湖北省黄石市黄石港区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖北省黄石市黄石港区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．我市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．任意实数B．C．D．
3．空气的密度是 0.00129 克每立方厘米，将 0.00129 用科学记数法表示应为（ ）
A．1.29 103B．1.29 105C．1.29 104D．1.29 102
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在和中，已知，，添加下列条件中的一个，不能使一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
7．下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A．a2+4a-12=a(a-4)-12B．a2+4a-12=(a-2)(a+6)
C．(a-2)(a+6)=a2+4a-12D．a2+4a-12=(a+2)2-16
8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图，，为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点（在格点上），使得为等腰三角形，则点的个数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（ ）
A．①③B．①②④C．①②③D．②③
二、填空题
11．若代数式的值为0，则x= ．
12．一个正多边形的内角和是，则它的一个外角是 度．
13．已知是一个完全平方公式，则 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是线段AB的垂直平分线，已知，则∠A＝ ．
15．若关于的分式方程无解，则的值为 ．
16．如图，在中，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）分解因式：．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连结．
(1)求证：．（要求写出每一步的理论依据）
(2)当，时，求的度数．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)请画出关于y轴对称的；
(2)直接写出的面积为 ；
(3)请仅用无刻度的直尺画出的平分线，保留作图痕迹．
22．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己受新型新冠状病毒感染．某药店用元购进若干包一次性医用口罩，很快售完，该店又用元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多．每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
23．在中，、分别平分和，和相交于点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，连接，求证：平分；
(3)如图3，若，求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．
(1)求、OB的长；
(2)连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围；
(3)过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：观察四个选项可知，只有选项A选项中的图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，属于轴对称图形，
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，即：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形．
2．C
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：由题意可得：x-2≠0，
解得：x≠2，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
3．A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】将0.00129用科学记数法表示应为1.29×10−3．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．D
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
5．B
【分析】判定三角形全等可依据SSS、SAS、ASA、AAS.
【详解】解：A选项，，，，A正确；
B选项，，，这种情况不能判定三角形全等，B错误；
C选项，，，，C正确；
D选项，，，，D正确.
故选：B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的4种判定方法是解题的关键.
6．B
【分析】此题考查了分式的混合运算，先计算括号内的分式减法运算，再计算分式除法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
故选：．
7．B
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐一判断即可．
【详解】解：A选项：，不是几个整式的积的形式；
B选项：，是几个整式的积的形式；
C选项：，不是几个整式的积的形式；
D选项：，不是几个整式的积的形式．
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的概念，熟练掌握因式分解的一般形式是解题的关键．
8．D
【详解】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，△ABC是等腰三角形，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=36°，
∴△ACD是等腰三角形，
在△BDC中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BD=BC=BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴∠BDE=72°，∠ADE=36°，
∴△ADE是等腰三角形．
∴图中等腰三角形共有共5个．
故选D．
【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和、外角和，平角相关知识．
9．B
【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．
【详解】当为腰时，如图，
当为底边时，点无格点，
综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个，
故选：．
10．C
【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断．
【详解】在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠A+∠B）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，
BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，
∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，
PA＝PF，
∴△APH≌△FPD，
∴AH＝FD，
又∵AB＝FB，
∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确．
连接HD，ED．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，
∵∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH＝S△EPD，
∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
＝S△ABP+S△APH+S△PBD
＝S△ABP+S△FPD+S△PBD
＝S△ABP+S△FBP
＝2S△ABP，故④不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．-2
【分析】根据分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0，即可求出结论．
【详解】解：根据题意，得
