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    2024南通高三上学期第一次调研测试(一模)数学含解析
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    2024南通高三上学期第一次调研测试(一模)数学含解析

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    这是一份2024南通高三上学期第一次调研测试(一模)数学含解析,共21页。试卷主要包含了已知直线y=x-1与抛物线C等内容,欢迎下载使用。

    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上指定位置上,在其他位置作答一律无效。
    3.本卷满分为150分,考试时间为120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知集合A={x|-2<x<3},B={0,1,2,3},则A∩B=
    A.{-2,-1} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
    2.已知z+eq \\ac(\S\UP7(―),z)=8,z-eq \\ac(\S\UP7(―),z)=6i,则zeq \\ac(\S\UP7(―),z)=
    A.25 B.16 C.9 D.5
    3.若向量a=(λ,4),b=(2,μ),则“λμ=8”是“a∥b”的
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    4.设{an}为等比数列,a2=2a4+3a6,则eq \f(a\s\d(4)-a\s\d(7),a\s\d(2)-a\s\d(5))=
    A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.3 D.9
    5.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体,则该四面体不可能
    A.每个面都是等边三角形
    B.每个面都是直角三角形
    C.有一个面是等边三角形,另外三个面都是直角三角形
    D.有两个面是等边三角形,另外两个面是直角三角形
    6.已知直线y=x-1与抛物线C:x2=2py(p>0)相切于M点,则M到C的焦点距离为
    A.1 B.2 C.3 D.4
    7.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0,+∞),若xf′(x)<2f(x),则
    A.4e2f(2)<16f(e)<e2f(4) B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e)
    C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2) D.16f(e)<e2f(4)<4e2f(2)
    8.某中学开展劳动实习,学生制作一个矩形框架的工艺品.要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上,则矩形框架周长的最小值为
    A.20eq \r(,2)cm B.30eq \r(,5)cm C.40eq \r(,5)cm D.60eq \r(,2)cm
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位:环),得到如下数据:

    A.甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
    B.甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
    C.甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
    D.甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
    10.设函数f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数,f(1+x)=f(1-x),f(3)=1,则
    A.f(-1)=1 B.f(x)=f(4+x)
    C.f(x)=f(4-x) D. eq \(∑,\s\up6(18),\s\d6(k=1))f(k)=-1
    11.已知点M在圆x2+y2+2x-3=0上,点P(0,1),Q(1,2),则
    A.存在点M,使得|MP|=1 B.∠MQP≤eq \f(π,4)
    C.存在点M,使得|MI|=|MQ| D.|MQ|=eq \r(,2)|MP|
    12.我国古代数学家祖暅提出一条原理:“幂势既同,则积不容异”,即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.利用该原理可以证明:一个底面半径和高都等于R的圆柱,挖去一个以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.现有一个半径为R的球,被一个距离球心为d(d>0)的平面截成两部分,记两部分的体积分别为V1,V2(V1<V2),则
    A.V1=eq \f(π,3)(R-d)2(2R+d) B.V2=eq \f(π,9)(R+2d)(2R-d)(3R+d)
    C.当d=eq \f(R,2)时,eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))=eq \f(5,27) D.当d≤eq \f(R,3)时,eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))≥eq \f(7,20)
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知函数f(x)=EQ \B\lc\{(\a\al(lg\S\DO(2)(x+2),x≥-1,,2\S(x)-1, x<-1,))则f(lg2eq \f(1,3))= .
    14.已知(x-1)(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2= ,a1+a2+a3+a4+a5= .(注:第一空2分,第二空3分)
    15.已知函数f(x)=2sin(ωx+eq \f(π,4))(ω>0),若f(x1)=f(x2)=-eq \r(,3),|x1-x2|的最小值为eq \f(π,2),则f(eq \f(π,8))= .
    16.已知椭圆E:EQ \F(x\S(2),a\S(2))+\F(y\S(2),b\S(2))=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,设P,Q是E上位于x轴上方的两点,且直线PF1与QF2平行.若4|PF1|=|QF1|,2|PF2|=5|QF2|,则E的离心率为 .
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(10分)
    已知AB是圆锥PO的底面直径,C是底面圆周上的一点,PC=AB=2,AC=eq \r(,2),平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
    (1)证明:OC⊥平面PAB;
    (2)求二面角A-PB-C的余弦值.
    18.(12分)
    在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知tanB=eq \f(3,5),tanC=eq \f(1,4),b=6.
    (1)求A和c;
    (2)若点D在AC边上,且BD2=AD2+CD2,求AD.
    19.(12分)
    记正项数列{an}的前n项和为Sn,满足1,EQ \R(,S\S\DO(n)),an成等差数列.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)设集合A={k|ak=eq \f(a\s\d(n+1)a\s\d(n+3),a\s\d(n)),k∈N*,n∈N*},求集合A.
    20.(12分)
    已知双曲线C:EQ \F(x\S(2),a\S(2))-\F(y\S(2),b\S(2))=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率为eq \f(\r(,5),2).过点(4,0)的直线l与C的右支交于M,N两点,设直线AM,BM,BN的斜率分别为k1,k2,k3.
    (1)若k2=eq \f(\r(,3),2),求k3;
    (2)证明:k2(k1+k3)为定值.
    21.(12分)
    某商场在元旦期间举行摸球中奖活动,规则如下:一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球,每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球,若摸出的3个球中至少有2个红球,则该顾客中奖.
    (1)若有三位顾客依次参加活动,求仅有最后一位顾客中奖的概率;
    (2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动,记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号,若无人中奖,则记X=0.证明:E(X)<eq \f(7,2).
    22.(12分)
    已知函数f(x)=lnx-eq \f(a,x).
    (1)讨论f(x)的单调性;
    (2)若a>0,记x0为f(x)的零点,m=eq \r(,2a+1),n=a+1.
    ①证明:m<x0<n;
    ②探究x0与eq \f(m+n,2)的大小关系.
    运动员
    第1次
    第2次
    第3次
    第4次
    第5次

