专题14 “等效重力场”模型-2024年新课标高中物理模型与方法

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30793" 一.“等效重力场”模型解法综述 PAGEREF _Tc30793 \h 1
\l "_Tc7958" 二．“等效重力场”中的直线运动模型 PAGEREF _Tc7958 \h 1
\l "_Tc21698" 三．“等效重力场”中的抛体类运动模型 PAGEREF _Tc21698 \h 4
\l "_Tc13430" 四．“等效重力场”中的单摆类模型 PAGEREF _Tc13430 \h 10
\l "_Tc22117" 五．“等效重力场”中的圆周运动类模型 PAGEREF _Tc22117 \h 15
一.“等效重力场”模型解法综述
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：
等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力重力、电场力的合力
等效重力加速度等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
二．“等效重力场”中的直线运动模型
【运动模型】 如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30º．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37º=0.6，cs37º=0.8）
E
A
B
C
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
A
B
C
g'
“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角，大小：带电小球沿绳做初速度为零，加速度为的匀加速运动
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②两式解得
“等效重力场”的直线运动的几种常见情况
【模型演练1】.(2020·浙江宁波市重点中学联考)如图所示，相距为d的平行板A和B之间有电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场．电场中C点距B板的距离为0.3d，D点距A板的距离为0.2d，有一个质量为m的带电微粒沿图中虚线所示的直线从C点运动至D点，若重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．该微粒在D点时的电势能比在C点时的大
B．该微粒做匀变速直线运动
C．在此过程中电场力对微粒做的功为0.5mgd
D．该微粒带正电，所带电荷量大小为q＝eq \f(mg,E)
【答案】 C
【解析】 由题知，微粒沿直线运动，可知重力和电场力二力平衡，微粒做匀速直线运动，微粒带负电，B、D错误；微粒从C点运动至D点，电场力做正功，电势能减小，A错误；此过程中电场力对微粒做的功为W＝Fx＝mg(d－0.3d－0.2d)＝0.5mgd，C正确．
【模型演练2】(2020·浙江金华十校4月模拟)如图所示，质量为m、带电荷量为q的带正电小滑块(可视为质点)，从绝缘斜面顶端由静止开始匀加速下滑，下滑高度为2h后进入匀强电场区域，再下滑高度h后到达斜面底端，匀强电场区域有理想边界，电场强度E方向竖直向下，且qE＝mg，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ恒定．则下列说法正确的是( )
A．滑块进入匀强电场区域前后的加速度大小之比为1∶2
B．滑块进入匀强电场区域前后的加速度大小保持不变
C．滑块进入匀强电场区域前后两个阶段的滑行时间之比为(eq \r(2)＋1)∶1
D．滑块进入匀强电场区域前后两个阶段滑行时的摩擦力做功之比为2∶1
【答案】 A
【解析】 设斜面倾角为θ，由牛顿第二定律可知滑块进入匀强电场区域前加速度为a1＝eq \f(mgsin θ－μmgcs θ,m)＝gsin θ－μgcs θ
滑块进入匀强电场区域后加速度为a2＝eq \f(mg＋qEsin θ－μmg＋qEcs θ,m)
由于qE＝mg，则a2＝2(gsin θ－μgcs θ)＝2a1
则滑块进入匀强电场区域前后的加速度大小之比为1∶2，故A正确，B错误；
设滑块进入匀强电场区域前瞬间的速度为v0，则有v02＝2a1·eq \f(2h,sin θ)
滑块到达斜面底端时的速度有v2－v02＝2a2·eq \f(h,sin θ)且a2＝2a1，则v＝eq \r(2)v0，由公式x＝eq \f(v0＋vt,2)t可得滑块进入匀强电场区域前后两个阶段的滑行时间之比为eq \f(t1,t2)＝2(eq \r(2)＋1)，故C错误；
滑块进入匀强电场区域前后的摩擦力分别为Ff1＝μmgcs θ，Ff2＝μ(mg＋qE)cs θ＝2μmgcs θ
由功定义式W＝Fx可知，滑块进入匀强电场区域前后两个阶段滑行时的摩擦力做功之比为1∶1，故D错误．
【典例分析3】(2020·陕西榆林市高三第一次模拟)如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α角，在平行板间存在着匀强电场，直线CD是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF与CD交于O点，一个带电小球沿着∠FOD的角平分线从A点经O点向B点做直线运动，重力加速度为g.则在此过程中，下列说法正确的是( )
A．小球带正电
B．小球可能做匀加速直线运动
C．小球加速度大小为gcs α
D．小球重力势能的增加量等于电势能的增加量
【答案】 D
