2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口3　两直线斜率乘积为e2－1的应用

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口3　两直线斜率乘积为e2－1的应用，共5页。试卷主要包含了设椭圆C，已知A，B，P是双曲线C，如图，已知点P在椭圆T，已知椭圆C，已知双曲线C，已知P为双曲线C，如图，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

A．－eq \f(1,4)B．－eq \f(3,4)
C．－eq \f(1,2)D．1
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，由题意可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，将A，B的坐标代入椭圆方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式作差可得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)＝0，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)，又因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(,3),2)，所以1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,4)，即直线AB的斜率为－eq \f(1,4)．
2．设椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA2斜率的取值范围是( B )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
【解答】 设P(x0，y0)，yeq \\al(2,0)＝eq \f(3,4)(4－xeq \\al(2,0))，由A1(－2,0)，A2(2,0)，得kPA1kPA2＝eq \f(y0,x0＋2)×eq \f(y0,x0－2)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)＝－eq \f(3,4)，所以kPA1＝eq \f(－\f(3,4),kPA2)．由kPA1∈[－2，－1]，得－2≤－eq \f(\f(3,4),kPA2)≤－1，则eq \f(3,8)≤kPA2≤eq \f(3,4)，所以直线PA2斜率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))．
3．(2023·盐城期中)已知斜率存在的直线l与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，且l与圆C：(x－1)2＋y2＝1切于点P．若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为( C )
A．2eq \r(,2)B．－eq \r(,2)
C．2eq \r(,2)或－2eq \r(,2)D．eq \r(,2)或－eq \r(,2)
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m，n)，则eq \f(x\\al(2,1),16)＋eq \f(y\\al(2,1),4)＝1，eq \f(x\\al(2,2),16)＋eq \f(y\\al(2,2),4)＝1，两式作差得eq \f(x1－x2x1＋x2,16)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,4)＝0，所以eq \f(2m,16)＋eq \f(2n,4)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以eq \f(n,m)×eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,4)．又因为CP与直线AB垂直，故可得eq \f(n,m－1)×eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－1，所以eq \f(m,m－1)＝4，解得m＝eq \f(4,3)．又因为点P在圆C上，所以(m－1)2＋n2＝1，解得n＝±eq \f(2\r(,2),3)，所以eq \f(n,m－1)＝±2eq \r(,2)，即直线PC的斜率为±2eq \r(,2)．
4．已知A，B，P是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上的不同的三点，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且k1，k2是关于x的方程4x2＋mx＋3＝0的两个实数根，若eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝0，O为坐标原点，则双曲线C的离心率是( B )
A．2B．eq \f(\r(,7),2)
C．eq \r(,2)D．eq \f(3,2)
【解析】 设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，因为eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝0，所以点B的坐标为(－x0，－y0)．因为k1k2＝eq \f(3,4)，所以eq \f(y－y0,x－x0)·eq \f(y＋y0,x＋x0)＝eq \f(3,4)，即eq \f(y2－y\\al(2,0),x2－x\\al(2,0))＝eq \f(3,4)．又P，A在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，所以eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，eq \f(x\\al(2,0),a2)－eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，两式相减得eq \f(1,a2)(x2－xeq \\al(2,0))－eq \f(1,b2)(y2－yeq \\al(2,0))＝0，即eq \f(y2－y\\al(2,0),x2－x\\al(2,0))＝eq \f(b2,a2)．又因为eq \f(y2－y\\al(2,0),x2－x\\al(2,0))＝eq \f(3,4)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以3a2＝4b2＝4(c2－a2)，所以7a2＝4c2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(,7),2)．
