陕西省汉中市宁强县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份陕西省汉中市宁强县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中的无理数是（ ）
A． B．C．D．
2．下列各式计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是( )

A．B．C．D．
4．某学校对八年级1班50名学生进行体能评定，进行了“长跑”、“立定跳远”、“跳高”的测试，根据测试总成绩划分体能等级，等级分为“优秀”、“良好”、“合格”、“较差”四个等级，该班级“优秀”的有28人，“良好”的有15人，“合格”的有5人，则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是（ ）
A．2B．0.02C．4D．0.04
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
B．有一个角是的三角形是等边三角形
C．在一个三角形中，等角对等边
D．一个等腰三角形的底角可以是锐角，也可以是直角或钝角
6．已知，则b的值为（ ）
A．6B．C．12D．
7．如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于下列结论：①点到各边的距离相等；②；③；④设，，则.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
二、填空题
9．计算： ．
10．若，则 ．
11．如图，为了测量凹槽的宽度，把一块等腰直角三角板（）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为 ．
12．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为 ．
13．如图，中，，，的面积为20，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．分解因式：．
16．计算：．
17．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
18．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A 和B． 连接并延长到点D，使，连接 并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A，B的距离．为什么？

19．一个正数的平方根是与，的立方根是，求的算术平方根．
20．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图，已知，，，，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．
(1)施工人员测量的是________两点之间的距离，确定的依据是________；
(2)若平均每平方米的材料成本加施工费为160元，请计算绿化这块空地共需花费多少元？
21．如图是一块长米，宽米的长方形地块，市发改委计划在阴影部分铺设塑胶跑道，中间修建一个边长为米的正方形足球场地．
(1)塑胶跑道的面积是多少平方米？（用含，的代数式表示）
(2)当，时，求塑胶跑道的面积．
22．如图，四边形中，，平分，平分．
(1)求证：是的中点；
(2)当，时，求的长．
23．“文明城市，你我共建”一起助力酒县创建全国文明城市，下面是某校“数学之星”课外兴趣小组的同学们，在对4个自行车骑行规则进行调查时设计的问卷．
小组的同学们随机抽取了部分市民进行调查，并将结果制成了如下两幅不完整的统计图，
请根据统计图解答下列问题：
(1)求被调查的市民人数；
(2)在扇形统计图中，求“4个规则全知道”所对圆心角的度数；
(3)请补全条形统计图．
24．在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为________；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为__________；
操作二：如图2，李同学拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．
25．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示．
(1)请直接写出，，之间的等量关系________．
(2)若，，求的值．
(3)如图3，线段，点是上的一点，分别以、为边长在的异侧做正方形和正方形，连接；若两个正方形的面积，求阴影部分面积．
26．如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，已知，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，，连结，求的长．
图1 图2 图3
自行车骑行规则知多少
我们来自课外兴趣小组，为了了解我市市民骑行自行车的安全意识，i问填写这份问卷．谢谢合作！
规则1不准在机动车道内骑行______.A．知道B．不知道
规则2不准闯红灯______.A．知道B．不知道
规则3不准骑车带人______.A．知道B．不知道
规则4横过人行横道时不准骑行______.A．知道B．不知道
参考答案：
1．D
【分析】本题考查无理数的识别，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，常见的无理数有非完全平方数的平方根、等．据此逐项判断即可．
【详解】解：是无限循环小数，不是无理数，故A选项不合题意；
是分数，不是无理数，故B选项不合题意；
，是整数，不是无理数，故C选项不合题意；
是开方开不尽的数，是无理数，故D选项符合题意；
故选D．
2．C
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，合并同类项以及积的乘方与幂的乘方运算，根据相关运算法则计算出各选项结果后再进行判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A不符合题意；
B. ，计算正确，故选项B不符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，故先项C符合题意；
D. ，计算正确，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】根据题意，得出，即可证明，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4．D
【分析】先求解该班级学生这次体能评定为“较差”的频数，再利用频率=落在某小组的频数除以数据的总数，从而可得答案.
【详解】解：该班级学生这次体能评定为“较差”的频数是：
则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是：
故选D
【点睛】本题考查的是已知频数与数据的总数求解频率，掌握“频率=落在某小组的频数除以数据的总数”是解本题的关键.
