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广东省深圳外国语学校2023-2024学年高三上学期元月阶段测试数学试卷
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这是一份广东省深圳外国语学校2023-2024学年高三上学期元月阶段测试数学试卷，共6页。
数 学（新课标I卷）
试卷类型：A
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（本题5分）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（本题5分）已知是关于的方程（p，）的一个根，则（ ）
A．0B．2C．D．1
3．（本题5分）已知，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（本题5分）函数是（ ）
A．非奇非偶函数B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的偶函数
5．（本题5分）（2024·全国·模拟预测）已知成等比数列，且，为自然对数的底数．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（本题5分）已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题5分）在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题5分）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（本题5分）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ）
A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平
B．甲村的平均分低于乙村的平均分
C．甲村的高度满意率与不满意率相等
D．乙村的高度满意率比不满意率大
10．（本题5分）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．是曲线的一个对称中心
C．是曲线的一条对称轴D．在区间上单调递增
11．（本题5分）如图，在四面体中，，，，为的中点，点是棱的中点，则（ ）
A．平面B．
C．四面体的体积为D．异面直线与所成角的余弦值为
12．（本题5分）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（本题5分）若，则 .
14．（本题5分）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 .
15．（本题5分）已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 .
16．（本题5分）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）已知的内角的对边分别为，且的面积为
(1)求；
(2)求周长的最小值.
18．（本题12分）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
19．（本题12分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求直线与平面PMN所成角的大小．
20．（本题12分）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求：
(1)当时，甲赢得比赛的概率；
(2)的数学期望.
21．（本题12分）已知A是圆E：上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)已知点，过点的直线l与C交于M，N两点，求证：．
22．（本题12分）已知函数．
(1)若的最小值为．求的值；
(2)若函数有两个极值点．其中为自然对数的底数．求实数的取值范围．
数 学（新课标I卷）
试卷类型：A
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（本题5分）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（本题5分）已知是关于的方程（p，）的一个根，则（ ）
A．0B．2C．D．1
3．（本题5分）已知，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（本题5分）函数是（ ）
A．非奇非偶函数B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的偶函数
5．（本题5分）（2024·全国·模拟预测）已知成等比数列，且，为自然对数的底数．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（本题5分）已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．（本题5分）在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题5分）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（本题5分）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ）
A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平
B．甲村的平均分低于乙村的平均分
C．甲村的高度满意率与不满意率相等
D．乙村的高度满意率比不满意率大
10．（本题5分）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．是曲线的一个对称中心
C．是曲线的一条对称轴D．在区间上单调递增
11．（本题5分）如图，在四面体中，，，，为的中点，点是棱的中点，则（ ）
A．平面B．
C．四面体的体积为D．异面直线与所成角的余弦值为
12．（本题5分）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（本题5分）若，则 .
14．（本题5分）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 .
15．（本题5分）已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 .
16．（本题5分）已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）已知的内角的对边分别为，且的面积为
(1)求；
(2)求周长的最小值.
18．（本题12分）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
19．（本题12分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设M是的中点，满足，N是BC的中点，P是线段上的一点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求直线与平面PMN所成角的大小．
20．（本题12分）随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，.求：
(1)当时，甲赢得比赛的概率；
(2)的数学期望.
21．（本题12分）已知A是圆E：上的任意一点，点，线段AF的垂直平分线交线段AE于点T．
(1)求动点T的轨迹C的方程；
(2)已知点，过点的直线l与C交于M，N两点，求证：．
22．（本题12分）已知函数．
(1)若的最小值为．求的值；
(2)若函数有两个极值点．其中为自然对数的底数．求实数的取值范围．
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