5．如图，已知点P在椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设eq \(PD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(PQ,\s\up6(→))，直线AD与椭圆T的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆T的离心率e＝( C )
(第5题)
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(,2),2)
C．eq \f(\r(,3),2)D．eq \f(\r(,3),3)
【解析】 由椭圆第三定义性质知kAB·kBP＝e2－1，设P(x1，y1)，所以kAP＝eq \f(y1,x1)．因为AP⊥BP，所以kBP＝－eq \f(x1,y1)．因为A(－x1，－y1)，Q(x1，－y1)，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，－\f(1,2)y1))，所以kAB＝eq \f(\f(1,2)y1,2x1)，kAB·kBP＝－eq \f(1,4)＝e2－1，所以e＝eq \f(\r(,3),2)．
6．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，点A，B是椭圆C的长轴端点，直线x＝m(－a＜m＜a)与椭圆C交于P，Q两点，记k1，k2分别为直线AP和直线BQ的斜率，则|k1＋4k2|的最小值为( C )
A．eq \f(3,4)B．eq \r(,3)
C．2eq \r(,3)D．4eq \r(,2)
【解析】 不妨设P(m，y0)，Q(m，－y0)，eq \f(m2,a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，则k1＝eq \f(y0,m＋a)，k2＝eq \f(－y0,m－a)，k1k2＝eq \f(－y\\al(2,0),m2－a2)＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(a2－c2,a2)＝1－e2＝eq \f(3,4)，故|k1＋4k2|≥2eq \r(,4k1k2)＝2eq \r(,3)，当且仅当k1＝4k2时，取等号．
7．(多选)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，若kPA·kPB＝eq \f(1,4)，PF1⊥PF2，则下列说法正确的是( BD )
A．a＝4B．a＝2
C．△PF1F2的面积为eq \f(3,2)D．△PF1F2的面积为1
【解析】 设P(x0，y0)，A(x1，y1)，因为A，B关于坐标原点对称，则B(－x1，－y1)．由已知得eq \f(x\\al(2,1),a2)－yeq \\al(2,1)＝1，eq \f(x\\al(2,0),a2)－yeq \\al(2,0)＝1，两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,0),a2)＝yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,0)，所以eq \f(y\\al(2,0)－y\\al(2,1),x\\al(2,0)－x\\al(2,1))＝eq \f(1,a2)，因为kPA·kPB＝eq \f(y0－y1,x0－x1)·eq \f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq \f(1,4)，所以eq \f(1,a2)＝eq \f(1,4)，得a＝2，所以B正确，A错误；因为P在右支上，记|PF2|＝t，则|PF1|＝4＋t，因为PF1⊥PF2，所以(t＋4)2＋t2＝20，解得t＝eq \r(,6)－2或t＝－eq \r(,6)－2(舍去)，所以△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)(eq \r(,6)－2)×(eq \r(,6)＋2)＝1，所以D正确，C错误．
8．(2023·清远期末)已知P为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上异于顶点A1，A2的任意一点，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，写出满足C的焦距小于8且3＜k1k2＜4的C的一个标准方程：__eq \f(x2,2)－eq \f(y2,7)＝1(答案不唯一)__．
【解析】 设P(x0，y0)，A1(－a，0)，A2(a，0)，k1k2＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝eq \f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),a2)－1)),x\\al(2,0)－a2)＝eq \f(b2,a2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＜\f(b2,a2)＜4，,0＜2c＜8，,a2＋b2＝c2，))不妨取b2＝7，a2＝2，则c2＝9，所以满足条件的双曲线的标准方程是eq \f(x2,2)－eq \f(y2,7)＝1．
9．如图，已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B，直线AP，BP与直线l：y＝－2 分别交于点M，N．当点P运动时，以MN为直径的圆经过的定点是__(0，－2±2eq \r(3))__．
(第9题)
【解析】 设点P(x0，y0)，直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，易得k1k2＝eq \f(y0－1,x0)·eq \f(y0＋1,x0)＝eq \f(y\\al(2,0)－1,x\\al(2,0))＝－eq \f(1,4)，所以设AP的方程为y＝k1x＋1，BP的方程为y＝k2x－1＝－eq \f(1,4k1)x－1，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3,k1)，－2))，N(4k1，－2)，则以MN为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,k1)))(x－4k1)＋(y＋2)2＝0，即x2＋y2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,k1)－4k1))x＋4y－8＝0，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y2＋4y－8＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－2±2\r(,3)，))所以以MN为直径的圆过定点(0，－2±2eq \r(,3))．