浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题7.5 期末专项复习之因式分解十二大必考点（学生版+教师版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20148" 【考点1 因式分解的概念】 PAGEREF _Tc20148 \h 1
\l "_Tc11526" 【考点2 因式分解（提公因式与公式法综合）】 PAGEREF _Tc11526 \h 3
\l "_Tc15548" 【考点3 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc15548 \h 5
\l "_Tc30473" 【考点4 因式分解（分组分解法）】 PAGEREF _Tc30473 \h 10
\l "_Tc3977" 【考点5 利用整体思想分解因式】 PAGEREF _Tc3977 \h 12
\l "_Tc9407" 【考点6 利用拆项法分解因式】 PAGEREF _Tc9407 \h 15
\l "_Tc27178" 【考点7 利用添项法分解因式】 PAGEREF _Tc27178 \h 19
\l "_Tc26420" 【考点8 利用因式分解进行有理数的简算】 PAGEREF _Tc26420 \h 24
\l "_Tc13030" 【考点9 利用因式分解判定三角形的形状】 PAGEREF _Tc13030 \h 25
\l "_Tc18257" 【考点10 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc18257 \h 30
\l "_Tc9146" 【考点11 因式分解的探究题】 PAGEREF _Tc9146 \h 32
\l "_Tc244" 【考点12 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc244 \h 37
【考点1 因式分解的概念】
【例1】（2022·江苏徐州·七年级期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
【变式1-1】（2022·山东·海川中学八年级期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2﹣x+1B．1﹣2xy+x2y2C．a2﹣aD．a2+2ab﹣b2
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：选项A、C、D都不能够用完全平方公式分解，
选项B能用完全平方公式分解，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式1-2】（2022·云南省个旧市第二中学八年级期中）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．a3－3a2＋2aB．a2－2ab＋b2－1C．－a2＋b2D．－a2－b2
【答案】D
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、原式不能分解，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，正确分解因式是解题关键．
【变式1-3】（2022·上海·七年级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（ ）
①
②
③
④
⑤
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，分解的结果要分解到不能再分解为止，根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可．
【详解】①左边为三项，右边乘开为两项，故错误；
②右边(x+2y)2=x2+4xy+4y2≠左边，故错误；
③公因数2未提出来，故错误；
④a3﹣abc+a2b﹣a2c
=(a3+a2b)﹣(abc+a2c)
=a2(a+b)﹣ac(a+b)
=a(a﹣c)(a+b)
④正确；
⑤等式右边的(8x+2y+4z)未提取公因数2，故错误．
综上，只有④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握分解的基本方法及分解要求，是解答本题的关键．
【考点2 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例2】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；
（2）先进行公式变形为，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可
（1）
解：
=
；
（2）
解：


；
【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。
【变式2-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）已知，先因式分解，再求值：．
【答案】；
【分析】先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：
当，时，
原式．
【点睛】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是提出公共因式．
【变式2-2】（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式ab，再根据完全平方公式分解；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解．
（1）
解：
=
=
（2）
解：
=
=
【点睛】本题考查了用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【变式2-3】（2022·浙江·宁波大学青藤书院七年级期中）因式分解：
(1)；
(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
【答案】(1)m（x+y）（x﹣y）
(2)（a﹣b）（2m+3n）
【分析】（1）直接提取公因式m,再利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（a-b），进而分解因式即可．
（1）
＝
＝m（x+y）（x﹣y）；
（2）
2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
【考点3 因式分解（十字相乘法）】
【例3】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【答案】(1)
(2)±2，±7
(3)
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项−18＝−9×2，一次项系数7＝−2＋9，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项，一次项系数，然后进行分解计算即可．
（1）
解：＋7x−18
＝＋（−2＋9）x＋（−2）×9
＝（x−2）（x＋9）
故答案为：（x−2）（x＋9）．
（2）
解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）
解：−6x+8＝0，
（x−2）（x-4）＝0，
（x−2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
【变式3-1】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
【答案】(1)(x-y)(x+6y)
(2)(x-3a)(x-a-2)
(3)(x+a-3b)(x-a-2b)
