第07讲 函数的图象（讲+练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：画出函数的图象
高频考点二：函数图象的识别
高频考点三：函数图象的应用
①研究函数的性质
②确定零点个数
③解不等式
④求参数的取值范围
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第07讲 函数的图象（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
④(，且)的图象(，且)的图象.
3、伸缩变换
①.
②.
4、翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
5、图象识别技巧（按使用频率优先级排序）
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（；；，；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
④极限（左右极限）（；；；；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·陕西西安·高一期末）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
的定义域为，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误.
，所以B选项错误.
故选：C
2．（2022·北京·高三学业考试）函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由图象可知，当时，.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
A：没有幂函数图象，不符合；
B：中，中，不符合；
C：中，中，不符合；
D：中，中，符合.
故选：D.
4．（2022·浙江金华第一中学高一期末）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象，图（2）､（3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（ ）
A．图（1）的点的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位
B．图（1）的射线上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利
C．图（2）的建议为降低成本而保持票价不变
D．图（3）的建议为降低成本的同时提高票价
【答案】D
A：当时，，所以当乘客量为0时，亏损1个单位，故本选项说法正确；
B：当时，，当时，，所以本选项说法正确；
C：降低成本而保持票价不变，两条线是平行，所以本选项正确；
D：由图可知中：成本不变，同时提高票价，所以本选项说法不正确，
故选：D
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：画出函数的图象
1．（2021·宁夏·银川市第六中学高一期中）已知函数.
(1)证明是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求函数的值域.
【答案】(1)证明见解析；(2)图象见解析；(3)
(1)
解：由题知函数的定义域关于原点对称，
，
所以函数是偶函数
(2)
解：由题知，
进而结合二次函数与分段函数的性质作图如下：
(3)
解：由（2）的函数图象可知函数的最小值为，函数的最大值为，
所以函数的值域为
2．（2021·山东临沂·高一期中）已知是整数，幂函数在上单调递增．
(1)求的解析式；
(2)若，画出函数的大致图象；
(3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性．
【答案】(1)(2)作图见解析
(3)单调减区间为，，单调增区间为，，证明见解析
(1)
解：由题意可知，，即，
因为是整数，所以，或，
当时，，当时，，
综上可知，的解析式为；
(2)
解：由（1）知，则，
函数的图象如图所示，
(3)
解：由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，，
当时，，
设任意的，且，
则，
∵，且，∴，，
∴，即，
所以在区间上单调递增．
3．（2021·全国·高一课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
(1)
作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示：
(2)
把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，
函数图像如下图所示：
(3)
作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示：
(4)
把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示：
高频考点二：函数图象的识别
1．（2022·福建福州·高一期末）已知函数，则的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
解：由题得，所以排除选项A,D.
,所以排除选项C.
故选：B
2．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
由题意知，，解得，所以定义域关于原点对称，又因为，所以此函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A.
当时，，排除B.
，函数只有1个零点，排除C.
故选：D
3．（2022·山东德州·高三期末）已知函数，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
由题可知：函数定义域为，
，
所以，故该函数为奇函数，排除A,C
又，所以排除B,
故选：D
4．（2022·浙江·高三学业考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
因为函数的定义域为R，且不是偶函数，所以排除C、D；
又，排除A，即确定答案为B.
故选: B.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由题可知函数定义域为，则，
又
所以是奇函数，且时，，故选项A正确.
故选：A
6．（2022·广西南宁·一模（文））函数的图象最有可能是以下的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数，故排除CD，又，故排除A选项，B正确.
故选：B
7．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
对任意的，，则函数的定义域为，排除C选项；
，，
所以，函数为偶函数，排除B选项，
因为，排除A选项.
故选：D.