解得x=-2；
故答案是：-2．
【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子=0且分母≠0是解决此题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是，首先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求出每个外角的度数，进而求出答案，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设正多边形的边数为，
由题意得：，解得：，
∴正十四边形的每个外角为：，
故答案为：．
13．或．
【分析】此题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征即可求解，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
【详解】∵是一个完全平方公式，
∴，
∴，则或，
故答案为：或．
14．/36度
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠DBA，根据直角三角形的两锐角互余列式计算，得到答案．
【详解】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠CBD=∠ABD，∠ABC=3∠CBD，
∴∠A=2∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
即2∠DBC+2∠DBC+∠DBC=90°，
解得，∠DBC=l8°，
∴∠A=36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．10或或3
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．
【详解】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得；
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
故答案为：10或或3．
【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．
16．
【分析】如图，过点C作，交于点E，过点E作于点F，则，根据直角三角形的性质可得，再根据角平分线的性质可得，从而可得，即当C、E、F三点共线，且时，的值最小，最小值为的值，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作，交于点E，过点E作于点F，则，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴点F、关于对称，
∴，
∴当C、E、三点共线，且时，的值最小，最小值为的值，
即的值最小值为，
故答案为：．
【点睛】直角三角形的性质、角平分线的性质、轴对称的性质及点到直线的距离垂线段最短，运用轴对称的性质解决线段最短问题是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】（1）利用多项式乘多项式法则直接求解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
【点睛】本题考查了多项式乘多项式及整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
18．(1)；
(2)分式方程无解．
【分析】（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为：；
（2）解：，
，解得：，
当时，，
∴分式方程无解．
19．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】对于（1），先根据中线的定义得，再根据证明；
对于（2），先根据垂直定义，再根据证明，可求，然后根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】（1）证明：是边上的中线（已知）．
（三角形中线的定义），
在和中，，
；
（2）（已知），
（垂直的定义）.
在和中，
，
（SAS），
（全等三角形的性质），
平分（角平分线的定义）.
（已知），
（等量代换），
在中，（三角形内角和定理），
（等式的基本性质）.
又（已证），
（全等三角形的性质）.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判断，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的中线和高线的性质等，选择适当的全等三角形判定定理是解题的关键．
20．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简，然后把，值的代入即可求解，掌握分式的通分和约分是解题的关键．．
【详解】解：原式，
，
，
当时，
原式．
21．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据图形的对称性，分别作A、B、C三点关于y轴对称的点、、，连接三点即得所求图形；
（2）用所在长方形面积减去周围小三角形面积即可；
（3）根据等腰三角形三线合一，利用格点作出高线即可得到的平分线．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知， ．
故答案为：；
（3）解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、利用网格求三角形面积、等腰三角形三线合一的性质等知识，熟记几何图形性质是解题的关键．
22．(1)购进的第一批医用口罩有包；
(2)药店销售该口罩每包的最高售价是元．
【分析】（1）设购进的第一批医用口罩有x包，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．
（2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设购进的第一批医用口罩有x包，
则．
解得：．
经检验是原方程的根，并符合实际意义．
答：购进的第一批医用口罩有包；
（2）解：设药店销售该口罩每包的售价是y元，则由题意得：
．
解得：．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
23．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC，利用三角形的内角和定理可求解∠ABD+∠BAD=70°，即可求得∠ABC+∠BAC=140°，结合三角形的内角和定理可求解．
（2）过点作于，于，于，由角平分线的性质定理得，从而可得结论；
（3）延长至，使，连接，根据AAS证明，得，进一步可得出结论．
【详解】（1）解：∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，且相交于点D，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADB=110°，
∴∠ABD+∠BAD=70°，
∴∠ABC+∠BAC=140°，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，
∴∠C=40°，
（2）解：如图，过点作于，于，于，
∵、分别平分和，，
，，
，，
∴，
又∵，，
∴平分；
（3）解：如图，延长至，使，连接，
∵、分别平分和，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
24．(1)，
(2)且
(3)3或9
【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m、n的值，即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可；
（3）根据时，一定要使，然后分两种情况：P在线段上时或P在线段的延长线上进行讨论，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，；
（2）解：分为两种情况：①当P在线段上时，如图所示：
，，
∴的面积，
∵若的面积不大于3且不等于0，
∴，
解得：；
②当P在线段的延长线上时，如图所示：
∵，，
∴的面积，
∵若的面积不大于3且不等于0，
∴，
解得：；
即t的范围是且；
（3）解：∵，
∴，
分两种情况：①当P在线段上时，如图所示：
∵，
∴；
②当P在线段的延长线上时，如图所示：
∵，
∴；
即存在这样的点P，使，t的值是3或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性和算术平方根的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性和算术平方根的非负性，注意进行分类讨论．