(4)(20182x2+1)(x-1)
【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可；
（2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可；
（3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可；
（4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；
(1)
解：原式=
=(x-y)(x+6y)；
(2)
解：原式=
=(x-3a)(x-a-2)；
(3)
解：原式=
=
=
=(x+a-3b)(x-a-2b)；
(4)
解：原式=
=
=
=(20182x+1)(x-1) ．
【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式可用十字相乘法方法得出是解答本题的关键．
【变式3-2】（2022·浙江杭州·七年级期中）分解因式：________．
【答案】
【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
【变式3-3】（2022·贵州铜仁·七年级期中）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
②43或
【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可．
（2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可．
（1）
首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以 ．
故答案为：．
（2）
①把二次项系数2写成，，满足，所以 ．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以 ．
故答案为：．
（3）
①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以 ．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．
【考点4 因式分解（分组分解法）】
【例4】（2022·上海市娄山中学九年级期中）分解因式：__________．
【答案】##（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．
【变式4-1】（2022·上海·七年级期中）因式分解：
【答案】
【分析】先把后三项作为一组，运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于常考题型，正确分组、掌握解答的方法是解题关键．
【变式4-2】（2022·湖南常德·七年级期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．
【答案】（x﹣y）（3x+2y﹣1）
【分析】先对代数式进行分解，然后十字相乘进行因式分解，再提取公因式即可．
【详解】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）
＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）
＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的有关方法是解题的关键．
【变式4-3】（2022·福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a7b，求整式M的最小值．
【答案】（1）①（b-2）(a-2）；②21或16；（2）M的最小值是-10．
【分析】（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解；
②先将ab﹣2a﹣2b﹣4＝0变形为ab﹣2a﹣2b+4-8=0，即=8，然后再解决本题．
（2）先将ab﹣a﹣b﹣1＝0变形为ab=a+b+1，再代入M，然后进行变形，得到M=（a﹣3）2+（b-2）2﹣10，最后，探究M的最小值．
【详解】解：（1）①原式==
②解：ab﹣2a﹣2b﹣4＝0
则ab﹣2a﹣2b+4-8=0，由①可知：=8
∵a，b（a＞b）都是正整数
∴，且a-2、b-2都是整数，

易得或（其他两种不符合a，b为正整数，舍去）
故：2a+b=21或16；
（2）由ab﹣a﹣b﹣1＝0得ab=a+b+1带入M
=
=（a﹣3）2+（b-2）2﹣10，
∵，
∴M≥-10，
∴M的最小值是﹣10．
【点睛】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键．
【考点5 利用整体思想分解因式】
【例5】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是___________．
【答案】
【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案．
【详解】解：令，
则原式，
再将还原，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
【变式5-1】（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．
解：设x2+3x＝y
原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）
＝y2﹣8y+16（第二步）
＝（y﹣4）2（第三步）
＝（x2+3x﹣4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）（x-1）2（x+4）2；（3）（3x-1）4．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】解：（1）由y2﹣8y+16＝（y﹣4）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法
故选：C；
（2）（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25，
解：设x2+3x＝y
原式＝（y﹣9）（y+1）+25
＝y2﹣8y+16
＝（y﹣4）2
＝（x2+3x﹣4）2
=(x-1)2(x+4)2；
故答案为：(x-1)2(x+4)2；
（3）（9x2 6x+3）（9x2 6x 1） 4
设9x2 6x =y，
原式=(y+3)（y-1）+4，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（9x2 6x +1）2，
=（3x-1）4．
【点睛】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
【变式5-2】（2022春·湖南永州·七年级统考期末）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【详解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【点睛】本题考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
【变式5-3】（2022春·陕西榆林·八年级统考期末）先阅读材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将x+y看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A还原，得到原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法将下面的式子因式分解：