高频考点三：函数图象的应用
①研究函数的性质
1．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数，则（ ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为，无最小值
C．的最大值为，最小值为1
D．的最大值为3，最小值为-1
【答案】B
解：，
由与，
解得；
解得；
所以与的交点坐标为，，
因为，所以，
所以的图象如下图所示：
由图象，可知最大值为，无最小值，
故选：B．
2．（2022·全国·高一期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)画出函数的图象，并讨论方程的解的个数.
【答案】(1)函数为偶函数，证明见解析；
(2)图象见解析；当时，方程的解为0个；当或时，方程的解为2个；当时，方程的解为4个；当时，方程的解为3个.
(1)
函数为偶函数，
∵，
∴的定义域为R，关于原点对称，
且，
所以为偶函数；
(2)
因为，
所以函数的图象如下所示：
方程的解的个数，即与的交点个数，结合函数图象可知：
当时，有0个解，当或时，有2个解，当时，有4个解，当时，有3个解.
3．（2022·山东潍坊·高一期末）已知定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)在给出的直角坐标系中作出的图像，并写出函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)图像答案见解析，单调递增区间为，单调递减区间为
(1)
设，则，所以，
又为奇函数，所以，
又为定义在上的奇函数，所以，
所以
(2)
作出函数的图像，如图所示：
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
②确定零点个数
1．（2022·全国·高三阶段练习）函数的零点个数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
令，得；
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示；
观察可知，两个函数的图象有个交点（其中个交点的横坐标介于到之间，另外两个交点分别为，，故函数的零点个数为，
故选：D．
2．（2022·江西·高一期末）已知函数，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
方程恰有两个不等的实根，
等价于与的图象有两个交点，
的图象如图所示，平移水平直线可得，
故选：B.
3．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
【答案】
作出函数的图象和直线，如图，
由图象可得时，直线与函数图象有三个交点，即函数有三个零点．
．
故答案为：．
4．（2022·湖南·高一课时练习）用图象法判定方程的根的个数.
【答案】1
方程根的个数，等价于函数与图象的交点个数，
函数与在同一坐标系中的图象如图所示，
两函数图象只有一个交点，
所以方程的根的个数为1
③解不等式
1．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
不等式，则或，
观察图象，解得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D
2．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
作出函数与的图象，如图，
当时，，作出函数与的图象，
由图象可知，此时解得；
当时，，作出函数与的图象，
它们的交点坐标为、，结合图象知此时.
所以不等式的解集为.
故选：C
3．（2022·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
不等式，
分别画出函数和的图象，
由图象可知和有两个交点，分别是和，
由图象可知的解集是
即不等式的解集是.
故选：B
4．（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________．
【答案】，．
解：因为满足，即；
又由，可得，
画出当，时，的图象，
将在，的图象向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），
再向左平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的倍），
由此得到函数的图象如图：
当，时，，，，
又，所以，
令，由图像可得，则，解得，
所以当时，满足对任意的，，都有，
故的范围为，．
故答案为：，．
④求参数的取值范围
1．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
2．（2022·河北石家庄·高一期末）已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，
，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；
的图象如下：
所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，
由图及函数性质知：，易知：，，
所以.
故选：C
3．（多选）（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）函数恰有2个零点，则的取值可以是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】BD
解：由题意得：
当时，，该函数是由向上或向下平移个单位得到
当时，
对于函数，令，则
若，即，函数与轴没有交点，则满足不等式组故可取，如图1所示；
若，即，函数与轴有一个交点，则满足不等式或，解得或或无解，如图2所示；
又，解得，故可取
故选：BD
4．（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数若且，则的最小值是________．
【答案】##
函数的图象如图所示．
令，则，所以．令，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
故答案为：．
5．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．
【答案】
因为函数有2个不同的零点，
所以关于的方程在区间内有两个不等的实根，
即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图
过作圆的切线，则点到切线的距离，
解得（舍去）或，
所以，得，
即k的取值范围是，
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
2．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
3．（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
5．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcsx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
（1）函数的图象如图所示：
（2），
当时， ，可得：，
当，，可得：，
所以的解集为：，
所以的取值范围为.