【解析】 带电小球沿着∠FOD的角平分线从A点经O点向B点做直线运动，所以小球所受合外力沿BA方向，又由于小球受重力，所以电场力的方向由O到D，由于此电场的方向未知，所以小球的电性不能确定，小球做匀减速直线运动，故A、B错误；由题图可知，由于OA是角平分线，且小球的加速度方向由O到A，据几何关系可知a＝2gcs α，故C错误；由分析可知，小球所受重力大小等于电场力大小，运动的位移与重力、电场力的夹角相同，所以二力做的功相同，据功能关系可知，小球重力势能的增加量等于电势能的增加量，故D正确．
三．“等效重力场”中的抛体类运动模型
【运动模型】如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为竖直向上发射一个质量为m、带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
v0
E
建立等效重力场如图所示，等效重力加速度
θ
x
y
g'
v）
g
设与竖直方向的夹角为θ，则
其中
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动

当小球在y轴方向的速度减小到零，即时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度
【模型演练1】.(2020·河南高三二模)如图所示，在电场强度方向水平向右的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为q的粒子从A点以初速度v0竖直向上抛出，粒子运动到B点时速度方向水平，大小也为v0，重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．粒子在该过程中克服电场力做功eq \f(1,2)mv02
B．匀强电场的电场强度大小为eq \f(2mg,q)
C．粒子在A点的电势能比在B点的电势能大eq \f(1,2)mv02
D．粒子从A点运动到B点所用的时间为eq \f(v0,g)
【答案】 CD
【解析】 竖直方向粒子在重力作用下做加速度为g的匀减速直线运动，则v0＝gt，t＝eq \f(v0,g)，水平方向粒子在电场力作用下做匀加速直线运动，则v0＝at＝eq \f(Eq,m)t
则a＝g；匀强电场的电场强度大小为E＝eq \f(mg,q)，B错误，D正确．
从A到B电场力做正功W＝qE·eq \f(v\\al(,02),2a)＝eq \f(1,2)mv02
则电势能减小eq \f(1,2)mv02，
则粒子在A点的电势能比在B点的电势能大eq \f(1,2)mv02，C正确，A错误．
【模型演练2】(2021·广东珠海一模)如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为的带电小球，以初速度v从点竖直向上运动，通过点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从运动到的过程
A．动能增加 B．机械能增加
C．重力势能增加 D．电势能增加
【答案】B
【解析】带电小球M到N过程动能增量为，故A错误；带电小球在电场中做类平抛运动，竖直方向受重力做匀减速运动，水平方向受电场力做匀加速运动，由运动学公式有，可得，竖直方向的位移，水平方向的位移，因此有，对小球由动能定理有，联立上式可解得，，因此电场力做正功，机械能增加，故机械能增加，电势能减少，故B正确D错误，重力做负功重力势能增加量为，故C错误。
【模型演练3】（2021届重庆巴蜀中学高三月考）匀强电场平行于纸面（未画出），如图，质量为m、电荷量为q的正离子以竖直向下的初速度v0开始在电场中运动（记为t=0），t=t0时刻速度最小且为，图中虚线为该离子的运动轨迹。不计重力，则下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的方向斜向左上方，与竖直方向夹角为60°
B．匀强电场的场强大小为
C．t=3t0时刻，离子的速度大小为
D．从t=0到t=3t0，离子的位移为
【答案】BCD
【解析】
A．设电场与竖直方向夹角为θ，粒子沿电场力方向做匀减速运动，垂直电场力方向做匀速运动，当沿电场力方的速度减为零时，粒子的速度最小，因最小值为，则由几何关系可知
则
θ=30°
即匀强电场的方向斜向左上方，与竖直方向夹角为30°，选项A错误；
B．在沿电场方向上
解得
选项B正确；
C．t=3t0时刻，离子沿电场方向的速度大小为

（负号表示与初速度方向相反）
此时的合速度
选项C正确；
D．从t=0到t=3t0，离子沿电场力方向的位移

垂直电场力方向的位移为

则总位移
选项D正确；
故选BCD。
【模型演练4】（2021·河北省武安三中高三上学期11月期中）在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8.0J，在M点的动能为6.0J，不计空气的阻力，则（ ）
A. 从A点运动到M点电势能增加 2J
B. 小球水平位移 x1与 x2 的比值 1：4
C. 小球落到B点时的动能 24J
D. 小球从A点运动到B点的过程中动能有可能小于 6J
【答案】D
【解析】
将小球的运动沿水平和竖直方向正交分解，水平分运动为初速度为零的匀加速直线运动，竖直分运动为匀变速直线运动；
A．从A点运动到M点过程中，电场力做正功，电势能减小，故A错误；
B．对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1：3，故B错误；
C．设物体在B动能为EkB，水平分速度为VBx，竖直分速度为VBy。
由竖直方向运动对称性知
mVBy2=8J
对于水平分运动
Fx1=mVMx2-mVAX2
F（x1+x2）=mVBx2-mVAX2
x1：x2=1：3
解得：
