备战2024高考数学艺体生一轮复习40天突破90分讲义word版专题32 四大分布：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布（解析版）

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一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量的分布列.
表13-1
= 1 \* GB3 ① ;
= 2 \* GB3 ② .
（2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则.
（3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。
二、几种特殊的分布列、期望、方差
（1）两点分布（又称0，1分布）
= ，= .
（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，=.
（3）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式。
三、正态分布
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图所示，有以下性质：
= 1 \* GB3 ①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
= 2 \* GB3 ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
= 3 \* GB3 ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④图像与轴之间的面积为1.
（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。
【典例例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知得的所有可能取值为0，1，且，
代入，得，
所以，
故选:D．
例2．（2023·江苏南通·统考一模）已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【解析】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，
所以乙､丙一定都正确，则，
故甲正确，
根据正态曲线的对称性可得，故丁错.
故选：D.
例3．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）在如图所示的正方形中随机投掷20000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）
附:若X~N(μ,σ2),P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544．
A．4772B．6826C．3413D．9544
【答案】B
【解析】解:由题知曲线C为正态分布N(0,1),
所以,
所以,
所以阴影部分的概率,
设落入阴影部分的点的个数为,
根据频率估计概率,有,
解得:.
故选:B
例4．（2023·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：
(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；
(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量的分布列和数学期望.
【解析】（1）从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条，抽中购买的是男装的概率分别为，
故抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率.
（2）这5家店中男装销量超过女装销量的专卖店有丁、戊，共两家，则的可能取值有：0，1，2，可得：
，
故的分布列为：
∴.
例5．（2023·全国·高三专题练习）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：
(1)试估计这100名学生得分的平均数；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.所有参加知识竞赛的2000名学生中，试问得分高于77分的人数最有可能是多少？
参考数据：，，.
【解析】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数
.
（2）参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为，，，
所以，，.
所以的分布列为
∴.
（3）由（1）知，，
所以.
得分高于77分的人数最有可能是.
例6．（2023·全国·高三专题练习）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到亿元，较2018年约增长．从全球应用北斗卫星的城市中选取了个城市进行调研，上图是这个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求产值小于万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的个城市中任取个，设为产值不超过万元的城市个数，求的分布列及期望和方差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取个城市，求恰有个城市的产值超过万元的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图可知产值小于万元的频率为，
所以产值小于万元的调研城市个数为（个）；
（2）由（1）得产值不超过万元的调研城市有个，超过万元的调研城市有（个），
所以随机变量的取值可能为，，，
所以，，，
所以可得分布列
期望；
方差；
（3）由频率分布直方图可知城市的产值超过万元的概率为，
设任取个城市中城市的产值超过万元的城市个数为，
可知随机变量满足，
所以.
例7．（2023·全国·高三专题练习）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(ⅰ)得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
(ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:
现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
参考数据与公式：，若，则①；②；③.
【解析】（1）.故，
又，∴，.
∴.
综上，.
（2）易知.
获赠话费的可能取值为20，40，60，80.
；；
；.
故的分布列为:
∴.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【解析】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于95的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：，，
A．0.135%B．1.35%C．3.15%D．3.35%
【答案】A
【解析】依题意，
所以测试成绩不小于95的学生所占的百分比为.
故选：A
3．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取（ ）．
A．15份B．20份C．25份D．30份
【答案】B
【解析】可知正态曲线的对称轴为，
得，
，
应从110分以上的试卷中抽取.
故选：B.
4．（2023·高三课时练习）若随机变量，其中，则下列等式中成立的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，则，
对A：，A错误；
对B：，两者不相等，B错误；
对C：，C正确；
对D：，D错误.
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.5B．0.625C．0.75D．0.875
【答案】C
【解析】因为，并且
又因为，所以，所以
所以，所以
故选：C
6．（2023·上海·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为随机变量服从正态分布，则，
所以，.
故选：B.
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_________．
【答案】
【解析】由题意得，当时，即，
所以
故答案为：
8．（2023·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)=_________．
【答案】
【解析】设袋中有个黑球，则白球有，
由题意可得：，解得或（舍去），
故X的可能取值有，则有：
，
可得X的分布列为：
故.
