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专题10 统计-2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习高分突破（苏教版必修第二册）
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这是一份专题10 统计-2023-2024学年高一数学下学期期中期末复习高分突破（苏教版必修第二册），文件包含专题10统计原卷版docx、专题10统计解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
1．下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是（ ）
A．检验10件产品的质量
B．银行对公司10万元存款的现钞的真假检验
C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量
D．检验一批汽车的防碰撞性能
【答案】D
【分析】根据抽样与普查的概念，分析即可得答案.
【解析】根据抽样与普查的概念可得，A、B、C一般采用普查方法，需逐一检验，D采用抽样调查的方法.
故选：D
2．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中随机抽取40名高一学生进行测量，在这个问题中，样本指的是（ ）
A．240名高一学生的身高B．抽取的40名高一学生的身高
C．40名高一学生D．每名高一学生的身高
【答案】B
【分析】找出考查的对象是某校高一学生的身高,得到样本是抽取的40名高一学生的身高.
【解析】总体是240名高一学生的身高情况，则个体是每个学生的身高情况，
故样本是40名学生的身高情况.
故选：B.
【点睛】本题考查的抽样相关概念的理解，注意区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念，属于基础题.
3．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．较为合理的抽样方法分别是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【答案】B
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义和特点，以及适用范围，判断即可．
【解析】对于①，总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；
对于②，总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，
要选32名听众而刚好有32排，每排选一人，宜用系统抽样；
对于③，总体中的个体数较多，又是由差异明显的两部分组成，宜用分层抽样．
故选：B．
4．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的中位数为（ ）
A．6B．11C．16D．21
【答案】B
【分析】根据甲组数据众数为16，得，然后把乙组数据从小到大排列，根据中位数定义求出中位数即可．
【解析】解：因为甲组数据众数为16，所以，
乙组数据从小到大排列：2，2，6，16，21，25，所以中位数为，
故选：B．
5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层随机抽样
B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【答案】C
【分析】根据题目条件，结合分层抽样的定义，以及中位数，平均数，方差的公式即可求解.
【解析】对于A，若抽样方法为分层随机抽样，则男生，女生分别抽取6人，4人，故选项A错误；
对于B，这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数为93，因为90<93，故选项B错误；
对于C，这5名男生成绩的平均数是，这5名女生成绩的平均数是，这5名男生成绩的方差是，这5名女生成绩的方差是，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故选项C正确；
对于D，这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数，不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，故选项D错误；
故选：C.
6．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表
如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】根据平均数和方差的含义及应用，即可得解.
【解析】甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的方差最小，说明甲的成绩最稳定，得到甲是最佳人选.
故选：A
7．2021年中国出口农产品各国情况列表入下，选出正确的选项（ ）
A．中国农产品主要出口国最大是日本
B．中国农产品主要出口国美国比菲律宾要小
C．中国农产品出口荷兰大约占2.84%
D．马来西亚与泰国总量比日本要大
【答案】A
【分析】观察图表即可得出正确选项
【解析】由图可知中国农产品主要出口国美国比菲律宾要大，则选项错误；
中国农产品出口荷兰大约占2.62%，则选项错误；
出口马来西亚与泰国的农产品占4.99%+5.38%=10.37%，而日本占12.64%，即马来西亚与泰国总量比日本要小，则选项错误；
故选：.
8．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据，方差，则所有的数据都为0
B．若数据，的平均数为，则的平均数为6
C．若数据，的方差为，则的方差为12
D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90
【答案】C
【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断.
【解析】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，但不一定为，故选项错误；
对于，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项错误；
对于，数据的方差为，数据的方差为，故选项正确；
对于，数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据大于90，故选项错误，
故选：.
9．为了了解市民的环保意识，某校高（1）班50名学生在6月5日（世界环境日）这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，得到有关数据如下表：
则这50户居民每天丢弃塑料袋的标准差为（ ）
A．0.955B．0.965C．0.975D．0.985
【答案】D
【分析】根据数据表先求平均数，再根据方差公式求方差，最后计算标准差即可.
【解析】因为，
所以，
所以.
故选:D.
10．李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出.已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】逐项分析选项中4次投资的总金额与卖出时收获的金额即可判断.
【解析】由于本次投资中没有亏损，所以需要计算判断4次投资的总金额与卖出时收获的金额，两者持平，即为没有亏损，不妨设李明父亲每月只买1份理财产口，
对于A，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故A错误；
对于B，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故B错误；
对于C，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于没有亏损，故C正确；
对于D，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故D错误.
故选：C.
11．某地自2018年起实行湖长制，境内湖泊水质不断提升.为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个.下列说法不正确的是（ ）
A．该地水质差湖泊总量逐年递减B．该地水质好湖泊总量逐年递增
C．该地平均每年新增10个湖泊D．该地平均每年新增至少45个水质好湖泊
【答案】A
【分析】根据题设的三种折线图逐项判断后可得正确的选项.