（1）（a+b）（a+b﹣2）+1；
（2）（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）令，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
（2）令，代入后因式分解，再代入即可将原式因式分解．
【详解】解：（1）令，则原式变为，
．
（2）令，则原式变为

【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
【考点6 利用拆项法分解因式】
【例6】（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)分解因式：．
(3)若多项式利用分组分解法可分解为，请求出的值．
【答案】(1)①②
(2)
(3)，
【分析】（1）①将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；②利用分组分解法先将原式整理为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）利用拆项法先将原式变形为，然后再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则进行运算，然后比较系数即可获得答案．
【详解】（1）解：①原式
；
②原式
；
（2）原式
；
（3）
，
∵，
∴，
比较系数可得，．
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂题目材料并理解所给做法是解题的关键．
【变式6-1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解：
(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解；
(2)拓展：把代数式因式分解得______；当______时，代数式．
【答案】(1)
(2)；1或
【分析】（1）根据题目中给出的方法分解因式即可；
（2）先将分解因式得出，根据得出或，求出的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴当或时，，
∴或时，，
∴或时，．
故答案为：；1或．
【点睛】本题主要考查了因式分解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
【变式6-2】（2022春·全国·七年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
【变式6-3】（2022秋·陕西汉中·八年级统考期中）阅读理解：
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为某个多项式的平方，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
请用上述方法将下列各式进行因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式；
（2）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：


．
（2）解：
．
【点睛】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值．
【考点7 利用添项法分解因式】
【例7】（2022年河北省邢台市九年级中考第三次模拟数学试题）嘉琪采用一种新的方法将分解因式，过程如下：

①
②
③
④
(1) ③的变形依据是 ．
(2)仿照嘉琪的做法，分解因式．
【答案】（1）利用平方差公式因式分解；（2）
【分析】（1）根据利用平方差公式分解因式可得答案；
（2）将原式变形为，再利用公式法进行因式分解．
【详解】解：（1）③的变形依据是利用平方差公式因式分解；
(2) ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题的关键是理解材料中因式分解的方法和步骤，正确的运用乘法公式．
【变式7-1】（2022秋·上海·七年级校联考期末）阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：．
解：原式
即原式
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．
【变式7-2】（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务．
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．
把分解因式．该因式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，再将此项减去，即可得
．这种方法叫填项法．
任务：
请你仿照上面的做法，将下列各式分解因式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式仿照题意添一项，再减去，利用乘法公式分解因式即可；
（2）仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．
【变式7-3】（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读材料，解答问题：
我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．
下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．
例题：（添上，再减去使多项式的值不变）
（分成两组）
（两组分别因式分解）
＝________（两组有公因式，再提公因式）
(1)请将上面的例题补充完整；
(2)仿照上述方法，因式分解：；
(3)若是三边长，满足，且c为整数，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)是等腰三角形，理由见解析．
【分析】（1）运用提公因式法分解即可；
（2）需要添项，，，所以添，凑成完全平方式，然后再运用平方差公式继续分解；
（3）仿照例题运用拆项分组分解法，把19拆成3和16，然后凑成两个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算．
【详解】（1）解：
．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
∵是三边长，
∴，
∴．
又∵c为整数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，需要学生必须掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能灵活运用到解题中去．
【考点8 利用因式分解进行有理数的简算】
【例8】（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【详解】原式，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
【变式8-1】（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）用简便方法计算20082﹣4016×2007+20072的结果是_____．
【答案】1．
【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.
【详解】20082﹣4016×2007+20072，
＝20082﹣2×2008×2007+20072，
＝（2008﹣2007）2，
＝1．
【点睛】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键.