故答案为：.
9．（2023·高三课时练习）已知口袋中装有n(n>1)个红球和2个黄球，从中任取2个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量X表示取到黄球的个数，X的分布列如下表所示，则X的数学期望为_________．
【答案】1
【解析】由题意可得：，解得或（舍去），
则，即X的分布列如下表所示：
故X的数学期望.
故答案为：1.
10．（2023·全国·高三专题练习）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为_________.（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】由题，不放回地摸5个球，摸出至少3个白球，即白球数量为3,4,5，
则概率为，
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答）
【答案】
【解析】由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，，，，，
所以的数学期望，
故答案为：.
三、解答题
12．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在数学探究实验课上,小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球,一共有偶数个小球,现在从盒子中一次摸一个球,不放回．
(1)若盒子中有6个球,从中任意摸两次,摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为．
①求红球的个数;
②从盒子中任意摸两次球,记摸出的红球个数为,求随机变量的分布列和数学期望．
(2)已知盒子中有一半是红球,若“从盒子中任意摸两次球,至少有一个红球”的概率不大于,求盒子中球的总个数的最小值．
【解析】（1）①设红球的个数为,则摸出的两个球中恰好有一个红球的概率,
解得,所以红球的个数为3;
②的所有可能取值为0,1,2,
则,,,
故随机变量的分布列为
所以;
（2）设球的总个数为,则红球的个数为,
则从盒子中任意摸两次球,都不是红球的概率:,
所以至少有一个红球的概率,
解得,所以盒子中球的总个数的最小值为8．
13．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
(1)从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，
【解析】（1）设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知50名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以，
可以可估计这名学生考核优秀的概率为．
（2）由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，则考核成绩在[70，80）的学生应抽取3人，考核成绩在[80，90）的学生应抽取5人．
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以
所以随机变量X的分布列为
所以
即所求数学期望为．
14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，
所以，，，
所以的分布列为：
由题意可得，
所以，，
，，
所以的分布列为：
（2），.
，
，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
15．（2023·全国·高三专题练习）新高考按照“3＋1＋2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校为了解该校考生的选科情况，从首选科目为物理的考生中随机抽取10名（包含考生甲和考生乙）进行调查.假设考生选择每个科目的可能性相等，且他们的选择互不影响.
(1)求考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率；
(2)已知抽取的这10名考生中，女生有4名，从这10名考生中随机抽取5名，记X为抽取到的女生人数，求X的分布列与数学期望.
【解析】（1）考生可在化学、生物、政治、地理四科中选择两科， 共有 种，
其中考生选择了地理作为再选科目， 共有 种，
故考生甲和考生乙都选择了地理作为再选科目的概率.
（2）由题意可得， 所有可能取值为0，1，2，3，4
， ，
，.
故的分布列为：
故.
16．（2023·河北保定·高三统考期末）根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修课．某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时．现在在该学院进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到如下频率分布表：
(1)求，的值；
(2)在这100份样本数据中，从完成学时位于区间的大四学生中随机抽取2份，记抽取的这2份学时位于区间的份数为，求的分布列与数学期望；
(3)已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%，本学年这两个年级体育选修课程学时位于的学生占两个年级总体的16%．现从该学院这两个年级中任选一位学生，若此学生本学年选修的体育课程学时位于，求他选修的是乒乓球的概率（以样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于该区间的概率，精确到0.0001）．
【解析】（1）由题意得，大三年级人数：，
，
，
，
综上，，.
（2）由题意可知，大四年级人数为，
这位学生学时在的大四学生为人，
在的大四学生为人，
则的取值可能为，，，
，，，
随机变量X的概率分布列如表为：
随机变量X的数学期望为.
（3）由题知，学时位于的概率为，
A＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70，80]}，
B＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，
则由条件概率公式得
，
即该生选乒乓球的概率约为．
17．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
(1)试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在的人数，求的分布列与数学期望．
【解析】（1）由频率分布表可得，解得，
所以这200份问卷得分的平均值为
；
（2）由题意可得的可能取值为，则，
又，
则的分布列为：
18．（2023·山东潍坊·高三统考期末）一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为，三个红球一个白球的概率为.
