备考2024届高考数学一轮复习强化训练第七章立体几何与空间向量第5讲空间向量及空间位置关系

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解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为点E为上底面A1C1的中心，所以A1E＝12（A1B1＋A1D1）＝12（AB＋AD），故AE＝
AA1＋A1E＝AA1＋12AB＋12AD，
因为AE＝AA1＋xAB＋yAD，
所以x＝y＝12.
2.[命题点1，2]已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ＝ 657 .
解析 因为a，b，c共面，所以设a＝xb＋yc，故（2，－1，3）＝x（－1，4，－2）＋
y（7，5，λ），即－x+7y=2，4x+5y＝－1，－2x＋λy=3，解得λ＝657.
3.[命题点3]如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.
解析 如图，以C为原点，CD，CB的方向分别为x轴、y轴正方向，过点C作底面BCD的垂线为z轴，建立空
间直角坐标系，则AD∥z轴.
设CD＝a，因为P为BM的中点，AQ＝3QC，
所以D（a，0，0），A（a，0，2），M（a，0，1），B（0，8－a2，0），P（a2，8－a22，12），Q（a4，0，12），所以PQ＝（－a4，－8－a22，0）.
又平面BCD的一个法向量n＝（0，0，1），
所以PQ·n＝0，
又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.