【解析】根据图中湖泊总量折线图可得从2018年到2022年，该地平均每年新增的湖泊个数为，故C正确；
根据图中水质差的湖泊数的折线图可得该地水质差湖泊总量数前3年分别为：
，，，故A错误.
根据图中水质好的湖泊数的折线图可得该地水质好湖泊总量数分别为：
，，，，，
该地水质好湖泊总量数逐年递增，故B正确.
从2018年到2022年，该地平均每年新增水质好湖泊数量为，
故D正确.
故选：A.
12．现有甲､乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（ ）
A．若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3
B．若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5
C．若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5
D．若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5
【答案】B
【分析】根据分层样本的平均数公式和方差公式分别计算两组数据的总体的平均数或方差即可判断.
【解析】设甲组数据的平均数为，方差为，
乙组数据的平均数为，方差为，
混合后的新数据的平均数为，方差为，
则，，
对于A，新的一组数据平均数，A正确；
对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式可知无法确定新的一组数据方差，B错误；
对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即，，
所以，
所以，C正确；
对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即，，
所以，
所以，D正确；
故选：B.
二、多选题
13．(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从50个零件中随机抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从整数集中随机抽取10个分析奇偶性
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
【答案】AD
【分析】根据简单随机抽样的定义和使用条件，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，从50个零件中随机抽取5个做质量检验，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单的随机抽样；
对于B中，从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验是又放回抽样，不符合简单随机抽样的使用条件，不是简单的随机抽样；
对于C中，从整数集中随机抽取10个分析奇偶性，其中整数集为无限极，不符合简单随机抽样的条件，不是简单的随机抽样；
对于D中，运动员从8个跑道中随机选取一个跑道，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单随机抽样
故选：AD
14．根据国家新冠疫情防控政策要求，某高中3000名学生均已接种新冠疫苗，现按照高一、高二、高二学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：
则下列判断正确的是（ ）
A．该校高一、高二、高三的学生人数比为
B．该校高三学生的人数比高一人数多50
C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200
D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%
【答案】ACD
【分析】根据样本估计总体直接计算可知.
【解析】由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为，即，A正确；
高三学生人数为人，高一学生人数为人，故高三学生的人数比高一人数多人，故B错误；
高三接种第三剂疫苗的人数约为人，C正确；
该校学生中第三剂疫苗的接种率约为，故D正确.
故选：ACD
15．已知在某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．乙班的理科综合成绩强于甲班
B．甲班的文科综合成绩强于乙班
C．两班的英语平均分分差最大
D．两班的语文平均分分差最小
【答案】ABC
【分析】根据雷达图对选项逐一判断，即可得到本题答案.
【解析】对于选项A，乙班的物理、化学、生物的平均分都高于甲班，所以乙班的理科综合成绩强于甲班，故A正确；
对于选项B，甲班的历史、政治的平均分高于乙班，地理平均分与乙班相同，所以甲班的文科综合成绩强于乙班，故B正确；
对于选项C，由雷达图可得，甲班和乙班的英语平均分分差最大，故C正确；
对于选项D，甲班和乙班的地理平均分相同，所以地理的平均分分差最小，故D错误.
故选：ABC
16．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．考生竞赛成绩的平均分为72.5分
B．若60分以下视为不及格，则这次知识竞赛的及格率为80%
C．分数在区间内的频率为0.02
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人．
【答案】AB
【分析】计算平均值得到A正确，计算及格率得到B正确，分数在区间内的频率为，C错误，区间应抽取人，D错误，得到答案.
【解析】对选项A：平均成绩为，正确；
对选项B：及格率为，正确；
对选项C：分数在区间内的频率为，错误；
对选项D：区间应抽取人，错误.
故选：AB
三、填空题
17．在某网店购买之前未曾使用过的商品时，先翻看该商品的相关评价．从统计角度来看，这也是一种抽样调查，这种抽样调查______．（填写“具有代表性”“不具有代表性”）请说明理由．
【答案】不具有代表性
【分析】根据给定条件，利用抽样调查具有的性质去分析判断作答.
【解析】这种抽样调查是对愿意写评价的购买者的调查，或者是对这个商品有强烈意愿（喜爱或憎恶）的购买者的调查，
不具有广泛性，不具有代表性．
故答案为：不具有代表性
18．某大学学院共有学生5000名，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为___________.
【答案】40
【分析】依据分层抽样的规则去求应抽取三年级的学生人数即可.
【解析】依据分层抽样，应抽取三年级的学生人数为（人）
故答案为：40
19．某企业三月中旬生产三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格（见如图）.由于不小心，表格中产品的有关数据已被污染看不清，统计员记得产品的样本容量比产品的样本容量多10，根据以上信息，可得的产品数量是__________件.
【答案】700
【分析】设样本容量为，即，求得样本容量，再设产品的样本容量为，即，计算即可解决.
【解析】设样本容量为，
所以，
所以，
所以产品与产品在样本中共有件，
设产品的样本容量为，
所以，
所以，
所以产品的产品数量是件.