(1)从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；
(2)现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为，抽到三个小球的概率为，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记分，用表示抽到的小球分数之和，求的分布列及数学期望.
【解析】（1）记事件表示“抽取一个小球且为红球”，表示“箱子中小球为两红两白”，表示“箱子中小球为三红一白”，
则.
（2）由题意得的取值可以为，0，1，3，4，6，
，
，
，
，
，
.
随机变量的分布列为：
所以的分布列及数学期望为：
.
19．（2023·全国·高三专题练习）某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”．为了更好地了解学生的喜好情况，根据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调查意向选择喜好类型，统计如下：
在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响)．
(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率；
(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数为X，求X的分布列与均值．
【解析】（1）（1）根据题意，设职业体验选择救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、公平正义的法律类的概率依次为，
则，，，，
则救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类都有选择的概率；
（2）由（1）的结论：选择除暴安良的警察类，
这三名学生中选择除暴安良的警察类型的随机数可能为0、1、2、3，且，
故，
则的分布列如下：
则．
20．（2023·江苏南通·高三统考期末）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛,约定:随机选择两人打第一局,获胜者与第三人进行下一局的比赛,先获胜两局者为优胜者,比赛结束.已知每局比赛均无平局,且甲赢乙的概率为,甲赢丙的概率为,乙赢丙的概率为.
(1)若甲、乙两人打第一局,求丙成为优胜者的概率;
(2)求恰好打完2局结束比赛的概率.
【解析】（1）解:由题知,根据约定,
丙成为优胜者的情形为:甲赢,丙赢,丙赢,
或乙赢,丙赢,丙赢,两种情况,
当甲赢,丙赢,丙赢时,概率,
当乙赢,丙赢,丙赢时,概率,
故丙成为优胜者的概率;
（2）若甲乙先比赛,
则甲乙能先比赛的概率为,
此时2局结束比赛的情形分为:
①甲赢,甲赢;
②乙赢,乙赢,
故;
若甲丙先比赛,
则甲丙能先比赛的概率为,
此时2局结束比赛情形分为:
①甲赢,甲赢;
②丙赢,丙赢,
故;
若乙丙先比赛,
则乙丙能先比赛的概率为,
此时2局结束比赛的情形分为:
①乙赢,乙赢;
②丙赢,丙赢,
故.
故恰好打完2局结束比赛的概率.
21．（2023·全国·高三专题练习）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩，其中地理成绩均在（单位：分），将收集到的地理成绩按分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
【解析】（1）由题意可得：，
解得，
估计该校2022年高考地理科的平均成绩为.
（2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A，“选到物理类考生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C，则有，
∴，
记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则，
∴，
故，
若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，选到历史类考生的概率.
22．（2023·上海·高三专题练习）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(1)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．
①恰好有3次摸到红球的概率；
②第一次、第三次、第五次摸到红球的概率；
(2)若A、B两个袋子中的球数之比为，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
【解析】（1）①由于每次摸出一个红球的概率是，摸不到红球的概率为，
故恰好有3次摸到红球的概率．
②由于每次摸出一个红球的概率都是，
故第一次、第三次、第五次摸到红球的概率为．
（2）设袋子A中有m个球，袋子B中有2m个球，
由，得.
23．（2023·上海·高三专题练习）为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供,人申请，且他们的申请是相互独立的.
(1)求两人不申请同一套住房的概率；
(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）设两人申请同一套住房为事件，
，
所以两人不申请同一套住房的概率为；
（2）方法一：随机变量可能取的值为.
，
，
，
所以的分布列为
所以数学期望.
方法二：依题意得，
所以，
所以的分布列为
所以数学期望.
24．（2023·江苏无锡·高三统考期末）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值：，，．
【解析】（1）（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，
，，，
∴X的分布列如下：
．
（2）．
∴符合该项指标的学生人数为：人
每个学生通过选拔的概率对，
∴最终通过学校选拔人数，
∴．
25．（2023·上海·高三专题练习）为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：米）近似服从正态分布，且.
