通关练04 空间向量在立体几何最值问题的应用-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

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一、单选题
1．（2022·湖北·黄梅国际育才高级中学高二期中）四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，不妨设正方形边长为2，则,设
所以
令，则当时，，
当时，
因为，所以当时，取最大值，因此的最大值为，
故选：A
2．（2022·全国·高二课时练习）正方体中,动点在线段上,，分别为，的中点.若异面直线与所成的角为，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图
设，易得,
设，
则，
即.
当时，取到最大值，当时，取到最小值，
所以的取值范围为.
故选：A.
3．（2022·浙江·台州一中高二期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝2，DA＝DD1＝1，点M、N分别为A1D和CD1上的动点，若MN∥平面AA1C1C，则MN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】
如图建系，由题意可设，，
，
又 ，，
平面的法向量，
又 面，
即，
，
最小值为.
故选：A.
4．（2022·贵州贵阳·高二开学考试（理））在长方体中， ， 点在棱 上， 且， 点在正方形内． 若直线 与 所成的角等于直线与所成的角， 则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴，
，
∴，
∴，
故点的轨迹是在平面上以为圆心，以为半径的圆在正方形内的部分圆，
由圆的性质可得.
故选：A.
5．（2022·全国·高二专题练习）在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解析】以为坐标原点，，，
所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可设，，，
由，，
，
，，，
设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，
可得，
，，
由，可得，
则，
当时，线段长度的最小值为．
故选：．
6．（2014·广东汕头·高二期末（理））在棱长为1的正方体中，分别为线段上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】如图，建立空间直角坐标系，依题意可设，
因为，所以，
由可知存在，使得即，可得
所以（当且仅当时等号成立），所以当分别为线段的中点时，取得最小值，故选D．
7．（2022·全国·高二课时练习）棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【解析】以分别为轴建立空间直角坐标系，
依题意有，
，由于，
故，解得.
根据正方体的性质可知，，故为直角三角形，
而，故，
的面积为，
当时，面积取得最小值为，
故选:A.
8．（2022·福建·厦门一中模拟预测（文））如图，正方体的棱长为，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】过作平面，垂足为；作于点，连接
以为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系
则，，，，，
设，则，

，
当时，
故选：
9．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知，，，那么，又，所以.
当与反向，且时，有最小值，此时；
当与同向，且时，有最大值，此时，即的取值范围为．
故选：B
二、多选题
10．（2022·江苏·南京市中华中学高二期中）如图，己知四棱锥的底面是直角梯形，， ，平面，，下列说法正确的是（ ）
A．与所成的角是
B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C．与平面所成的角的正弦值是
D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为
【解析】由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
对于A中，可得，
所以，
所以与的夹角的余弦值为，即夹角为，所以A正确；
对于B中，由平面的法向量为，
又由，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是， B错误.
对于C中，由，
所以与平面所成的角的正弦值是， C正确；
对于D中，
设，则
∴
设平面的法向量为，则，
令，则，即
∵
∴点到平面距离为
当时，则点为点
∴点到平面距离为0
当时，则
∴，则
综上所述：点到平面距离的取值范围为，即最大值为，D错误
故选：AC.
11．（2022·福建省福州铜盘中学高二期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．当E点运动时，总成立
B．当E向运动时，二面角逐渐变小
C．二面角的最小值为
D．三棱锥的体积为定值
【解析】对于A：因为，，，所以面，
因为面，所以，同理可证，因为，
所以平面，因为平面，所以 总成立，故选项A正确；
对于B：平面即平面，而平面即平面，所以当向运动时，二面角大小不变，选项B不正确；
对于C：建立如图所示的空间几何体，
则，，
因为在上，且，故可设，
，
设平面的法向量为，
又，
所以，取，则，
平面的法向量为，所以，
设二面角的平面角为，则为锐角，
故，
当，故，所以，
当且仅当时取最大值即取最小值，故C正确；
对于D：因为，
点到平面的距离为，
所以体积为，即体积为定值，故选项D正确．
故选：ACD.