Fx1=6J；
F（x1+x2）=24J
故
EkB=m（VBy2+VBx2）=32J
故C错误；
D．由于合运动与分运动具有等时性，设小球所受的电场力为F，重力为G，则有：
Fx1=6J
Gh=8J

所以：

由右图可得：
所以
则小球从 A运动到B的过程中速度最小时速度一定与等效G’垂直，即图中的 P点，故
故D正确。
故选D。
【模型演练5】（2021·江西省五校高三上学期12月月考）从地面以v0斜向上抛出一个质量为m的小球，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9∶16，取地面为重力势能参考面，不计空气阻力．现在此空间加上一个平行于小球平抛平面的水平电场，以相同的初速度抛出带上正电荷量为q的原小球，小球到达最高点时的动能与抛出时动能相等．求：
(1)无电场时，小球上升到最高点的时间；
(2)后来加上的电场的场强大小．
【答案】 (1)eq \f(4v0,5g) (2)eq \f(mg,2q)或eq \f(2mg,q)
【解析】 (1)无电场时，当小球到达最高点时，小球具有的动能与势能之比是9∶16.
将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，则
由veq \\al(2,y)＝2gh，得eq \f(1,2)mveq \\al(2,y)＝mgh
eq \f(1,2)mveq \\al(2,x)∶eq \f(1,2)mveq \\al(2,y)＝9∶16
解得抛出时：vx∶vy＝3∶4
所以竖直方向的初速度vy＝eq \f(4,5)v0
竖直方向做匀减速运动，有vy＝gt，解得t＝eq \f(4v0,5g)
(2)设后来加上的电场场强大小为E，小球到达最高点时的动能与刚抛出时的动能相等，若电场力的方向与小球初速度的水平分量方向相同，则有eq \f(E1q,m)t＋eq \f(3,5)v0＝v0，解得E1＝eq \f(mg,2q)
若电场力的方向与小球初速度的水平分量方向相反，则有
－eq \f(E2q,m)t＋eq \f(3,5)v0＝－v0，解得E2＝eq \f(2mg,q)
四．“等效重力场”中的单摆类模型
【模型构建】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m的绝缘细绳把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37º．现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放：
O
A
B
C
E
θ
L
+
建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”，
θ
g'
O
A
B
C
θ
A'
C'
+
方向：与竖直方向的夹角，大小：
由A、C点分别做绳OB的垂线，交点分别为A'、C'，由动能
定理得带电小球从A点运动到C点等效重力做功
代入数值得m/s
当带电小球摆到B点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为，绳上的拉力为，则
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ②
联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②两式子得N
【模型演练1】（2021年云南省昆明市三诊一模21题）如图甲所示，可视为质点的小球用长为、不可伸长的轻绳悬挂于点。现对小球施加水平恒力使其从静止开始运动，轻绳拉力大小随绳转过的角度变化的曲线如图乙所示，图中为已知量，重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A. 小球到达最高点时的机械能最大
B. 小球到达最高点时的加速度大小为
C. 小球运动过程中轻绳拉力的最大值为
D. 小球从开始运动到最高点，增加的机械能为
【答案】BC
【解析】水平恒力与重力合成出一个新力场（因为两个力的方向和大小都不变），得到力场，力场为等效重力场模型，受力分析如图所示
A．除重力之外只有在做功，当小球到达水平位置时，做功最多，所以当小球到达水平位置时机械能最大（绳子拉力与小球速度垂直，不做功），故A选项错误；
B．小球到达最高点时，速度为，设其加速度为，据牛二定律得
解得
，
据加速度的合成与分解得
故B选项正确；
C．由图可知，当时，轻绳拉力达到最大值，轻绳的拉力与的合力为小球运动提供向心力，则有
由动能定理得
其中
联立上式，解得
因为刚开始时小球是静止的，则有
故
故C选项正确；
D．小球运动到最高点时，增加的机械能为水平恒力所做的功，即
故D选项错误。
故选BC。
【模型演练2】.(多选)如图，一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点由静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则( )
A．小球在B点时的速度最大
B．小球从A点到B点的过程中，机械能一直在减小
C．小球在B点时细线的拉力最大
D．从B点到C点的过程中小球的电势能一直增大
【答案】 BD
【解析】 小球受到电场力与重力、细线的拉力的作用，在复合场(电场和重力场)中摆动，当重力与电场力的合力与细线的拉力在同一条直线上时，小球处于等效最低点，此时小球的速度最大，对细线的拉力最大，故A、C错误；从A到B的过程中电场力对小球做负功，小球的机械能减小，故B正确；从B到C的过程中克服电场力做功，小球的电势能一直增大，D正确．