【变式8-2】（2022秋·广东惠州·九年级校考开学考试）利用因式分解简便运算：＝_____．
【答案】
【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；
【详解】原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）利用因式分解计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）提取公因数，进行计算即可得；
（2）提取公因数，运用平方差公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算．
【考点9 利用因式分解判定三角形的形状】
【例9】（2022秋·河南新乡·八年级校考期末）已知、、是的三边，且，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据完全平方公式将已知等式进行因式分解，得到，且，可得，然后根据等边三角形的判定方法判定即可得到答案．
【详解】解：∵，且，
∴，且，
∴，且，
∴，且，
∴，
∴是等边三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用∶利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
【变式9-1】（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】见解析.
【详解】试题分析：根据因式分解法，把原式进行变形，化为ab=0的形式，然后根据其性质求出a、b、c的关系，然后判断三角形的形状.
试题解析：△ABC为等腰三角形．
∵a2﹣2ab+b2=ac﹣bc，
∴（a﹣b）2=c（a﹣b），
∴（a﹣b）2﹣c（a﹣b）=0，
∴（a﹣b）（a﹣b﹣c）=0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c≠0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC为等腰三角形．
【变式9-2】（2022秋·福建漳州·八年级统考期末）【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．
【典例分析】已知实数x，y满足x+y＝4，试求代数式x2+y2的最小值．
【分析】均值换元法：由x+y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2+t，再代入代数式换元求解．
【解法】∵x+y＝4，∴设x＝2+t，y＝2﹣t，
∴x2+y2＝（2+t）2+（2﹣t）2
＝2t2+8≥8，
∴x2+y2的最小值是8．
【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：
(1)若实数a，b满足a+b＝2，求代数式a2+b2+2的最小值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b+c＝8，bc＝a2﹣8a+32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．
(3)若实数a，b，c满足a+b+2c＝6，ab＝2c2﹣4c+10，求a，b，c的值．
【答案】(1)4
(2)△ABC是等边三角形，证明见解析
(3)a=b=4，c=-1
【分析】（1）设a=1+t，b=1-t，把问题转化为t的二次函数，利用二次函数的性质求解；
（2）结论：△ABC是等边三角形．可以假设b=4+t，c=4-t，利用非负数的性质求解即可；
（3）设a=3-c+t，b=3-c-t，利用非负数的性质求出t，c的值可得结论．
(1)
解：∵a+b=2，
∴可以假设a=1+t，b=1-t，
∴a2+b2+2=（1+t）2+（1-t）2+2
=2t2+4≥4，
∴a2+b2+2的最小值为4；
(2)
结论：△ABC是等边三角形．
理由：∵b+c=8，
∴可以假设b=4+t，c=4-t，
∵bc=a2-8a+32，
∴16-t2=a2-8a+32，
∴t2+（a-4）2=0，
∵t2≥0，（a-4）2≥0，
∴t=0，a=4，
∴b=c=a=4，
∴△ABC是等边三角形；
(3)
∵a+b+2c=6，
∴可以假设a=3-c+t，b=3-c-t，
∵ab=2c2-4c+10，
∴（3-c）2-t2=2c2-4c+10，
∴c2+2c+1+t2=0，
∴（c+1）2+t2=0，
∵（c+1）2≥0，t2≥0，
∴c=-1，t=0，
∴a=b=4．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
【变式9-3】（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
1．知识运用：
试用“分组分解法”分解因式：；
2．解决问题：
（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状．
（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立．
①当k=1时，求a+c的值
②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）
【答案】知识运用：；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）①；②，，
【分析】知识运用：用公式法因式分解，提取公因式，再提取两者的公因式；
解决问题：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形；
（2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算；
②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d．
【详解】解：知识运用
原式
；
解决问题
（1）
，
∵，
∴，即，
∴是等腰三角形；
（2）①当时，
，即，
，即，
若 则，
把它代入，得，解得，
当时，，则，
当时，，则，
综上：的值为6或；
②当，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理由，得，
由，，
若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，
若，则，，，
综上：，，．
【点睛】本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法．
【考点10 利用因式分解求值】
【例10】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为．当时，，，，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于的多项式分解因式后，利用题目中所示的方法，当时可以得到数字密码182016，求，的值．
【答案】(1)283917或者281739
(2)的值为3，的值为2
【分析】（1）先分解因式得到 或，再根据题意得，，据此求解即可；
（2）先求出，，再由所得的数字密码得到，从而得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（1）
解：
或，
∵，，
∴，，
∴此时可以得到数字密码是283917或281739，
故答案为：283917或281739；
（2）
解：∵，
∴，，
∴，
∴ ，
解得，
∴的值为3，的值为2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
【变式10-1】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期中）已知，，则的值是（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】C
【分析】先因式分解，再代值求解即可．
【详解】
把代入
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是会因式分解．
【变式10-2】（2022·浙江·七年级期中）已知，，则代数式的值是________．
【答案】-3
【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.