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    南通市2024届高三第一次调研测试
    数 学
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上指定位置上,在其他位置作答一律无效。
    3.本卷满分为150分,考试时间为120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知集合A={x|-2<x<3},B={0,1,2,3},则A∩B=
    A.{-2,-1} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3}
    2.已知z+eq \\ac(\S\UP7(―),z)=8,z-eq \\ac(\S\UP7(―),z)=6i,则zeq \\ac(\S\UP7(―),z)=
    A.25 B.16 C.9 D.5
    3.若向量a=(λ,4),b=(2,μ),则“λμ=8”是“a∥b”的
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    4.设{an}为等比数列,a2=2a4+3a6,则eq \f(a\s\d(4)-a\s\d(7),a\s\d(2)-a\s\d(5))=
    A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.3 D.9
    5.从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体,则该四面体不可能
    A.每个面都是等边三角形
    B.每个面都是直角三角形
    C.有一个面是等边三角形,另外三个面都是直角三角形
    D.有两个面是等边三角形,另外两个面是直角三角形
    6.已知直线y=x-1与抛物线C:x2=2py(p>0)相切于M点,则M到C的焦点距离为
    A.1 B.2 C.3 D.4
    直线与抛物线相切,则4p2-8p=0,
    7.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0,+∞),若xf′(x)<2f(x),则
    A.4e2f(2)<16f(e)<e2f(4) B.e2f(4)<4e2f(2)<16f(e)
    C.e2f(4)<16f(e)<4e2f(2) D.16f(e)<e2f(4)<4e2f(2)
    8.某中学开展劳动实习,学生制作一个矩形框架的工艺品.要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上,则矩形框架周长的最小值为
    A.20eq \r(,2)cm B.30eq \r(,5)cm C.40eq \r(,5)cm D.60eq \r(,2)cm
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位:环),得到如下数据:

