中职数学4.3.1 直线与平面平行教案配套课件ppt

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如图所示,将一支铅笔平放到桌面上,然后水平拿起来,再坚直放置在桌面上.在此过程中,这支铅笔(看作一条直线)与桌面分别有几个公共点？
容易看出,当笔平放在桌面上时,它与桌面有无数多个公共点；将笔水平拿起,它与桌面没有公共点; 当笔竖直放置时,它与桌面只有一个公共点.事实上,根据公理2,当一条直线与一个平面有两个公共点时,这条直线上的所有点都在这个平面内.除此之外,直线与平面或者只有1个公共点,或者没有公共点.因此,直线与平面有三种 位置关系.
1.直线在平面内,此时直线与平面有无数个公共点.
如图(1)所示,当直线a在平面α内时,记作a ⊆ α.
2. 直线与平面相交,此时直线与平面只有一个公共点.
如图(2)所示,当直线b在平面α相交于点B时,记作b∩α=B .
3. 直线与平面平行,此时直线与平面没有公共点.
如图(3)所示,当直线c在平面α平行时,记作c∥α .
画图时,把直线画在表示平面的平行四边形外,并与平行四边形的一条边平行 .
直线l与平面α相交或平行,称直线 l 在平面α外,记作l与⊈α.
如图所示,一本打开的书的封面右边沿所在直线m已经不在书内页所在平面α内,那么,m与α是相交还是平行呢？
观察发现,书脊所在直线n是封面所在平面与书内页所在平面的交线,且m∥n.
能否通过m∥n来判断直线m与平面α之间的位置关系呢？
直线与平面平行的判定定理  如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条平面外直线与这个平面平行.
一般情形为,m⊈α,n⊆α,且m∥n,如图(1)所示.  假设直线m与平面α相交,记交点为点P,如图(2)所示. 由m∥n知P∉n.根据异面直线判定定理,m与n是异面直线,这与m∥n矛盾.故直线 m 与平面α不相交,从而m∥α.
例1 如图所示,在棱柱ABCD-A1B1C1D1中： （1）与平面AC平行的棱所在直线有哪些？ （2）判断 AA1与平面DBB1D1的位置关系. 
（1）因为棱柱各侧面均为平行四边形,所以A1B1∥AB.  又因为A1B1⊆平面AC,AB ⊆平面AC,所以  A1B1 ∥平面AC ；同理可知,直线B1C1、C1D1、A1D1均与平面AC平行.  因此,与平面AC平行的棱所在直线有A1B1、B1C1、C1D1、A1D1.  （2）因为  AA1∥BB1,且AA1⊈平面 DBB1D1,BB1⊆平面DBB1D1,所以AA1//平面DBB1D.
例2 在空间四边形ABCD 中,点E、F分别是AB、AD 的中点,如图所示,求证:EF//平面BCD.  
连接E、F.因为E、F分别是 AB、AD 的中点,所以EF//BD.  又因为E⊈平面BCD,BD⊆平面BCD,所以BF//平 面 BCD.
既然直线与直线的平行可以用来判定直线与平面平行,那么能否利用直线与平面的平行来判定直线与直线平行呢？
如图(1)所示, m∥α, m⊆β,α∩β=n.那么, m与n是什么位置关系？
  直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行, 那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行.
显然,m与n共面于平面B内,则n与n要么相交,要么平行.若m与n相交，且交点为P,如图(2)所示,则P也是直线m与平面α的交点,这与条件m//α相矛盾.所以m//n.于是,有下面的结论：
例3 已知n //m,m//α,n⊈ α ,求证：n //α.
1. 判断下列命题的真假,并说明理由. （1）如果m//n,n⊆α,那么m//α;  （2）如果m//n,m⊈α,那么m//α;  （3）如果m//α,n⊆α,那么m//n; （4）如果m//α,m⊆β, α∩β=n,那么m//n. 
2. 填空题. (1) 如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面有 个公共点； (2) 如果一条直线与一个平面有两个公共点,那么它们的位置关系是 ,此时直线与平面面共有 个公共点：  (3)如果一条直线与一个平面相交,那么它们有 个公共点； (4)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的 条直线平行.