【详解】∵，，
∴a-c=-1，
∴
=
=
=
=-3，
故答案为：-3.
【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.
【变式10-3】（2022·河南周口·八年级期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【分析】根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．
【详解】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
=
=
=
=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
【考点11 因式分解的探究题】
【例11】（2022秋·辽宁大连·八年级校考期末）做一做计算： 探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为．
(1)根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母 x 的系数是 1 的 两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为 ．
尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些二次三项 式的因式分解．
(2)若，则 ．
(3)若可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 p 的值一定是 ．
(4)若 可以分解成关于 x 的两个一次式乘积的形式，则整数 q 的值一定是 ．
A．4 B．0 C．有限个 D．有无数个
【答案】(1)
(2)
(3)0或
(4)D
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则，即可求解；
（2）把展开，即可求解；
（3）由，进而即可求解；
（4）根据“和为的两个整数有无数组”，进而即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵ ，
∴，
故答案为：；
（3）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，
∴，
∴或，
故答案为：或
（4）∵和为的两个整数有无数组，
∴整数的值有无数个，
故选D．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的运算法则，因式分解，通过题目得到结论：是解题的关键．
【变式11-1】（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：
阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求a、b的值；
(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求c的值；
(3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，详见解析
【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解．
（2）先配凑完全平方公式求出a，b值，再根据三角形三边关系求出第三边．
（3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
（2）解：∵，
∴
∴，
∴，，
解得，，
∵a、b、c是的三边长，
∴，
∵c是正整数，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．
【变式11-2】（2022春·江苏南京·七年级校考期末）（1）问题探究：已知、是实数，求证：．
（2）结论应用：已知、是实数，且，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值是11
【分析】（1）根据完全平方公式即可证明；
（2）根据，依此可求的最小值．
【详解】解：（1），
，
；
（2）、是实数，且，
，
．
故的最小值是．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式11-3】（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）阅读材料：
若，求的值.
解：∵，
∴.
∴.
∴，，∴，.
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最长边c的值；
(3)已知，，求的值.