【模型演练3】(多选)(2020·四川乐山市第一次调查研究)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球．小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．匀强电场的电场强度E＝eq \f(mgtan θ,q)
B．小球动能的最小值为Ek＝eq \f(mgL,2cs θ)
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】 AB
【解析】 小球静止时悬线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有：mgtan θ＝qE，解得E＝eq \f(mgtan θ,q)，选项A正确；
小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有：eq \f(mg,cs θ)＝meq \f(v2,L)，则最小动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(mgL,2cs θ)，选项B正确；小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误．
【模型演练4】(多选)(2021·河南郑州市线上测试)如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为＋q的小球，系在一根长为l的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动．AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径．已知重力加速度为g，电场强度为eq \f(mg,q)，下列说法正确的是( )
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为eq \r(gl)
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若去掉细线，将小球在A点以大小为eq \r(gl)的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
【答案】 BD
【解析】 由于电场强度E＝eq \f(mg,q)，故有mg＝qE，则等效最低点在BC圆弧中点，重力和电场力的合力为eq \r(2)mg，根据圆周运动公式eq \r(2)mg＝meq \f(v2,l)，小球在等效最高点的最小速度为v＝eq \r(\r(2)gl)，故A错误；除重力和弹力外其他力做功等于机械能的增加量，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时，电场力做功最多，故到B点时的机械能最大，故B正确；小球所受合力方向与电场方向夹角为45°斜向下，故若将小球在A点由静止开始释放，它将沿合力方向做匀加速直线运动，故C错误；若去掉细线，将小球在A点以大小为eq \r(gl)的速度竖直向上抛出，小球在竖直方向做竖直上抛运动，加速度为－g，水平方向做匀加速运动，加速度为g，当竖直方向上的位移为0时，运动的时间为t＝2eq \f(v0,g)＝eq \f(2\r(gl),g)＝2eq \r(\f(l,g))，水平位移x＝eq \f(1,2)gt2＝2l，则小球能运动到B点，故D正确．
五．“等效重力场”中的圆周运动类模型
【模型构建】如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m的带正电，电量为小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？
E
R
300
mg
qE
N
R
300
E
O
B
3
R
300
O
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．
等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力，大小，，得，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B点应满足“重力”当好提供向心力即：
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：解得：
【模型演练1】(2020·福建龙岩市高三上学期期末)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m的带电小球(可视为质点)恰好能静止在C点．若在C点给小球一个初速度使它在轨道内侧恰好能做完整的圆周运动(小球的电荷量不变)．已知C、O、D在同一直线上，它们的连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.求：
(1)小球所受的电场力F的大小；
(2)小球做圆周运动，在D点的速度大小及在A点对轨道压力的大小．
【答案】 (1)eq \r(3)mg (2)eq \r(2gr) 9mg
【解析】 (1)小球在C点静止，受力分析如图所示
由平衡条件得F＝mgtan 60°
解得：F＝eq \r(3)mg
(2)小球在光滑轨道内侧恰好做完整的圆周运动，在D点小球速度最小，对轨道的压力为零，
则eq \f(mg,cs 60°)＝meq \f(vD2,r)
解得小球在D点的速度vD＝eq \r(2gr)
小球由轨道上A点运动到D点的过程，根据动能定理得
－mgr(1＋cs θ)－Frsin θ＝eq \f(1,2)mvD2－eq \f(1,2)mvA2
解得小球在A点的速度vA＝2eq \r(2gr)
小球在A点，根据牛顿第二定律得：FNA－mg＝meq \f(vA2,r)
解得：FNA＝9mg
根据牛顿第三定律得：小球对轨道的压力大小为FNA′＝9mg.