4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.求证： (1) CD∥平面A1C1； (2) A1C1∥平面AC.
某型号无人机如图所示,其每根螺旋桨(如BC)与旋转轴 AB 均垂直,垂足是B.设螺旋桨旋转时构成的平面为α,显然,无人机的每根螺旋桨都在平面α内.试问,平面α与旋轴 AB 之间有怎样的位置关系？
容易看出,平面α内经过点B的螺旋桨所在直线都与旋转轴 AB 垂直.对于平面α内不过点B的任意一条直线,它一定与平面α内过点B的某条直线平行.由异面直线所成角的定义可知,这条直线也与旋转轴AB 垂直.因此,平面α内的每一条直线都与AB 垂直.
  如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线称为这个平面的垂线,这个平面称为这条直线的垂面,直线与平面的交点称为垂足.直线l与平面α垂直记作l ⊥α.
如图所示,若l⊥α,m⊆α,根据直线与平面垂直的定义可知l⊥m.这是利用“直线与平面垂直”推出“直线与直线垂直”的主要方法.
在日常生活和生产中,常常需要判断直线与平面的垂直关系.例如,国旗的旗杆与地面垂直、建筑的立柱与地面垂直等.但是,判断直线与平面内每一条直线都垂直是很难做到的.
经过观察研究,人们发现以下判定直线与平面垂直的方法：
  直线与平面垂直的判定定理  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
  如图所示,若m、n是平面α内的两条相交直线,且直线l⊥m, l⊥n,则l⊥α.
例4  四个面都是正三角形的四面体称为正四面体.已知正四面体ABCD,如图所示.求证：BD⊥AC.
例5  证明: 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.  已知: m∥n,m⊥α,如图所示.  求证: n⊥α.
在平面α内任取两条相交直线c和d ,因为 m⊥α,c⊆α,d ⊆ α,所以m⊥c,m⊥d. 又m∥n,故n⊥c,n⊥d, 根据直线与平面垂直的判定定理,由c与d相交,n⊥α.
例5是直线与平面垂直的另一个判定定理.
可以证明,例5中所述命题的逆命题也成立.如图所示若m⊥α, n⊥α,则m∥n.
  直线与平面垂直的性质定理  如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 
 在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 
例6 如图所示,已知一条直线l和平面α平行,过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线 AA' 、BB',垂足分别为A' 、B'. 求证: AA'=BB'. 
  因为 AA'⊥α, BB'⊥α,所以AA'∥ BB'. 设经过直线AA'、BB'的平面为β,则β∩α=A'B'.  由l∥α ,可知l∥A'B' ,因此四边形AA'B'B  为平行四边形,所以AA'=BB'. 
2.已知如图,PO⊥α,垂直为O, PA∩α=A,m⊆α,且m⊥OA.求证: m⊥PA.
3. 如果l⊥α,m//α,求证: l⊥m. 4. 己知线段AB、CD 位于平面α的同侧, AB ⊥α, DC⊥α, 垂足分别为 B、C,AB=DC.求证: AD=BC.
5. 某中职学校建设新校区时,修建了升旗台,用于开展爱国主义教育活动.技术人员在安装旗杆时,要保证旗杆与地面垂直.请你帮忙设计一个方案以确保旗杆与地 面垂直.
我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型,依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示,斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交,但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？
  如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影. 
如图所示, 直线m是平面α的斜线, 点P为斜足, A∈m且AB⊥α, 垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线 AP 与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度. 
  一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角. 
例7 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
例8  中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示, 为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响, 牵拉绳接地点 A 到电杆与地面的交点C的距离是2.5m. 若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离. 
  3. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中, 找出对角线AC1分别在六个面上的射影.  4. 己知AB∩α=A, 线段AB 的长是它在平面α上射影的2倍, 求直线 AB 与平面α所成的角的大小.
  5. 在长正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 求：  (1) AD1 与平面ABCD所成的角的大小； (2) AC1 与平面BCC1B1所成的角的正切值.