(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在内的概率.
(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为.
①求甲代表学校出战省运会的概率.
②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲获胜，你给我100块，如果甲获胜，你给我50块，如果甲获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗？说明你的理由.
【解析】（1）因为，，
∴；
（2）①由题可得甲获胜的概率为，
甲获胜的概率为，
甲获胜的概率为，
所以，甲代表学校出战省运会的概率为；
（2）由题可得丁获得奖金的期望值为：
，
所以如果我是丁，我不会和他打赌.
26．（2023·全国·高三专题练习）某高中组织了1000名学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生、女生中分别随机抽取20名学生的得分情况（满分100分）．得到如下统计图：
(1)若从这40名成绩位于的学生中随机抽取2人，记成绩在的人数为X，求X最有可能的取值；
(2)若此次知识竞答全校学生的成绩Y近似服从正态分布．若学校要对成绩不低于95分的学生进行表彰，请估计获得表彰的学生人数．
附：若随机变量，则，
，．
【解析】（1）40人中，成绩位于中有5人，位于有10人，
可能的值分别为0，1，2．
对应事件的概率为；
对应事件的概率为；
对应事件的概率为；
由于最大，故最可能值为1；
（2），
获得表彰的学生人数约为人；
综上，X最可能的值为1，获得表彰的人数约为23人.
27．（2023·全国·高三专题练习）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算).
①请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)；
②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望.
【解析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
千米/时.
所以这1000辆机动车的平均车速为：千米/时
（2）由（1）得，该公路上机动车的行车速度服从正态分布，
可得，
（i）可得，
所以10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆.
（ii）由（i）知：车速低于85千米/时的概率为，
从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，相互独立且每辆车的概率是相等的，
则车速低于85千米/时的车辆数为，则，
所以期望为.
28．（2023·全国·高三专题练习）大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一．某校组织全校学生进行立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达标测试，测试结果（单位：米）均在内，整理数据得到如下频率分布直方图．学校规定男生立定跳远2.05米及以上为达标，否则为不达标．
(1)若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练．请你通过计算，判断该校男学生是否还需加强立定跳远训练；
(2)为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生立定跳远的距离（单位：米）近似服从正态分布，且．再从该校任选3名男生进行测试，X表示这3人中立定跳远达标的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．
【解析】（1）由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为
因为，所以该校男生还需加强立定跳远训练．
（2）因为近似服从正态分布，且，
所以，
由题意可知，
，．
，，
所以X的分布列为
则．
29．（2023·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试，从该次考试成绩中随机抽取样本，以，，，，分组绘制的频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)取（1）中的值，假设本次考试成绩X服从正态分布，且，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在范围内的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．
【解析】（1）依题意可得
（2）由（1）可知，且，
所以
所以，则的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为
所以
30．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）
(1)求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s；
(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；
(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.
附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，.
【解析】（1），
第一组学生的方差为；
解得；
第二组学生的方差为；
解得.
这40名学生的方差为
，
所以；
（2）由，，得的估计值，的估计值.
，
∴.
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人），
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”；
（3）设王强在这轮比赛得3分为事件A，他以的比分获胜为事件，他以的比分获胜为事件.
则，
；
所以，
设王强前3局比赛获胜的事件为B，
则，
所以.
…
0
1
1-
款式/专卖店
甲
乙
丙
丁
戊
男装
60
60
130
80
110
女装
120
90
130
60
50
0
1
2
0
1
2
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
赠送的随机话费(单元:元)
20
40
概率
0.75
0.25
20
40
60
80
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
P
a
b
X
0
1
2
P
0
1
2
成绩
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
5
5
15
25
10
X
1
2
3
4
P
1
2
3
0
1
2
3
成绩（单位：学时）
频数（不分年级）
3
x
21
35
33
频数（大三年级）
2
6
16
y
16
X
0
1
2
P
分数
频率
0.15
0.25
0.30
0.10
0
1
3
4
6
类型
救死扶伤的医务类
除暴安良的警察类
百花齐放的文化类
公平正义的法律类
人数
30
20
20
30
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
X
1
2
3
4
P
X
0
1
2
3
P