【模型演练2】(2021·河南高三二模)如图所示，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab段水平，长度为2R；bc段是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力F的作用，自a点处从静止开始向右运动，重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中，以下说法正确的是( )
A．重力与水平外力合力的冲量等于小球的动量变化量
B．小球对圆弧轨道b点和c点压力大小都为5mg
C．小球机械能增量为3mgR
D．小球在到达c点前的最大动能为(eq \r(2)＋1)mgR
【答案】BD.
【解析】：根据动量定理可知，重力、水平外力以及轨道支持力的合力的冲量等于小球的动量变化量，选项A错误；从a到b，由动能定理：2FR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,b)，则Nb－mg＝meq \f(veq \\al(2,b),R)，解得Nb＝5mg；从a到c，由动能定理：3FR－mgR＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,c)，则Nb－mg＝meq \f(veq \\al(2,c),R)，解得Nc＝5mg，vc＝2eq \r(gR)，选项B正确；小球离开c点后，竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，设小球从c点达到最高点的时间为t，则有：t＝eq \f(vc,g)＝2eq \r(\f(R,g))；此段时间内水平方向的位移为：x＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)eq \f(F,m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(\f(R,g))))eq \s\up12(2)＝2R，所以小球从a点开始运动到其轨迹最高点，小球在水平方向的位移为：L＝3R＋2R＝5R，此过程中小球的机械能增量为：ΔE＝FL＝mg×5R＝5mgR，故C错误；小球在圆弧槽中运动过程中，在小球所受的重力、力F以及槽的支持力三力平衡的位置速度最大，动能最大，由于F＝mg，则此位置与圆心的连线与竖直方向夹角为45°，由动能定理：F·2R＋FRsin 45°－mgR(1－cs 45°)＝Ekm，解得Ekm＝(eq \r(2)＋1)mgR，选项D正确．
【模型演练3】(多选)(2020·广东深圳高级中学月考)如图所示，竖直平面内有固定的半径为R的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向平行于轨道平面水平向左，P、Q分别为轨道上的最高点、最低点，M、N是轨道上与圆心O等高的点．质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速度为g，电场强度E＝eq \f(3mg,4q)，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电势能最大
B．小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M点
C．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为6mg
D．小球过Q、P点时所受轨道弹力大小的差值为7.5mg
【答案】 BC
【解析】 根据等效场知识可得，电场力与重力的合力大小为mg等＝eq \r(mg2＋qE2)＝eq \f(5,4)mg，故等效重力加速度为g等＝eq \f(5,4)g，如图所示，tan θ＝eq \f(qE,mg)＝eq \f(3,4)，即θ＝37°，若小球刚好能通过C点关于圆心O对称的D点，那么小球就能做完整的圆周运动．小球在D点时的动能最小，但D点并非是其电势能最大的位置，小球电势能最大的位置在N点，选项A错误；小球在轨道上运动的过程中遵守能量守恒定律，小球在轨道上M点的电势能最小，机械能最大，选项B正确；小球过Q点和P点时，由牛顿第二定律可得FQ－mg＝meq \f(vQ2,R)，FP＋mg＝meq \f(vP2,R)，小球从Q点到P点，由动能定理可得－2mgR＝eq \f(1,2)mvP2－eq \f(1,2)mvQ2，联立解得FQ－FP＝6mg，选项C正确，D错误．