故答案为：700
20．下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：
在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①当时，；
②当时，；
③恰有1名学生两科均不是“A等”；
④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.
【答案】①③④
【分析】根据各科成绩排名及“A等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩为“A等”的情况，、、时语文成绩为“A等”的情况，
最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.
【解析】当，数学成绩为“A等”的8人从高到低为号；
当，数学成绩为“A等”不为8人，不合题意；
当，数学成绩为“A等”的8人为号.
当，语文成绩为“A等”的7人为号；
当，语文成绩为“A等”不为7人，不合题意；
当，语文成绩为“A等”的7人为号.
故当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共7人，不合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意.
综上可知：
对①，当时，，①对；
对②，当时，，②错；
对③，当，、，、，时，两科均不是“A等”的学生依次为8、9、10号，均恰有1名，③对；
对④，学号1~6的学生两科成绩全“A等”，④对.
故答案为：①③④
四、解答题
21．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，老年人（年龄60岁及以上）约有66万，为了了解老年人的健康状况，政府从老年人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布情况如图：
(1)若采用分层抽样的方法从样本中不能自理的老年人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
(2)估算该市80岁及以上的老年人占全市户籍人口的百分比.
【答案】(1)80岁及以上的群体中抽取人，从80岁以下的群体中抽取人
(2)
【分析】（1）直接由分层抽样求解即可；
（2）先求出样本中80岁及以上老年人占比，再求出全市80岁及以上的老年人人数，最后计算百分比即可.
（1）两个群体的比为，应从80岁及以上的群体中抽取人，从80岁以下的群体中抽取人
（2）∵样本中80岁及以上老年人占比为，∴全市80岁及以上的老年人有万人，∴该市80岁及以上的老年人占全市户籍人口的百分比为.
22．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数．
【答案】(1)0.3；频率分布直方图见解析
(2)众数为75；中位数为；平均数为71
【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，可求得分数在内的频率，再根据小矩形的高等于频率与组距的比值求得小矩形的高，即可补全频率分布直方图.
（2）根据频率分布直方图中众数和中位数和平均数的求法即可得到答案.
【解析】（1）设分数内的频率为，根据频率分布直方图，则有
，解得.
所以频率分布直方图为
（2）因为在分数内的频率值最大，所以众数为；
以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线将频率分布直方图分为面积相等的两部分，
因为，所以中位数在内，
因为分数内的频率为0.3，而，
所以中位数在区间中从左数处，
所以中位数为；
平均数为，
故本次考试成绩的众数为75；中位数为；平均数为71.
23．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（ⅰ）若用表示样本点“抽取的2名同学为A和B”试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)
【分析】（1）结合人数的比值求解即可；
（2）（ⅰ）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ⅱ）由题意结合（ⅰ）中的结果和古典概型计算公式求解即可
(1)
由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)
（ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
共21种．
（ⅱ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
24．某农户从一批待售的苹果中随机抽取100个，对样本中每个苹果称重，数据如下表.
若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于0.12千克的苹果为一级果；质量不小于0.1千克且小于0.12千克的苹果为二级果；质量在0.1千克以下的苹果为三级果.
(1)根据以上抽样调查数据，能否认为这批苹果符合“二级果和一级果的数量之和至少要占全部产品的70%”的规定?
(2)若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为10元/千克；二级果的售价为8元/千克；三级果的售价为6元/千克经估算，这批苹果有150000个，请问该批苹果的销售收入约为多少元?(问一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
【答案】(1)符合规定
(2)183450元
【分析】（1）根据已知数据计算“二级果和一级果的数量之和的占比可得；
（2）求出一级、二组、三级果品的数量及平均质量后得各级果品质量，从而得总收入．
【解析】（1）由题意可知，样本中二级果和一级果的数量之和占比为.
所以这批苹果符合规定；
（2）由样本知，这批苹果中一级果占20%，二级果占60%，三级果占20%，
所以150000个苹果中一级果有30000个，二级果有90000个，三级果有30000个.
一级果的质量约为千克
三级果的质量约为千克.
三级果的质量约为千克：
总售价约为
所以该苹果的销售收入的为183450元
25．仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）：
甲：29，31，30，32，28；
乙：27，44，40，26，43．
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：
(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
【答案】(1)乙种玉米苗长得高
(2)甲种玉米苗长得齐
【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可；
（2）计算甲乙是的方差，比较大小即可.
【解析】（1），
，
．
乙种玉米苗长得高．
（2），
，
．
甲种玉米苗长得齐．
26．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求样本中数据落在的频率；
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
【答案】(1)0.4
(2)52.5
(3)
【分析】(1)利用概率和为1求解；
(2)由题意可得样本数据的第50百分位数落在第四组，再按百分数位定义求解即可;
(3)先求出抽取人数中年龄在的有2人，在[60,70]的有4人，用列举法求解即可.
（1）
解：依题意，样本中数据落在为；
（2）
解：样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为.
（3）
解：与两组的频率之比为，
现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为a，b，
组抽取4人，记为1，2，3，4.
