专题11 与球有关的切接问题综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

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知识点1 常见的外接球模型
1、墙角模型
适用范围：3组或3条棱两两垂直；可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合
直接用公式，即，求出

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
2、麻花模型
适用范围：对棱相等相等的三棱锥
对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，且这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。
推导过程：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，
，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出.
3、垂面模型
适用范围：有一条棱垂直于底面的棱锥。
推导过程：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，
作小圆的直径,连接,则 必过球心.
第二步：为的外心，所以平面，
算出小圆的半径
(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理.
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
（1）；
（2）.
公式：
4、切瓜模型
适用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

推导过程：分别在两个互相垂直的平面上取外心、过两个外心做两个垂面的垂线，
两条垂线的交点即为球心0，取B C的中点为，
连接、、、为矩形
由勾股可得
公式：
5、斗笠模型
适用于：顶点的投影在底面的外心上的棱锥
推导过程：取底面的外心，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高，在上取一点作为球心0，根据勾股定理
公式：
6、矩形模型
适用范围：两个直角三角形的斜边为同一边，则该边为球的直径
推导过程：图中两个直角三角形和，其中，求外接圆半径
取斜边的中点，连接，则
所以点即为球心，然后在中解出半径
公式：（为斜边长度）
7、折叠模型
适用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠.
推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，
设折叠的二面角 .
如图，作左图的二面角剖面图如右图：
和分别为外心，
分别过这两个外心做这两个平面的垂线且垂线相交于球心
由勾股定理可得：.
公式：
知识点2 多面体的内切球
1、正方体的内切球
正方体的内切球球心位于其对角线中点处，
对于变成为a的正方体，其内切球半径为R=a2.
2、直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，
故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，
又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，
故仅有满足ℎ=2r的直三棱柱有内切球，其中ℎ为直三棱柱的高
3、棱锥的内切球
1、方法：一般采用等体积法
2、结论：
（1）以三棱锥为例说明：若三棱锥A-BCD的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为R=3VS.
（2）若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为612a.
3、推导过程：如图所示，设内切球的半径为R，
则内切球的球心O到每个面的距离相等且等于R，
设∆ABC，∆ABD，∆ACD，∆BCD的面积分别为S1，S2，S3，S4
则VA−BCD=VO−ABC+VO−ABD+VO−AACD+VO−BCD，
即V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R=13(S1+S2+S3+S4)R=13SR，
所以R=3VS
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球。
特别的：轴截面法
对于正四、六、八棱锥，通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径。
以正四棱锥为例推导：
设E、F分别为棱AB、CD的中点，
则∆PEF的内切圆即为该正四棱锥P−ABCD的内切球的大圆，
该内切圆的半径为内切球的半径：R=r=2S∆PEFC∆PEF（等面积法可得）
知识点3 旋转体的内切球
1、圆柱的内切球
不是所有的圆柱独有内切球，
只有当圆柱的高ℎ与圆柱的底面半径r满足ℎ=2r，
即圆柱的轴截面为正方形时，才有内切球，
此时内切球的半径为圆柱的底面半径r.
2、圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，
内切圆的半径即为内切球的半径，
设圆锥底面半径为r，高为ℎ，
则S∆PAB=12×2r×ℎ=rℎ，C∆PAB=2r+2ℎ2+r2，
所以R=2S∆PABC∆PAB=rℎr+ℎ2+r2
考点1 墙角模型求外接球
【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期中）已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，两两互相垂直，且，若球O的表面积为 _____．
【变式1-1】（2022秋·陕西西安·高一统考期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023春·全国·高一专题练习）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺.
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023春·浙江·高一湖州中学校联考期中）正三棱锥的侧棱长为，为的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为______．
【变式1-4】（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知三棱锥的体积为6，且.则该三棱锥外接球的表面积为______.
【变式1-5】（2023·全国·高一专题练习）在半径为R的球面上有A，B，C，D四点，且直线两两垂直，若的面积之和为6，则此球体积的最小值为____．
考点2 麻花模型求外接球
【例2】（2023春·广东梅州·高二统考期中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在△ABC中，，将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置，使得，如图所示，则三棱锥外接球的体积为_____________．
【变式2-2】（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）如图，在中，，D，E，F分别为三边中点，将分别沿向上折起，使A，B，C重合为点P，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·江西·统考模拟预测）在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2022·全国·高三专题练习）已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝AD＝1，现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．
考点3 垂面模型求外接球
【例3】（2023·高一单元测试）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A．3 B． C． D．6
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2020春·天津宁河·高一校考期末）在三棱锥中，面，且在中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023春·广东·高一校联考期中）在三棱锥中，平面BCD，，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023春·浙江·高一校联考期中）如图，在三棱推中，高（底面），．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求三棱锥外接球的表面积．
考点4 切瓜模型求外接球
【例4】（2023·高一课时练习）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
【变式4-1】（2023·四川达州·统考二模）三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）在直三棱柱中，，，点P为的中点，则四面体PABC的外接球的体积为（ ）
A．. B． C． D．
【变式4-3】（2022·高一单元测试）四棱锥的顶点都在球的表面上，是等边三角形，底面是矩形，平面平面，若，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.
【变式4-5】（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥中，ABCD是边长为2的正方形，，平面平面，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．4π B．8π C． D．