【模型演练4】(2020·安徽皖江联盟名校联考)如图所示，半径为R＝0.4 m半圆形绝缘光滑轨道BC与水平绝缘粗糙的轨道AB在B点平滑连接，轨道AB上方有电场强度大小为E＝1.0×
104 N/C，方向向左的匀强电场．现有一质量m＝0.1 kg、电荷量q＝＋1.0×10－4 C的带电体(可视为质点)，在水平轨道上的P点由静止释放，若带电体恰好可以沿圆弧轨道运动到C点，并在离开C点后，落回到水平面上的D点(图中未画出)，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)带电体运动到圆形轨道B点时对轨道的压力大小；
(2)带电体落回到水平面上的D点到B点的距离；
(3)带电体从开始运动到落回到水平面整个过程中的最大动能(结果保留三位有效数字)．
【答案】 (1)6.0 N (2)0 (3)1.17 J
【解析】 (1)设带电体通过C点时的速度为vC，
根据牛顿第二定律有mg＝meq \f(v\\al(C2),R)
解得vC＝2.0 m/s
设带电体通过B点时的速度为vB，设轨道对带电体的支持力大小为FB，带电体在B点时，
根据牛顿第二定律有FB－mg＝meq \f(v\\al(B2),R)
带电体从B运动到C的过程中，
根据动能定理有－mg·2R＝eq \f(1,2)mvC2－eq \f(1,2)mvB2
联立解得FB＝6.0 N
根据牛顿第三定律，带电体运动到圆形轨道B点时对轨道的压力大小FB′＝6.0 N
(2)设带电体从最高点C落至水平轨道上的D点经历的时间为t，根据运动的分解有2R＝eq \f(1,2)gt2
xDB＝vCt－eq \f(1,2)·eq \f(Eq,m)t2
联立解得xDB＝0
(3)由P点到B点带电体做加速运动，故最大速度一定出现在从B到C的过程中，在此过程中只有重力和电场力做功，这两个力大小相等，其合力与重力方向成45°夹角斜向左下方，故最大速度必出现在B点左侧对应圆心角为45°处．
设带电体的最大动能为Ekm，
根据动能定理有qERsin 45°－mgR(1－cs 45°)＝Ekm－eq \f(1,2)mvB2
代入数据解得Ekm≈1.17 J.
【模型演练5】（2021·内蒙古开鲁县一中高三上学期12月月考）如图所示，竖直平面内有一固定绝缘轨道ABCDP，由半径的圆弧轨道CDP和与之相切于C点的水平轨道ABC组成，圆弧轨道的直径DP与竖直半径OC间的夹角，A、B两点间的距离。质量的不带电绝缘滑块静止在A点，质量、电荷量的带正电小球静止在B点，小球的右侧空间存在水平向右的匀强电场。现用大小、方向水平向右的恒力推滑块，滑块到达B点前瞬间撤去该恒力，滑块与小球发生弹性正碰，碰后小球沿轨道运动，到达P点时恰好和轨道间无挤压且所受合力方向指向圆心。小球和滑块均视为质点，碰撞过程中小球的电荷量不变，不计一切摩擦。（取，，）
(1)求碰后瞬间小球的速度大小；
(2)求匀强电场的电场强度大小E及小球到达P点时的速度大小；
(3)求B、C两点间的距离x。
【答案】(1)m/s；(2)7.5×104N/C，2.5m/s；(3)0.85m
【解析】
(1)对滑块从A点运动到B点的过程，根据动能定理有
解得
滑块与小球发生弹性正碰，设碰后滑块、小球的速度大小分别为v1、v2，则由动量守恒定律得
由能量守恒得
联立解得
（“”表示v1的方向水平向左）
(2)小球到达P点时，受力如图所示
则有
解得
小球所受重力与电场力的合力大小为
小球到达P点时，由牛顿第二定律有
解得
(3)对小球碰后运动到P点的过程，根据动能定理有
解得
匀速直线运动
匀加速直线运动
匀减速直线运动
θ
v0
mg
qE
θ
v0
mg
qE
F合
θ
v0
mg
qE
F合