所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.
其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，则.
27．足球号称世界第一大体育运动，2022卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（A地区）和外地（B地区）的球迷中，分别随机调查了20名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
(1)设表示A地区20名球迷满意度的方差，表示B地区20名球迷满意度的方差，则______（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；
(2)计算B地区的分位数；
(3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
从A地区和B地区分别随机抽取1名球迷，记事件C：“A地区球迷的满意度等级高于B地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求C的概率．
【答案】(1)
(2)87
(3)0.44
【分析】（1）根据茎叶图的知识，发现A地区数据更集中，方差更小.
（2）根据百分位数的定义计算即可求解.
（3）利用事件的相互独立性和互斥即可求事件发生的概率.
【解析】（1）根据茎叶图发现A地区数据更集中，所以；
（2）设B地区的20个数据由小到大依次为，，…，，
由，得分位数等于．
（3）设事件分别表示抽取A地区1名球迷的满意度为i级，则两两互斥，
设事件分别表示抽取B地区1名球迷的满意度为j级，则两两互斥，且有与相互独立，由题意得，，，，，，
又有，且，，互斥，
故
．
28．2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值；
(2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；
(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）
【答案】(1)
(2)众数75分；中位数分，平均数71分
(3)74分
【分析】（1）由各组频率之和为1列方程求解即可；
（2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案；
（3）已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，即为频率分布直方图的中位数，求解即可.
【解析】（1）由题意，解得；
（2）抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分；
由频率直方图可得前三组的频率和为，
前四组的频率和为，故中位数落在第四组，
设中位数为x，则，解得，
故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分，
抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为：
分；
（3）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，
由（2）可得，中位数，
故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．
29．某职业学校的甲、乙两学生到某工厂实习加工某种零件，并且每天甲、乙两人都进行比赛，规定一天内平均每小时加工的合格零件数多者胜出.如下统计表是甲、乙两人在5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的统计表.已知甲、乙两学生这5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的平均数都是10.
(1)求m，n的值；
(2)用，s分别表示一天内平均每小时加工的合格零件数的平均值和标准差，规定：一天内平均每小时加工的合格零件数为x，若满足，则当天的工作状态视为超常发挥；若满足，则当天的工作状态视为稳定发挥；若满足，则当天的工作状态视为失常发挥.计划从甲、乙两人中选一人参加技术比赛，现有两个方案：
方案一：根据甲、乙两人加工的合格零件数的平均数和方差，选择参加技术比赛的选手；
方案二：根据甲、乙两人在5天的比赛中超常发挥的天数，选择参加技术比赛的选手.
当选用两个不同方案时，分别判断应选择谁参加技术比赛.
参考数据：，.
【答案】(1)
(2)方案一选择甲，方案二选择甲
【分析】（1）直接由平均数求解即可；
（2）先计算出方差，由平均数及方差即可判断方案一；计算出甲乙超常发挥的天数即可判断方案二.
【解析】（1）由题设知，可得
（2）方案一：由题设知甲乙的平均数为10，甲的方差，
乙的方差，∴，
故应选择甲参加技术比赛；
方案二：由上知，，对于甲大于的天数为2天；
对于乙大于的天数为1天；∴应选择甲参加技术比赛.
30．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.
【分析】(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；
(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；
（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.
【解析】解：（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）.
设第80百分位数为，
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，
对应的样本空间为：
，共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，共有9个样本点.
所以，.
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
31．《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(2)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
【答案】(1)61，241；
(2)可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.
【分析】(1)利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；
(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.
（1）
由题，可知
．
．
（2）
由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
32．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【答案】（1）0.06 60人；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数；
（2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得；
（3）利用样本平均数，方差公式化简即证.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）由题得①；②
又
同理，
∴
.
甲
乙
丙
丁
平均成绩x/环
9.0
8.9
8.6
9.0
方差
2.8
2.9
2.8
3.5
每户丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
高一
高二
高三
只接种第一、二剂疫苗人数
50
44
45
接种第一、二、三剂疫苗人数
0
1
10
产品类别
产品数量/件
1500
样本容量/件
150
学生学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
140
136
136
135
134
133
128
127
124
语文成绩
102
110
111
126
102
134
97
95
98
质量(单位，千克)
[0.08，0.09)
[0.09，0.1)
[0.1，0.11)
[0.11，0.12)
[0.12，0.13)
[0.13，0.14］
个数
10
10
20
40
15
5
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
1级（不满意）
2级（满意）
3级（非常满意）
甲
7
m
10
12
12
乙
8
8
9
n
12
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
1．下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是（ ）
A．检验10件产品的质量
B．银行对公司10万元存款的现钞的真假检验
C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量
D．检验一批汽车的防碰撞性能
【答案】D
【分析】根据抽样与普查的概念，分析即可得答案.
【解析】根据抽样与普查的概念可得，A、B、C一般采用普查方法，需逐一检验，D采用抽样调查的方法.