5．C
【分析】本题根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，利用三角形相关的性质定理，全等三角形判定、等边三角形判定、等腰三角形性质、对选项进行一一判断，即可解题．
【详解】解：A、两边及两边的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A不是真命题，不符合题意．
B、有一个角是的三角形不一定是等边三角形，所以B不是真命题，不符合题意．
C、在一个三角形中，等角对等边，所以C是真命题，符合题意．
D、一个等腰三角形的底角可以是锐角，不能是直角或钝角，所以D不是真命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题的真假判断、全等三角形判定、等边三角形判定、等腰三角形性质、解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．
6．D
【分析】根据完全平方公式展开，建立方程组求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查完全平方公式，方程组的解法，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
7．D
【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可；
【详解】解：当时；
以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个；
当时；
以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个；
当时；
作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个；
∴满足条件的点总共有个；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键．
8．A
【分析】本题过点作，，根据角平分线性质，即可判断①，利用平行线性质和角平分线性质证明，，得到，，可判断②，利用角平分线性质和三角形内角和可判断③，连接利用，结合角平分线性质，即可判断④．
【详解】解：过点作，，如图所示：，
①平分，
，
平分，且，
，
，
点到各边的距离相等，
①正确．
②平分，
，
，
，
，
，
同理可证，，，
，
②正确．
③在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，
，
，
，
③正确．
④连接，如图所示：
，
，
，
，
，
④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并运用．
9．
【分析】利用幂的乘方与同底数幂运算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的运算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂，正确的运算顺序是解题关键．
10．3
【分析】根据，再把，，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
11．52
【分析】证明得到，，即可求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．
【分析】利用勾股定理依次求出，，，可总结出，由此可解．
【详解】解：，
由勾股定理可得：，
，
，
可知，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．
13．10
【分析】连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题主要考查了线段垂直平分线，等腰三角形．熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形面积公式，是解决此题的关键．
【详解】连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的最小值为10．
故答案为：10．
14．
【分析】本题主要考查实数的混合运算，先计算根号、去绝对值和乘方，最后再计算加减法即可．
【详解】解：
．
15．
【分析】本题主要考查分解因式，原式提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
．
16．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及平方差公式和完全平方公式的运用，先计算整式的乘除法，最后合并同类项即可．
【详解】解：
17．详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【详解】解： 作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．
如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
18．DE的长就是A，B的距离，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
根据全等三角形的判定及性质即可求解．
【详解】解：解：在和中，
，
，
．
即的长就是A，B的距离．
19．5
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的定义，根据“正数有两个平方根，它们互为相反数”列式求得与的值，再根据立方根定义求得的值，将与的值代入求解，即可得到的算术平方根．
【详解】解：一个正数的平方根是与，
，解得，
将代入中，得，
的立方根是，
，
将，代入中，
有，则的算术平方根为．
的算术平方根为5．
20．(1)，勾股定理逆定理．
(2)绿化这块空地共需花费18240元．
【分析】（1）本题考查了勾股定理逆定理的应用，根据三角形三条边为、、，如果满足，则这个三角形为直角三角形，即可解题．
（2）本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，连接，根据勾股定理得到的长，根据勾股定理的逆定理可得到．再利用三角形面积公式即可解题．
【详解】（1）解：要确定，即要满足，
测量出的距离是否满足即可．
故答案为：，勾股定理逆定理．
（2）解：连接，如图所示：
，，，
，
，，有，
，
，
平均每平方米的材料成本加施工费为160元，
（元），
答：绿化这块空地共需花费18240元．
21．(1)塑胶跑道的面积是平方米
(2)塑胶跑道的面积是平方米
【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值：
（1）跑道的面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：依题意得，
平方米；
（2）解：当，时，（平方米）
所以，塑胶跑道的面积是平方米．
22．(1)见详解
(2)5
【分析】本题主要考查了角平分的性质和全等三角形的判定和性质，
（1）过点E做于点F，由角平分线的性质得和，即可证明为中点；
（2）由（1）可证和，则有和，结合即可．
【详解】（1）证明：过点E做于点F，如图，
∵平分，，，
∴，
同理可证，，
∴，
即是的中点．
（2）由（1）得，，
∵
∴，
∴，
同理，，则，
∵，，
∴．
23．(1)200
(2)72°
(3)补全条形统计图见解析.
【分析】（1）“知道2个”的频数为50人，占调查人数的25%，可求出得出人数；
（2）求出“4个全知道”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出“知道3个”的人数，即可补全条形统计图．
【详解】（1）解：被调查的市民人数：50÷25%＝200（人）；
（2）解：“4个规则全知道”所对圆心角的度数：360°×＝72°；
（3）解：知道3个规则的人数：200×30%＝60人，
4个规则全不知道的人数：200−50−40−60−46＝4人；
补全条形统计图如图所示，
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中的数量关系是正确解答的前提．
24．操作一（1）12cm（2）36°；操作二BE=2.8
【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD=AD，于是AD+DC=BC，从而可知△ACD的周长=BC+AC；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，由翻折的性质可知∠CBA=2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x=90°，据此求解即可．
操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE=DA，最后根据BE=AB-DE-AD计算即可．
【详解】解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD=AD，
∴AD+DC=BC=7．
∴△ACD的周长=CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12cm．
故答案为：12cm；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x．
由翻折的性质可知：∠BAD=∠CBA=2x，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴x+2x+2x=90°．
解得：x=18°．
∴2x=2×18°=36°．
∴∠B=36°．
故答案为：36°；
操作二：在Rt△ABC中，AC=．
由翻折的性质可知：ED=AD，DC⊥AB．
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴10CD=6×8．
∴CD=4.8．
在Rt△ADC中，AD= ．
∴EA=3.6×2=7.2．
∴BE=10-7.2=2.8．
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)17
【分析】此题考查了运用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能对完全平方公式灵活变形并进行几何计算问题．
（1）根据大正方形的面积-小正方形的面积=四个长方形的面积之和求解即可；
（2）根据求解即可；
（3）设，根据求出即可求解．
【详解】（1）解：由图2各部分的面积关系得：，
故答案为：；
（2）由（1）题结果可得，
∴，
∴的值为；
（3）设
则 ，
∵
，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为17．
26．（1）四边形是垂美四边形（2）（3）
【分析】（1）连接，根据到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上判定是的垂直平分线即可证明四边形是垂美四边形；
（2）根据勾股定理在四个直角三角形中得到边的相等关系，然后推出对边的平方和相等；
（3）根据可证明，得，得，由（1）的结论可求出的长．
【详解】解：四边形是垂美四边形．
理由如下：
如图①，连接，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点C在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形是垂美四边形；
（2）解：，
证明如下：
如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即垂美四边形两组对边的平方和相等，
（3）解：连接交于点F，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
利用（1）中的结论：
又
∴由勾股定理得，，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练掌握等腰直角三角形性质和勾股定理等相关知识，灵活运用勾股定理是解题的关键．