2023-2024学年北京市西城区第一学期初二数学期末试题及答案

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注意事项
1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满分100分．第四大题为选做题，满分10分，计入总分，但卷面总分不超过100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，是的角平分线．若点D到的距离为3，则的长为（ ）
A. 12B. 7.5C. 9D. 6
6. 如果，那么代数式的值为（ ）
A B. C. 6D. 13
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，（），且，则点C的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（ ）．
A. 45°B. 90°C. 75°D. 135°
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 计算：（1）______；（2）______．
10. 若分式有意义，则x的取值范围是______．
11. 计算：______．
12. 如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以______（写出一个即可）．
13. 如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______（用含a，b的式子表示）．
14. 甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要h，则根据题意可列方程为______．
15. 在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形，其中点F、G在边上，点E、H分别在边、上，则的大小是______．
16. 如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在平分线上，且，则的取值范围是______，的面积的最大值为______．

三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题8分，第20题7分，第21题9分，第22题8分，第23题9分，第24题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
18. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
19. 如图，点C、D上，，，，、相交于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
20. 解方程：．
21. 已知：如图，．
求作：射线，使，且点C在直线的下方．
作法：①在射线上取一点P，过点P作射线的垂线，与射线相交于点M；
②在的延长线上取一点N，使；
③以点O为圆心，长为半径画弧，
再以点M为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方相交于点C；
④作射线．
所以射线即为所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
∵，，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∵，
∴．
在和中，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∴，
即．
22. 阅读材料：
如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，……
根据上述材料，解决下列问题：
（1）已知，，或，……若，则 ；
（2）已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）；
（3）一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）．
23. 在中，，点D在的内部，，．
（1）如图1，线段的延长线交于点E，且．
①求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果；
（2）如图2，点F在线段的延长线上，连接交射线于点M，且M为的中点．求证：．
24. 在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”．
已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形．
（1）当时，直线l和正方形如图2所示．
①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”；
②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
（2）若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
25. 如图，是等边三角形．点是延长线上一个动点，连接，点在的垂直平分线上，且平分，连接，，过点作于点．
（1）当时，的值为 ；
（2）给出下面四个结论：
①点一定在的垂直平分线上；
②点一定是线段的中点；
③当时，；
④点运动过程中，的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
26. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义将点与的“变倍距离”记为，
若，则；
若，则．
例如，点与的“变倍距离”．
已知点．
（1）若点，，则 ， ；
（2）点D在y轴负半轴上，且，求点D的坐标；
（3）点P，Q是第一、三象限角平分线上的两个动点（P与Q不重合），若，直接写出t的取值范围．