故选：D
2．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中随机抽取40名高一学生进行测量，在这个问题中，样本指的是（ ）
A．240名高一学生的身高B．抽取的40名高一学生的身高
C．40名高一学生D．每名高一学生的身高
【答案】B
【分析】找出考查的对象是某校高一学生的身高,得到样本是抽取的40名高一学生的身高.
【解析】总体是240名高一学生的身高情况，则个体是每个学生的身高情况，
故样本是40名学生的身高情况.
故选：B.
【点睛】本题考查的抽样相关概念的理解，注意区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念，属于基础题.
3．现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，拟抽取一个容量为200的样本．较为合理的抽样方法分别是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
B．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【答案】B
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义和特点，以及适用范围，判断即可．
【解析】对于①，总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；
对于②，总体中的个体数较多，而且容易分成均衡的若干部分，
要选32名听众而刚好有32排，每排选一人，宜用系统抽样；
对于③，总体中的个体数较多，又是由差异明显的两部分组成，宜用分层抽样．
故选：B．
4．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的中位数为（ ）
A．6B．11C．16D．21
【答案】B
【分析】根据甲组数据众数为16，得，然后把乙组数据从小到大排列，根据中位数定义求出中位数即可．
【解析】解：因为甲组数据众数为16，所以，
乙组数据从小到大排列：2，2，6，16，21，25，所以中位数为，
故选：B．
5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层随机抽样
B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【答案】C
【分析】根据题目条件，结合分层抽样的定义，以及中位数，平均数，方差的公式即可求解.
【解析】对于A，若抽样方法为分层随机抽样，则男生，女生分别抽取6人，4人，故选项A错误；
对于B，这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数为93，因为90<93，故选项B错误；
对于C，这5名男生成绩的平均数是，这5名女生成绩的平均数是，这5名男生成绩的方差是，这5名女生成绩的方差是，所以这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差，故选项C正确；
对于D，这5名男生成绩的平均数小于这5名女生成绩的平均数，不能得出该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，故选项D错误；
故选：C.
6．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表
如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】根据平均数和方差的含义及应用，即可得解.
【解析】甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中甲和丙的方差最小，说明甲的成绩最稳定，得到甲是最佳人选.
故选：A
7．2021年中国出口农产品各国情况列表入下，选出正确的选项（ ）
A．中国农产品主要出口国最大是日本
B．中国农产品主要出口国美国比菲律宾要小
C．中国农产品出口荷兰大约占2.84%
D．马来西亚与泰国总量比日本要大
【答案】A
【分析】观察图表即可得出正确选项
【解析】由图可知中国农产品主要出口国美国比菲律宾要大，则选项错误；
中国农产品出口荷兰大约占2.62%，则选项错误；
出口马来西亚与泰国的农产品占4.99%+5.38%=10.37%，而日本占12.64%，即马来西亚与泰国总量比日本要小，则选项错误；
故选：.
8．经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据，方差，则所有的数据都为0
B．若数据，的平均数为，则的平均数为6
C．若数据，的方差为，则的方差为12
D．若数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据不大于90
【答案】C
【分析】根据数据的平均数，方差，百分位数的性质逐项进行检验即可判断.
【解析】对于，数据的方差时，说明所有的数据都相等，但不一定为，故选项错误；
对于，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项错误；
对于，数据的方差为，数据的方差为，故选项正确；
对于，数据，的分位数为90，则可以估计总体中有至少有的数据大于90，故选项错误，
故选：.
9．为了了解市民的环保意识，某校高（1）班50名学生在6月5日（世界环境日）这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，得到有关数据如下表：
则这50户居民每天丢弃塑料袋的标准差为（ ）
A．0.955B．0.965C．0.975D．0.985
【答案】D
【分析】根据数据表先求平均数，再根据方差公式求方差，最后计算标准差即可.
【解析】因为，
所以，
所以.
故选:D.
10．李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出.已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】逐项分析选项中4次投资的总金额与卖出时收获的金额即可判断.
【解析】由于本次投资中没有亏损，所以需要计算判断4次投资的总金额与卖出时收获的金额，两者持平，即为没有亏损，不妨设李明父亲每月只买1份理财产口，
对于A，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故A错误；
对于B，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故B错误；
对于C，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于没有亏损，故C正确；
对于D，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，显然这属于亏本，故D错误.
故选：C.
11．某地自2018年起实行湖长制，境内湖泊水质不断提升.为了解治理成效，环境监测部门每年在该地所有湖泊中随机选取80个进行水质调查，得到数据如下，并且五年来，该地通过退耕还湖，湖泊总量由160个增加至200个.下列说法不正确的是（ ）
A．该地水质差湖泊总量逐年递减B．该地水质好湖泊总量逐年递增
C．该地平均每年新增10个湖泊D．该地平均每年新增至少45个水质好湖泊
【答案】A
【分析】根据题设的三种折线图逐项判断后可得正确的选项.
