \f(169,27)＝eq \f(294,27)＝eq \f(98,9)≠D[(ξ－2)2]，所以D错误．
(2) 已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且E(ξ)＝eq \f(7,2)，则实数x＝__eq \f(1,6)__；若随机变量η＝2ξ－3，则D(η)＝__eq \f(7,3)__．
【解析】 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝\f(1,3)，,2x＋3y＋\f(8,3)＝\f(7,2)，))解得x＝y＝eq \f(1,6)，所以D(ξ)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－2))2＋eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－3))2＋eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)－4))2＝eq \f(7,12)，所以D(η)＝4D(ξ)＝4×eq \f(7,12)＝eq \f(7,3)．
变式2 (1) (2023·温州二模)已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝eq \f(1,3)，则D(3X－2)＝( C )
A．9B．7
C．5D．3
【解析】 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,2)，所以D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，所以D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq \f(5,9)＝5．
(2) (多选)袋中有10个除颜色外完全相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是( ACD )
A．P(|Z－6|≤1)＝eq \f(97,105)B．E(X)＞E(Y)
C．D(X)＝D(Y)D．E(Z)＝eq \f(28,5)
【解析】 由题意知X，Y均服从于超几何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y，故P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,4)C\\al(4－k,6),C\\al(4,10))(k＝0,1,2,3,4)；从而P(|Z－6|≤1)＝1－P(Z＝8)－P(Z＝4)＝1－P(X＝4)－P(X＝0)＝eq \f(97,105)，故A正确；E(X)＝4×eq \f(4,10)＝eq \f(8,5)，E(Y)＝4－E(X)＝eq \f(12,5)，D(X)＝D(4－Y)＝D(Y)，故B错误，C正确；E(Z)＝2×E(X)＋E(Y)＝eq \f(28,5)，故D正确．
分层随机抽样的均值和方差
例3 某电池厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池．A，B生产线的产量之比为4∶5．现采用分层随机抽样的方法从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：
根据以上数据计算，由36个产品组成的样本的方差为__13__．
【解析】 设A生产线产品可充电次数为xi，i＝1,2,3，…，16，其均值eq \x\t(x)＝215，方差seq \\al(2,x)＝8，设B生产线产品可充电次数为yi，i＝1,2,3，…，20，其均值eq \x\t(y)＝212，方差seq \\al(2,y)＝13．设A与B总共这36个产品可充电次数为zi，i＝1,2,3，…，36，其均值为eq \x\t(z)，方差为seq \\al(2,z)，则eq \x\t(z)＝eq \f(215×16＋212×20,36)＝eq \f(640,3)．
方法一：因为s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2＝eq \f(1,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－2\x\t(x)·\i\su(i＝1,n,x)i＋\i\su(i＝1,n,)eq \x\t(x)2))＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2，所以eq \f(1,16)eq \i\su(i＝1,16,x)eq \\al(2,i)－2152＝8⇒eq \i\su(i＝1,16,x)eq \\al(2,i)＝739 728，eq \f(1,20)eq \i\su(i＝1,20,y)eq \\al(2,i)－2122＝13⇒eq \i\su(i＝1,20,y)eq \\al(2,i)＝899 140，所以seq \\al(2,z)＝eq \f(1,36)eq \i\su(i＝1,36,z)eq \\al(2,i)－eq \x\t(z)2＝eq \f(1,36)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,16,x)\\al(2,i)＋\i\su(i＝1,20,y)\\al(2,i)))－eq \x\t(z)2≈45 524.11－45 511.11＝13．
方法二：s2z＝eq \f(16,36)×[seq \\al(2,x)＋(eq \x\t(x)－eq \x\t(z))2]＋eq \f(20,36)×[seq \\al(2,y)＋(eq \x\t(y)－eq \x\t(z))2]＝eq \f(16,36)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(8＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(215－\f(640,3)))2))＋eq \f(20,36)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(13＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(212－\f(640,3)))2))＝13．
计算分层随机抽样的方差s2的步骤：
(1) 确定eq \x\t(x)1，eq \x\t(x)2，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)；