    A.甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
    B.甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
    C.甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
    D.甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
    10.设函数f(x)的定义域为R,f(x)为奇函数,f(1+x)=f(1-x),f(3)=1,则
    A.f(-1)=1 B.f(x)=f(4+x)
    C.f(x)=f(4-x) D. eq \(∑,\s\up6(18),\s\d6(k=1))f(k)=-1
    11.已知点M在圆x2+y2+2x-3=0上,点P(0,1),Q(1,2),则
    A.存在点M,使得|MP|=1 B.∠MQP≤eq \f(π,4)
    C.存在点M,使得|MI|=|MQ| D.|MQ|=eq \r(,2)|MP|
    12.我国古代数学家祖暅提出一条原理:“幂势既同,则积不容异”,即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.利用该原理可以证明:一个底面半径和高都等于R的圆柱,挖去一个以上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.现有一个半径为R的球,被一个距离球心为d(d>0)的平面截成两部分,记两部分的体积分别为V1,V2(V1<V2),则
    A.V1=eq \f(π,3)(R-d)2(2R+d) B.V2=eq \f(π,9)(R+2d)(2R-d)(3R+d)
    C.当d=eq \f(R,2)时,eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))=eq \f(5,27) D.当d≤eq \f(R,3)时,eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))≥eq \f(7,20)
    0<x≤eq \f(1,3),
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知函数f(x)=EQ \B\lc\{(\a\al(lg\S\DO(2)(x+2),x≥-1,,2\S(x)-1, x<-1,))则f(lg2eq \f(1,3))= .
    14.已知(x-1)(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2= ,a1+a2+a3+a4+a5= .(注:第一空2分,第二空3分)
    15.已知函数f(x)=2sin(ωx+eq \f(π,4))(ω>0),若f(x1)=f(x2)=-eq \r(,3),|x1-x2|的最小值为eq \f(π,2),则f(eq \f(π,8))= .
    16.已知椭圆E:EQ \F(x\S(2),a\S(2))+\F(y\S(2),b\S(2))=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,设P,Q是E上位于x轴上方的两点,且直线PF1与QF2平行.若4|PF1|=|QF1|,2|PF2|=5|QF2|,则E的离心率为 .
    【解析】
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(10分)
    已知AB是圆锥PO的底面直径,C是底面圆周上的一点,PC=AB=2,AC=eq \r(,2),平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
    (1)证明:OC⊥平面PAB;
    (2)求二面角A-PB-C的余弦值.
    【解析】
    18.(12分)
    在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知tanB=eq \f(3,5),tanC=eq \f(1,4),b=6.
    (1)求A和c;
    (2)若点D在AC边上,且BD2=AD2+CD2,求AD.
    【解析】
    19.(12分)
    记正项数列{an}的前n项和为Sn,满足1,EQ \R(,S\S\DO(n)),an成等差数列.
    (1)求{an}的通项公式;
    (2)设集合A={k|ak=eq \f(a\s\d(n+1)a\s\d(n+3),a\s\d(n)),k∈N*,n∈N*},求集合A.
    【解析】
    20.(12分)
    已知双曲线C:EQ \F(x\S(2),a\S(2))-\F(y\S(2),b\S(2))=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率为eq \f(\r(,5),2).过点(4,0)的直线l与C的右支交于M,N两点,设直线AM,BM,BN的斜率分别为k1,k2,k3.
    (1)若k2=eq \f(\r(,3),2),求k3;
    (2)证明:k2(k1+k3)为定值.
    【解析】
    21.(12分)
    某商场在元旦期间举行摸球中奖活动,规则如下:一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球,每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球,若摸出的3个球中至少有2个红球,则该顾客中奖.
    (1)若有三位顾客依次参加活动,求仅有最后一位顾客中奖的概率;
    (2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动,记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号,若无人中奖,则记X=0.证明:E(X)<eq \f(7,2).
    【解析】
    22.(12分)
    已知函数f(x)=lnx-eq \f(a,x).
    (1)讨论f(x)的单调性;
    (2)若a>0,记x0为f(x)的零点,m=eq \r(,2a+1),n=a+1.
    ①证明:m<x0<n;
    ②探究x0与eq \f(m+n,2)的大小关系.
    【解析】

    运动员
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