广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高一上学期期末数学试题

这是一份广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高一上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设全集，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全集求出的补集即可.
【详解】，，.
故选：A.
2. 克糖水中含克糖，若再加入克糖，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得出加糖前后糖水中糖的浓度的表达式，结合题意可得出不等关系，进而可得出结果.
【详解】克糖水中含克糖，糖水中糖的浓度为，
再加入克糖后，糖水中糖的浓度为，
加糖后，糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度变大了，则有.
故选：B.
【点睛】本题考查不等关系的求解，属于基础题.
3. 某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据体温变化过程结合图像可得答案.
【详解】选项A反映，体温逐渐降低，不符合题意 ；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程.
故选：C
4. 设f（x）＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数单调减的条件是一次项系数小于零，得到结果.
【详解】∵f（x）在R上是减函数，
2a－1<0，即，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关根据一次函数单调递减的条件，属于基础题目.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得，则，
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A.
6. 中国数学家华罗庚倡导的“优选法”在各领域都应用广泛，就是黄金分割比的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将原式都转化为三角函数，再利用二倍角公式化简求值.
【详解】.
故选：D
7. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，利用放缩法和函数的单调性即可得到.
【详解】令，则为上增函数，
又
则，则
故选：B
8. 设函数，若函数恰有5个零点，，，，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得有5个根，作出的图像，利用正弦型函数图像的对称性，找出间的关系，即可求得结果.
【详解】由函数恰有5个零点，知有5个根，
由五点法作图，
如图，可知过点，，，
又
则，，，
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 已知函数，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分与两种情况，解方程，求出答案.
详解】当时，，解得，满足要求，
当时，，解得，满足要求
故选：BC
10. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC.
【详解】对于A，，不等式成立，A正确；
对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误；
对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误；
对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确.
故选：AD
11. 已知函数，如果函数满足对任意，都存在，使得，称实数为函数的包容数，下列数中可以为函数的包容数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将选项中的取值代入解析式，利用二次函数和指数函数值域的求法可分别求得和的值域，根据包含关系可确定结果.
【详解】记的值域为，的值域为，由题意可知：；
对于A，当时，；；
则，，满足，A正确；
对于B，当时，，；
则，，满足，B正确；
对于C，当时，，；
则，，满足，C正确；
对于D，当时，；；
则，，不满足，D错误.
故选：ABC.
12. 关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）
A. 对任意的都不是偶函数
B. 存在使是奇函数
C. 存在使
D. 若的图像关于对称，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为，其中，，
对于A，要使为偶函数，则，且，则无解，
即对任意的a，都不是偶函数，故正确；
对于B，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a，使是奇函数，故错误；
对于C，因为，故错误；
对于D，若的图像关于对称，则，，
解得，且，所以，即，故正确.
故选：AD
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分.）
13. 写出一个在上单调递增的奇函数____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可.
【详解】解：令，则，故为奇函数，
且函数在定义域上单调递增，
故答案为：（答案不唯一）
14. 若函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式可求得结果.
【详解】，，
所以.
故答案为：.
15. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是_______.
【答案】或
【解析】
【分析】
由诱导公式可知,令,结合函数图像,讨论最大值为和1两种情况,进而求出 的取值范围.
【详解】解: 令.则由可得
则.要使其既有最小值又有最大值
若最大值为 则,解得
若最大值,则,解得.综上所述: 或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数最值问题.本题的易错点是漏解,只考虑了最大值为1的情况.本题的难点是分界点能否取得的判断.
16. 已知，，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将已知条件变形为，再利用“”的妙用将待求式子变形为并利用对勾函数完成取值范围的求解.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，令 ，所以，
又因为在上单调递增，所以，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用对勾函数求代数式取值范围，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较难.注意对勾函数的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减.
四、解答题（共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 化简下列式子并求值:
（1）;
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)将式子用对数运算公式等展开合并化简即可求值;
(2)将式子用分数指数幂运算公式等,进行化简求值即可.
【小问1详解】
解:原式为
;
【小问2详解】
原式为
.
18. 如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，且，记．
（1）若，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，求的值．
【答案】（1）两点坐标分别为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义结合条件即得；
（2）由题可得点的坐标为，然后结合条件及三角函数的定义即得.
【小问1详解】
因为，
所以，所以点坐标为,
因为，
所以，
所以点坐标为；
所以两点坐标分别为；
【小问2详解】
由点在单位圆上，得，
又点位于第一象限，则，
所以点的坐标为，
即．
所以，
所以．
19. 已知函数.
（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数k的取值范围；
（2）若对一切实数都成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对称轴和区间的关系，列不等式，解不等式即可；
（2）利用判别式即可解决.
【小问1详解】
因为函数在区间上是单调递增函数，且的对称轴为，
所以，解得.
【小问2详解】
若对一切实数都成立，则，解得.
20. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据正切型三角函数最小正周期的求法求得正确答案.
（2）根据正切函数的性质求得不等式.
【小问1详解】
的最小正周期.
【小问2详解】
不等式，即，所以，
求得，故不等式的解集为，.
21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用1个单位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．
（1）试确定的值，并解释其实际意义；
（2）设．
方案1：用3个单位量的水，清洗一次；
方案2：每次用1.5个单位量的水，清洗两次；
方案3：每次用1个单位量的水，清洗三次．
试问用哪个方案清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由．
【答案】（1）答案见解析；
（2）方案2，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意直接可得，表示未冲洗时残留的农药量保持不变；
（2）分别计算出每种方案清洗后的残留量，比较出大小即可得出结论.
【小问1详解】
由题意可得，
实际意义：表示未用清水冲洗蔬菜时蔬菜上残留的农药量保持原样；
【小问2详解】
设清洗前残留的农药量为，用第套方案清洗后残留的农药量为，
则；
；
，
易知，所以，
即用方案2清洗后蔬菜上残留的农药量最少；
22. 已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，．
（1）用单调性的定义证明在上单调递减；
（2）若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用函数单调性定义按照步骤证明即可；
（2）根据为奇函数可得周期为，利用换元法令可得，对参数进行分类讨论解不等式即可求得a的取值范围.
【小问1详解】
取，且，
由
；
因为，所以，
即，可得；
所以在上单调递减；
【小问2详解】
由奇函数可知，
又得，即；
所以函数周期为，由（1）可知在上单调递减，所以，且；
由可得，即；
由于在上为奇函数，
当时，，所以，；
又因为对任意的，存在，使得成立，即；
故当时，；
令，可化为，即；
当时，函数在上单调递增，即，
解得或，可得；
当时，函数在上单调递减，即，
解得或，可得；
当时，，解得，此时无解；
综上可得：a的取值范围或
【点睛】方法点睛：函数不等式恒（能）成立求参数取值范围问题，一般将问题转化为利用函数单调性求函数值域，再利用分类讨论构建不等式即可求得结果.0
2π
x
0
1
0
0