考点5 斗笠模型求外接球
【例5】（2023·全国·高一专题练习）正四面体内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·高一专题练习）已知正四棱锥（底面四边形是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习）某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（ ）
A．16 B．8 C．32 D．24
【变式5-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______．
考点6 矩形模型求外接球
【例6】（2022春·全国·高一期末）已知三棱锥A-BCD中，，，则此几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】．（2023·河北唐山·统考三模）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）矩形中，，沿将三角形折起，得到的四面体的体积的最大时，则此四面体外接球的表面积值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2022春·四川成都·高一统考期末）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将△ABC沿对角线AC折起，则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（ ）
A．36π B．64π
C．100π D．与二面角B-AC-D的大小有关
考点7 折叠模型求外接球
【例7】（2022春·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知菱形的边长为3，，沿对角线折成一个四面体，使平面垂直平面，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式7-1】已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，且二面角为，则三棱锥外接球的半径为
【变式7-2】（2023·河南郑州·三模）两个边长为4的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2022秋·福建泉州·高三校考开学考试）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为____________.
【变式7-4】（2022秋·山东德州·高二统考期中）已知在三棱锥中，中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点8 多面体的内切球
【例8】（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）三棱锥的侧棱两两垂直，且侧面面积分别为，则该三棱锥内切球的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥中,平面,则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为_______,_______.
【变式8-3】（2022春·河南·高一统考期末）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积为______．
【变式8-4】（2022春·广东广州·高一校考阶段练习）（多选）已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的是（ ）
A．圆台的高为4 B．圆台的母线长为4
C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为
考点9 旋转体的内切球
【例9】（2022·全国·高一假期作业）已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为( )
A． B． C． D．
【变式9-1】（2022春·辽宁·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为.若圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·高一单元测试）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________．
【变式9-3】（2023·全国·高一专题练习）在中，，，现以为旋转轴旋转360°得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点10 球与球的相切
【例10】（2021秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）（多选）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2023春·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2022春·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为________；大球体积的最小值为________．
【变式10-3】（2022·安徽淮北·统考一模）半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-4】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切.若，则该模型中最小小球的半径为___________.
1．（2023春·河北保定·高一保定市第三中学校考期中）已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，．若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023春·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河南濮阳·高一濮阳外国语学校校考期中）有一个正三棱柱形状的石料，该石料的底面边长为6．若该石料最多可打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·全国·高一专题练习）上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，上、下底面边长分别为，，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD的对角线AC，BD的长分别为和6，且BD垂直平分AC把△ACD沿AC折起，使得点D到达点P，则三棱锥P-ABC体积最大时，其外接球半径为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2023春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考期中）正方体的体积为8，则正方体的外接球的半径为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
7．（2023春·天津和平·高一耀华中学校考期中）已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为和，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·高一校考单元测试）已知点都在球的球面上，， 是边长为1的等边三角形，与平面所成角的正弦值为，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·高一课时练习）如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·全国·高一专题练习）已知中，，，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·高一课时练习）若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·全国·高一专题练习）已知空间四边形，，，且，，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中）在中，，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的表面积为___________.
14．（2023春·陕西咸阳·高一统考期中）已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为_________.
15．（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）多面体的各顶点在半径为2的球面上，是矩形，，则多面体体积的最大值为__________.
16．（2023春·全国·高一专题练习）已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为_________.
17．（2023·全国·高一专题练习）我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，，，则该四面体的外接球的表面积为________．
18．（2023·江苏·高一专题练习）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______.
19．（2023春·全国·高一专题练习）三棱锥P－ABC中，二面角P－AB－C为120°，和均为边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC外接球的半径为______．
20．（2023·全国·高一专题练习）已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为______.