【解析】根据图中湖泊总量折线图可得从2018年到2022年，该地平均每年新增的湖泊个数为，故C正确；
根据图中水质差的湖泊数的折线图可得该地水质差湖泊总量数前3年分别为：
，，，故A错误.
根据图中水质好的湖泊数的折线图可得该地水质好湖泊总量数分别为：
，，，，，
该地水质好湖泊总量数逐年递增，故B正确.
从2018年到2022年，该地平均每年新增水质好湖泊数量为，
故D正确.
故选：A.
12．现有甲､乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（ ）
A．若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3
B．若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5
C．若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5
D．若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5
【答案】B
【分析】根据分层样本的平均数公式和方差公式分别计算两组数据的总体的平均数或方差即可判断.
【解析】设甲组数据的平均数为，方差为，
乙组数据的平均数为，方差为，
混合后的新数据的平均数为，方差为，
则，，
对于A，新的一组数据平均数，A正确；
对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式可知无法确定新的一组数据方差，B错误；
对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即，，
所以，
所以，C正确；
对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即，，
所以，
所以，D正确；
故选：B.
二、多选题
13．(多选)下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从50个零件中随机抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从整数集中随机抽取10个分析奇偶性
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
【答案】AD
【分析】根据简单随机抽样的定义和使用条件，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，从50个零件中随机抽取5个做质量检验，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单的随机抽样；
对于B中，从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验是又放回抽样，不符合简单随机抽样的使用条件，不是简单的随机抽样；
对于C中，从整数集中随机抽取10个分析奇偶性，其中整数集为无限极，不符合简单随机抽样的条件，不是简单的随机抽样；
对于D中，运动员从8个跑道中随机选取一个跑道，符合简单随机抽样的定义和条件，所以是简单随机抽样
故选：AD
14．根据国家新冠疫情防控政策要求，某高中3000名学生均已接种新冠疫苗，现按照高一、高二、高二学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：
则下列判断正确的是（ ）
A．该校高一、高二、高三的学生人数比为
B．该校高三学生的人数比高一人数多50
C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200
D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%
【答案】ACD
【分析】根据样本估计总体直接计算可知.
【解析】由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为，即，A正确；
高三学生人数为人，高一学生人数为人，故高三学生的人数比高一人数多人，故B错误；
高三接种第三剂疫苗的人数约为人，C正确；
该校学生中第三剂疫苗的接种率约为，故D正确.
故选：ACD
15．已知在某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．乙班的理科综合成绩强于甲班
B．甲班的文科综合成绩强于乙班
C．两班的英语平均分分差最大
D．两班的语文平均分分差最小
【答案】ABC
【分析】根据雷达图对选项逐一判断，即可得到本题答案.
【解析】对于选项A，乙班的物理、化学、生物的平均分都高于甲班，所以乙班的理科综合成绩强于甲班，故A正确；
对于选项B，甲班的历史、政治的平均分高于乙班，地理平均分与乙班相同，所以甲班的文科综合成绩强于乙班，故B正确；
对于选项C，由雷达图可得，甲班和乙班的英语平均分分差最大，故C正确；
对于选项D，甲班和乙班的地理平均分相同，所以地理的平均分分差最小，故D错误.
故选：ABC
16．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．考生竞赛成绩的平均分为72.5分
B．若60分以下视为不及格，则这次知识竞赛的及格率为80%
C．分数在区间内的频率为0.02
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人．
【答案】AB
【分析】计算平均值得到A正确，计算及格率得到B正确，分数在区间内的频率为，C错误，区间应抽取人，D错误，得到答案.
【解析】对选项A：平均成绩为，正确；
对选项B：及格率为，正确；
对选项C：分数在区间内的频率为，错误；
对选项D：区间应抽取人，错误.
故选：AB
三、填空题
17．在某网店购买之前未曾使用过的商品时，先翻看该商品的相关评价．从统计角度来看，这也是一种抽样调查，这种抽样调查______．（填写“具有代表性”“不具有代表性”）请说明理由．
【答案】不具有代表性
【分析】根据给定条件，利用抽样调查具有的性质去分析判断作答.
【解析】这种抽样调查是对愿意写评价的购买者的调查，或者是对这个商品有强烈意愿（喜爱或憎恶）的购买者的调查，
不具有广泛性，不具有代表性．
故答案为：不具有代表性
18．某大学学院共有学生5000名，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为___________.
【答案】40
【分析】依据分层抽样的规则去求应抽取三年级的学生人数即可.
【解析】依据分层抽样，应抽取三年级的学生人数为（人）
故答案为：40
19．某企业三月中旬生产三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格（见如图）.由于不小心，表格中产品的有关数据已被污染看不清，统计员记得产品的样本容量比产品的样本容量多10，根据以上信息，可得的产品数量是__________件.
【答案】700
【分析】设样本容量为，即，求得样本容量，再设产品的样本容量为，即，计算即可解决.
【解析】设样本容量为，
所以，
所以，
所以产品与产品在样本中共有件，
设产品的样本容量为，
所以，
所以，
所以产品的产品数量是件.