第五部分：第07讲 函数的图象（精练）
一、单选题
1．（2022·湖南·高一课时练习）函数与的定义域均为，它们的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：即为函数的图像在函数的图像的上方的部分对应自变量的范围，
由图可知，当时，或，
即不等式的解集是.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）如图为函数的图象，则该函数可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由图可知，时，，ACD的函数,
故选：B.
3．（2022·北京交通大学附属中学高二阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为奇函数，
当时，有，函数的图象在第一象限，分析选项可得：C符合
故选：C
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
5．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
A：函数的定义域为，不符合；
B：由，不符合；
C：由，不符合；
D：且定义域为，为偶函数，
在上单调递增，上单调递减，
结合偶函数的对称性知：上递减，上递增，符合.
故选：D
6．（2022·四川达州·二模（理））函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
∵函数，，
∴，故排除BD；
又，故排除C.
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，若，，均不相等，且==，则的取值范围是（ ）
A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)
【答案】C
画出函数的图象，
如图所示，不妨设，因为，所以，解得：，的取值范围是，所以的取值范围是．
故选：C
8．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））设是定义在R上且周期为2的函数，当时，，其中a，，且函数在区间上恰有3个零点，则a的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
因为是定义在R上且周期为2的函数，
所以，所以，得，
则时，，
当时，，其图象如图所示

，由于周期为2，所以，所以不符合题意，
当时，则图象向上平移，函数无零点，所以不符合，
当时，可得在上有一个零点，所以在上有零点，所以在区间上恰有3个零点，符合题意，
当时，可得在上有2个零点，由于函数的周期为2，所以在上有6个零点，不符合题意，
当时，则可得，在区间上恰有3个零点，所以符合题意，
当时，函数图象与轴无交点，
综上，当或时，在区间上恰有3个零点，
故选：D
二、填空题
9．（2022·重庆·高一期末）已知幂函数的图象如图所示，则______．（写出一个正确结果即可）
【答案】（答案不唯一）
由幂函数图象知，函数的定义域是，且在单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，
而函数的图象关于y轴对称，即幂函数是偶函数，则幂函数的幂指数为偶数，
综上得：.
故答案为：
10．（2022·山东威海·高一期末）已知函数，若关于的方程有四个根，则实数的取值范围为______．
【答案】
由，得
令，画出图像
由图可知，当时，方程有四解，
即方程有四个根.
故答案为:
11．（2022·云南·高三阶段练习（理））函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
由题意，函数恰有4个零点，
即，即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点，
又由，
作出该函数的图象，如图所示，
当时，函数，其中时，；
当时，函数，其中时，，
结合图象可得，
当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
即函数恰有4个零点时，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
12．（2022·重庆·高一期末）设函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是______．
【答案】
由题意知，令，解得，
根据，得，
作出函数的图象如图所示，
由方程有3个不等的根，
得函数图象与直线有3个不同的交点，
由图象可得，当时函数图象与直线有3个不同的交点，
所以t的取值范围为.
故答案为：
三、解答题
13．（2022·北京·高三专题练习）已知函数，作出的大致图像并写出它的单调性；
【答案】详见解析.
当时，函数的图象，如图所示：
则的图象，如图所示：
由图象知：在上递减，在上递增；
当时，函数的图象，如图所示：
则的图象，如图所示：
由图象知：在上递减，在上递增；
14．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数
(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
(1)
由解析式知：
的图象如下图所示：

由图象知，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
令，解得或，
结合图象知:的解集为．
15．（2022·广东东莞·高一期末）给定函数，，，用表示，中的较大者，记为.
(1)求函数的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，作图见解析；
(2).
(1)
①当即时，，则，
②当即或时，，则，
故
图象如下：
(2)
由（1）得，当时，，
则在上恒成立等价于在上恒成立.
令，，
原问题等价于在上的最小值.
①当即时，在上单调递增，
则，故.
②当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，由时，，故不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0