【答案】(1)
(2)6、7、8、9、10
(3)8
【分析】（1）根据例题凑成2个完全平方式，进而根据非负数的性质求得的值即可求解；
（2）方法同（1）进而求得的值，根据三角形的三边关系，列出不等式，求得不等式的整数解，进而求得的值；
（3）由已知式子，根据代入法求得，根据（1）的方法求得的值，进而求得的值，即可求得答案．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴
（2）解：∵
∴
∴
∴，
∴，，
∵的三边长都是正整数，
∴，，
∴的最长边的值为；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，即的值是8．
【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形三边关系，求不等式组的整数解，掌握完全平方式是解题的关键．
【考点12 因式分解的应用】
【例12】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为．当时，，，，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于的多项式分解因式后，利用题目中所示的方法，当时可以得到数字密码182016，求，的值．
【答案】(1)283917或者281739
(2)的值为3，的值为2
【分析】（1）先分解因式得到 或，再根据题意得，，据此求解即可；
（2）先求出，，再由所得的数字密码得到，从而得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（1）
解：
或，
∵，，
∴，，
∴此时可以得到数字密码是283917或281739，
故答案为：283917或281739；
（2）
解：∵，
∴，，
∴，
∴ ，
解得，
∴的值为3，的值为2．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
【变式12-1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期中）先阅读下列材料，然后解决后面的问题．
材料：一个三位数（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数为“协和数”，同时规定c=（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8．
(1)判断132，123，321这三个数中， 是“协和数”．
(2)对于“协和数”，求证：“协和数”能被11整除．
(3)已知有两个十位数相同的“协和数”，（＞），且，若，用含b的式子表示y．
【答案】(1)132
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据“协和数”的定义进行判断即可；
（2）根据“协和数”的定义得出a+c=b，由=11（9a＋b）,即可得到结论；
（3）由，代入可得=1，得到－＝1， b－－＝1，进一步求得，代入即可得到结论．
（1）
解：∵1＋2＝3，
∴132是“协和数”，
∵1+3≠2，
∴123不是“协和数”，
∵3+1≠2，
∴321不是“协和数”，
故答案为：132；
（2）
∵是“协和数”，
∴a+c=b，
∵=100a＋10b＋c＝99a＋10b＋a＋c＝99a＋11b＝11（9a＋b）,
∵a是整数，b是整数，
∴9a＋b是整数，
∴“协和数”能被11整除；
（3）
∵，
∴=1，、、b均为整数，＞，
∴－＝1， b－－＝1，
∴＋=b﹣1，
∴，，
①+②得：，
∴
．
【点睛】此题考查了因式分解的应用、完全平方公式、新定义“协和数”，解题的关键是找出＝11（9a＋b）,－＝1，＋=b﹣1．
【变式12-2】（2022·广东·广州六中八年级期中）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个数m为“平方和数”，若（a、b为正整数），记．例如：，29就是一个“平方和数”，则．
(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由；
(2)若是一个不超过50的“平方和数”，且，求的值；
(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．
【答案】(1)45是“平方和数”，
(2)k的值为：17或29或45
(3)证明见解析
【分析】（1）把45写成两个正整数的平方和，再根据求出即可；
（2）设，则，根据，得a、b的方程，求得a与b得关系式，进而由a、b、k满足的条件求得k的值便可；
（3）根据题意设，即可表达出的式子，根据完全平方公式对的式子进行变换即可证明．
【详解】（1）45是“平方和数”，
∵，
∴；
（2）设，则，
∵，
∴
∴，即或，
∵a、b为正整数且是一个不超过50的“平方和数”，
∴当或时，，
当或时，，
当或时，，
当或时，（不合题意，舍去），
综上所述，k的值为：17或29或45；
（3）设，
∴
∵均为整数，
∴也是“广义平方和数”．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式和新定义运算，解决本题的关键是根据新定义列出相关的式子．
【变式12-3】（2022·福建省永春第一中学八年级期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算： ；
(2)选取张型卡片，张型卡片，则应取 张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含的代数式表示）；
(3)选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为 ；
(4)选取张型卡片，张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，若，则与有什么关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则解题；
（2）利用完全平方公式解题；
（3）由图可知型卡片的面积为，是一个边长为的正方形的面积减去张型卡片的面积，即，据此得到等量关系；
（4）根据图形列等量关系，，再结合计算解题即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为：；
（2）取张型卡片，张型卡片，面积之和为：，
由完全平方公式的几何背景可知，一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，即，故应取4张型卡片能拼成一个新的正方形，此正方形的边长为：，
故答案为：4，；
（3）选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，由图可知，型卡片是一个边长为的正方形，也可以是一个边长为的正方形，减去张型卡片的面积，即， 即得到等量关系：，
故答案为：；
（4）设的长度为，

或（舍去）
．
【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，完全平方公式与图形面积，多项式乘法的应用，因式分解的应用，数形结合是解题的关键．