故答案为：700
20．下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：
在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①当时，；
②当时，；
③恰有1名学生两科均不是“A等”；
④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.
【答案】①③④
【分析】根据各科成绩排名及“A等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩为“A等”的情况，、、时语文成绩为“A等”的情况，
最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.
【解析】当，数学成绩为“A等”的8人从高到低为号；
当，数学成绩为“A等”不为8人，不合题意；
当，数学成绩为“A等”的8人为号.
当，语文成绩为“A等”的7人为号；
当，语文成绩为“A等”不为7人，不合题意；
当，语文成绩为“A等”的7人为号.
故当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共7人，不合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；
当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意.
综上可知：
对①，当时，，①对；
对②，当时，，②错；
对③，当，、，、，时，两科均不是“A等”的学生依次为8、9、10号，均恰有1名，③对；
对④，学号1~6的学生两科成绩全“A等”，④对.
故答案为：①③④
四、解答题
21．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，老年人（年龄60岁及以上）约有66万，为了了解老年人的健康状况，政府从老年人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布情况如图：
(1)若采用分层抽样的方法从样本中不能自理的老年人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
(2)估算该市80岁及以上的老年人占全市户籍人口的百分比.
【答案】(1)80岁及以上的群体中抽取人，从80岁以下的群体中抽取人
(2)
【分析】（1）直接由分层抽样求解即可；
（2）先求出样本中80岁及以上老年人占比，再求出全市80岁及以上的老年人人数，最后计算百分比即可.
（1）两个群体的比为，应从80岁及以上的群体中抽取人，从80岁以下的群体中抽取人
（2）∵样本中80岁及以上老年人占比为，∴全市80岁及以上的老年人有万人，∴该市80岁及以上的老年人占全市户籍人口的百分比为.
22．某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数．
【答案】(1)0.3；频率分布直方图见解析
(2)众数为75；中位数为；平均数为71
【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，可求得分数在内的频率，再根据小矩形的高等于频率与组距的比值求得小矩形的高，即可补全频率分布直方图.
（2）根据频率分布直方图中众数和中位数和平均数的求法即可得到答案.
【解析】（1）设分数内的频率为，根据频率分布直方图，则有
，解得.
所以频率分布直方图为
（2）因为在分数内的频率值最大，所以众数为；
以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线将频率分布直方图分为面积相等的两部分，
因为，所以中位数在内，
因为分数内的频率为0.3，而，
所以中位数在区间中从左数处，
所以中位数为；
平均数为，
故本次考试成绩的众数为75；中位数为；平均数为71.
23．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
（ⅰ）若用表示样本点“抽取的2名同学为A和B”试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
【答案】(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)
【分析】（1）结合人数的比值求解即可；
（2）（ⅰ）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．
（ⅱ）由题意结合（ⅰ）中的结果和古典概型计算公式求解即可
(1)
由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)
（ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
共21种．
（ⅱ）由（ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为，共5种．
所以，事件M发生的概率为P（M）=．
24．某农户从一批待售的苹果中随机抽取100个，对样本中每个苹果称重，数据如下表.
若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于0.12千克的苹果为一级果；质量不小于0.1千克且小于0.12千克的苹果为二级果；质量在0.1千克以下的苹果为三级果.
(1)根据以上抽样调查数据，能否认为这批苹果符合“二级果和一级果的数量之和至少要占全部产品的70%”的规定?
(2)若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为10元/千克；二级果的售价为8元/千克；三级果的售价为6元/千克经估算，这批苹果有150000个，请问该批苹果的销售收入约为多少元?(问一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
【答案】(1)符合规定
(2)183450元
【分析】（1）根据已知数据计算“二级果和一级果的数量之和的占比可得；
（2）求出一级、二组、三级果品的数量及平均质量后得各级果品质量，从而得总收入．
【解析】（1）由题意可知，样本中二级果和一级果的数量之和占比为.
所以这批苹果符合规定；
（2）由样本知，这批苹果中一级果占20%，二级果占60%，三级果占20%，
所以150000个苹果中一级果有30000个，二级果有90000个，三级果有30000个.
一级果的质量约为千克
三级果的质量约为千克.
三级果的质量约为千克：
总售价约为
所以该苹果的销售收入的为183450元
25．仓廪实，天下安．习近平总书记强调:“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）：
甲：29，31，30，32，28；
乙：27，44，40，26，43．
请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题：
(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
【答案】(1)乙种玉米苗长得高
(2)甲种玉米苗长得齐
【分析】（1）计算甲乙的平均数，再比较大小即可；
（2）计算甲乙是的方差，比较大小即可.
【解析】（1），
，
．
乙种玉米苗长得高．
（2），
，
．
甲种玉米苗长得齐．
26．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求样本中数据落在的频率；
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
【答案】(1)0.4
(2)52.5
(3)
【分析】(1)利用概率和为1求解；
(2)由题意可得样本数据的第50百分位数落在第四组，再按百分数位定义求解即可;
(3)先求出抽取人数中年龄在的有2人，在[60,70]的有4人，用列举法求解即可.
