山东省潍坊市2024届高三上学期数学期末试卷及答案

这是一份山东省潍坊市2024届高三上学期数学期末试卷及答案，共12页。试卷主要包含了 若函数为偶函数，则实数， 已知甲， 双曲线等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前、考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知角的终边落在上，下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，谢尔宾斯基地毯是一种无限分形结构，由波兰数学家谢尔宾斯基于1916年发明.它的美妙之处在于，无论将其放大多少次，它总是保持着相同的结构.它的构造方法是：首先将一个边长为1的正方形等分成9个小正方形，把中间的小正方形抠除，称为第一次操作；然后将剩余的8个小正方形均重复以上步骤，称为第二次操作；依次进行就得到了谢尔宾斯基地毯.则前次操作共抠除图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数为偶函数，则实数（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点在上，且，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手评分如下：
甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0
乙：75 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0
则下列说法正确的是（ ）
A. 评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数
B. 评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差
C. 评委对甲评分的40%分位数为7.8
D. 评委对乙评分的众数为7.8
10. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ）
A. B.
C. 的离心率为D. 的渐近线方程为
11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上的动点（不与端点重合），则（ ）
A. 直线与为异面直线
B. 存在点，使得平面
C. 当平面时，
D. 当为的中点时，点到平面的距离为
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，为增函数B. 若有唯一的极值点，则
C. 当时，的零点为D. 最多有2个零点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知向量，满足，，则___.
14. 已知函数，则_________.
15. 无重复数字且各位数字之和为8的三位数的个数为__________.
16. 已知，若对任意的，都有，则实数的最大值为___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列前项和.
18. 如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
19. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
20. 已知函数，的导函数为.
（1）当时，解不等式；
（2）判断零点个数；
（3）证明：.
21. 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口.
（1）若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.
（2）已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.
22. 在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设，是上位于轴两侧两点，过，的的切线交于点，直线，分别与轴交于点，，求面积的最小值.
高三数学答案
一、单项选择题
1. C
2. A
3. A
4. C
5. B
6. C
7. A
8. D
二、多项选择题
9. ACD
10. ABD
11. AD
12. ACD
三、填空题
13. 2
14. 4
15. 24
16.
四、解答题
17.（1）设的公比为
由已知得，所以，
所以
（2）
设数列的前项和为
则，①
所以，②
①-②得
所以
18. （1）在矩形中，，
所以，同理，故，①
连结、，在中，由余弦定理知：
所以，
又因为，
所以，所以，即，②
由①，②及，平面，可得平面
（2）以为坐标原点，，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，
设平面的法向量，则
令，则，，所以
因为，所以
所以与平面所成角的正弦值为
19. （1）因为，所以由正弦定理得
因为，且，所以，
所以
即
所以，所以
因为，所以，所以
（2）由余弦定理可得
即，得，得
因为，所以，所以
20. （1）当时
所以，所以
所以不等式的解集为
（2）函数的定义域为，
令，则
所以在区间上单调递增
又因，
所以存在使得
所以在区间上有且只有一个零点
（3）证明：由（2）知，当时，
在上单调递减
当时，
在上单调递增
所以
因为，所以，
所以
所以
21. （1）应选择第一条路线，
理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、
则，
，，
所以
又，，
所以
因为，所以应选择第一条路线
（2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为
所以；
设随机变量，取值为，其
所以
，
又因为，所以.
22. （1）设，则，整理得
（2）如图：
设，，不妨设
因为，所以
所以过点的切线方程为，即
同理可得过点的切线方程
联立，方程，得
令，得，，所以
所以的面积
因为，所以
令，得
所以
由
所以当时，单调递减，当时，单调递增
所以当即时，为最小值