(2) 确定eq \x\t(x)；
(3) 应用公式s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \x\t(x)1－eq \x\t(x))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \x\t(x)2－eq \x\t(x))2]，计算s2．
变式3 某学习小组共10人，在一次测验中，4名女生的均分为70，方差为4；6名男生的均分为80，方差为14，则该小组10名同学的测验成绩的方差为__34__．
【解析】 该小组10名同学的测验成绩的均值为eq \x\t(x)＝eq \f(4,10)×70＋eq \f(6,10)×80＝76，所以该小组10名同学的测验成绩的方差为s2＝eq \f(4,10)×[4＋(76－70)2]＋eq \f(6,10)×[14＋(76－80)2]＝16＋18＝34．
随堂内化
1．(2023·烟台二模)口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝( A )
A．eq \f(2,9)B．eq \f(4,9)
C．eq \f(2,27)D．eq \f(8,3)
【解析】 由题意，X的可能取值为2,3，X＝2包含事件为取出的两个球为1,2，所以P(X＝2)＝eq \f(1,C\\al(2,3))＝eq \f(1,3)，X＝3包含事件为取出的两个球为1,3或2,3，所以P(X＝3)＝eq \f(2,C\\al(2,3))＝eq \f(2,3)．E(X)＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，D(X)＝22×eq \f(1,3)＋32×eq \f(2,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))2＝eq \f(2,9)．
2．(2023·恩施模拟)在某次调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，部分数据如下表．
根据这些数据可计算出总样本的方差为__2__．
【解析】 设总样本量为n，由题意得A样本量为n1＝eq \f(1,4)n，B样本量为n2＝eq \f(3,4)n，假设A的样本数据为yi(i＝1,2，…，n1)，B的样本数据为zi(i＝1,2，…，n2)，则总样本平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(eq \i\su(i＝1,n1,y)i＋eq \i\su(i＝1,n2,z)i)＝eq \f(1,n)(n1eq \x\t(y)＋n2eq \x\t(z))＝eq \f(1,4)×3.5＋eq \f(3,4)×5.5＝5，所以总样本方差s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \x\t(y)－eq \x\t(x))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \x\t(z)－eq \x\t(x))2]＝eq \f(1,4)[2＋(3.5－5)2]＋eq \f(3,4)[1＋(5.5－5)2]＝2．
3．(2023·淮北一模)某高中开展“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
(1) 从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
【解答】 记事件A＝“任取1名学生，该生获得一等奖”，事件B＝“任取1名学生，该生为高一学生”，则P(A)＝eq \f(36,350)，P(AB)＝eq \f(20,350)，故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(20,350),\f(36,350))＝eq \f(5,9)．
(2) 从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；
【解答】 由已知可得，X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq \f(100,150)×eq \f(150,200)＝eq \f(1,2)，P(X＝1)＝eq \f(100,150)×eq \f(50,200)＋eq \f(50,150)×eq \f(150,200)＝eq \f(5,12)，P(X＝2)＝eq \f(50,150)×eq \f(50,200)＝eq \f(1,12)，故X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(5,12)＋2×eq \f(1,12)＝eq \f(7,12)．
(3) 从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为ξ，来自高二的人数为η，试判断D(ξ)与D(η)的大小关系．
【解答】 D(ξ)＝D(η)，理由：因为ξ＋η＝3，故ξ＝3－η，D(ξ)＝D(3－η)＝(－1)2D(η)＝D(η)．
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
ξ
0
m
1
P
eq \f(a,3)
eq \f(1,3)
eq \f(2a－1,3)
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,4)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,24)
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)
ξ
1
2
3
P
a
b
c
ξ
2
3
4
P
x
y
eq \f(2,3)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,6)
a
b
项目
抽取成品数
样本均值
样本方差
A生产线产品
16
215
8
B生产线产品
20
212
13
样品类别
样本容量
平均数
方差
A
10
3.5
2
B
30
5.5
1
奖项
组别
个人赛
团体赛
获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
X
0
1
2
P
eq \f(1,2)
eq \f(5,12)
eq \f(1,12)