（1）
解：依题意，样本中数据落在为；
（2）
解：样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为.
（3）
解：与两组的频率之比为，
现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为a，b，
组抽取4人，记为1，2，3，4.
所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.
其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，则.
27．足球号称世界第一大体育运动，2022卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（A地区）和外地（B地区）的球迷中，分别随机调查了20名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
(1)设表示A地区20名球迷满意度的方差，表示B地区20名球迷满意度的方差，则______（用“”或“”填空，不要求写出计算过程）；
(2)计算B地区的分位数；
(3)根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
从A地区和B地区分别随机抽取1名球迷，记事件C：“A地区球迷的满意度等级高于B地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求C的概率．
【答案】(1)
(2)87
(3)0.44
【分析】（1）根据茎叶图的知识，发现A地区数据更集中，方差更小.
（2）根据百分位数的定义计算即可求解.
（3）利用事件的相互独立性和互斥即可求事件发生的概率.
【解析】（1）根据茎叶图发现A地区数据更集中，所以；
（2）设B地区的20个数据由小到大依次为，，…，，
由，得分位数等于．
（3）设事件分别表示抽取A地区1名球迷的满意度为i级，则两两互斥，
设事件分别表示抽取B地区1名球迷的满意度为j级，则两两互斥，且有与相互独立，由题意得，，，，，，
又有，且，，互斥，
故
．
28．2022年起，某省将实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
(1)求图中a的值；
(2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；
(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）
【答案】(1)
(2)众数75分；中位数分，平均数71分
(3)74分
【分析】（1）由各组频率之和为1列方程求解即可；
（2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案；
（3）已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，即为频率分布直方图的中位数，求解即可.
【解析】（1）由题意，解得；
（2）抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分；
由频率直方图可得前三组的频率和为，
前四组的频率和为，故中位数落在第四组，
设中位数为x，则，解得，
故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分，
抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为：
分；
（3）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，
由（2）可得，中位数，
故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．
29．某职业学校的甲、乙两学生到某工厂实习加工某种零件，并且每天甲、乙两人都进行比赛，规定一天内平均每小时加工的合格零件数多者胜出.如下统计表是甲、乙两人在5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的统计表.已知甲、乙两学生这5天的比赛中，每天平均每小时加工的合格零件数的平均数都是10.
(1)求m，n的值；
(2)用，s分别表示一天内平均每小时加工的合格零件数的平均值和标准差，规定：一天内平均每小时加工的合格零件数为x，若满足，则当天的工作状态视为超常发挥；若满足，则当天的工作状态视为稳定发挥；若满足，则当天的工作状态视为失常发挥.计划从甲、乙两人中选一人参加技术比赛，现有两个方案：
方案一：根据甲、乙两人加工的合格零件数的平均数和方差，选择参加技术比赛的选手；
方案二：根据甲、乙两人在5天的比赛中超常发挥的天数，选择参加技术比赛的选手.
当选用两个不同方案时，分别判断应选择谁参加技术比赛.
参考数据：，.
【答案】(1)
(2)方案一选择甲，方案二选择甲
【分析】（1）直接由平均数求解即可；
（2）先计算出方差，由平均数及方差即可判断方案一；计算出甲乙超常发挥的天数即可判断方案二.
【解析】（1）由题设知，可得
（2）方案一：由题设知甲乙的平均数为10，甲的方差，
乙的方差，∴，
故应选择甲参加技术比赛；
方案二：由上知，，对于甲大于的天数为2天；
对于乙大于的天数为1天；∴应选择甲参加技术比赛.
30．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.
【分析】(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；
(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；
（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.
【解析】解：（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）.
设第80百分位数为，
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，
对应的样本空间为：
，共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，共有9个样本点.
所以，.
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
31．《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(2)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
【答案】(1)61，241；
(2)可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.
【分析】(1)利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；
(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.
（1）
由题，可知
．
．
（2）
由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
32．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【答案】（1）0.06 60人；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数；
（2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得；
（3）利用样本平均数，方差公式化简即证.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）由题得①；②
又
同理，
∴
.
甲
乙
丙
丁
平均成绩x/环
9.0
8.9
8.6
9.0
方差
2.8
2.9
2.8
3.5
每户丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
16
15
13
高一
高二
高三
只接种第一、二剂疫苗人数
50
44
45
接种第一、二、三剂疫苗人数
0
1
10
产品类别
产品数量/件
1500
样本容量/件
150
学生学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
140
136
136
135
134
133
128
127
124
语文成绩
102
110
111
126
102
134
97
95
98
质量(单位，千克)
[0.08，0.09)
[0.09，0.1)
[0.1，0.11)
[0.11，0.12)
[0.12，0.13)
[0.13，0.14］
个数
10
10
20
40
15
5
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
1级（不满意）
2级（满意）
3级（非常满意）
甲
7
m
10
12
12
乙
8
8
9
n
12
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80
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