12．（2022·全国·高二开学考试）已知正方体，的棱长为2，E为的中点，平面过B，，E三点，则（ ）
A．与平面平行
B．平面与平面垂直
C．平面截正方体所得截面面积为
D．正方体的顶点到平面的距离最大值
【解析】如图所示，与平面相交，因为，所以与平面不可能平行，A错误；
因为在正方体中，平面,平面,故 ,又 , ,平面,因此平面，而平面，故平面与平面垂直，B正确；
平面截正方体所得截面为等腰梯形，其中F是的中点，，，在矩形中计算得梯形的高，所以梯形的面积为，C正确；
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，,
,
设平面的法向量为，则
，令，则，
所以点到平面的距离为
正方体的顶点D到平面的距离为2，大于 ，故D错误.
故选：BC
13．（2022·福建福州·高二期末）如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（ ）
A．到直线的最大距离为B．点的轨迹是一个圆
C．的最小值为D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【解析】对于A:，即，所以，即点E为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上,所以，当位于中点时，到直线的距离最大，为，故A错误；
对于B: 正方体中，，又，且，所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误；
对于C:在平面内，
到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确；
对于D:
建立如图示的坐标系，则,
由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段，
所以设，则，则，
而
设平面的法向量，则有，
不妨令，则，
设与平面所成角为，
则：
当时，有最大值，故D正确；
故选：CD
14．（2022·河北保定·高二阶段练习）很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得，则下列各选项正确的是（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．A，C，D，F四点共面
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．若点E为线段BC上的动点，则直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为
【解析】将该半正多面体补成正方体．因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为2．
该半正多面体的体积，A正确．
该半正多面体的外接球球心即正方体的外接球球心．设正方体的外接球球心为M，
则该半正多面体的外接球半径，故该半正多面体外接球的表面积为，C错误．
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
．设，
可解得，则，，共面，即A，C，D，F四点共面，B正确．
又，设，所以，则．
．令，
则．
因为，所以，
故直线DE与直线AF所成角的余弦值的取值范围为．D正确．
故选：ABD
15．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．几何体的外接球半径
B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D．面与底面所成角正弦值的取值范围为
【解析】几何体关于正方体的中心对称，
其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误.
在正方体中， ,故为平行四边形，
所以,而平面平面，平面，故平面，
同理可证平面,而平面,
所以平面平面平面，则平面，B正确.
由于，则直线与所成最大角为（或），
其正弦值为.直线与所成最小角为与平面所成角，
当为中点时，所成角即为，
而平面平面,故 ,
，
故 ，故C正确.
以D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ,则,
设 ,则 ,
设平面的法向量为，则，
令，则 ，故 ，
由题意知平面ABCD的法向量可取为 ，则 ，
则面与底面所成角正弦值为，
由于，故当时，取到最小值8，
则取到最小值为 ，
当或时，取最大值12，取最大值为，
所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，D错误.
故选:BC.
三、填空题
16．（2022·全国·高二专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.
故答案为：
17．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知正方体棱长为4. 若M是平面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为________.
【解析】连接，如图，
易知平面，平面，所以，又，，故平面，平面，所以，
即点在平面内的轨迹为以为直径的圆（除去点C），
又平面，故与平面所成角即为，
又，故要使最大，则最小，将平面及点轨迹画出如下图：
设为中点，连接，
则，故最小为，
此时.
故答案为：.
18．（2015·宁夏银川·高二阶段练习（理））如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．
【解析】由已知，，，
设是直线上任一点，则由三点共线得，，
即，化简得①，
设表示点到直线的距离，则，，
，即，即②，联立①②
解得，，
，当时，，
，故答案为.
19．（2022·浙江·高二专题练习）如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是_______.
【解析】以为原点，，，所在直线分别为，，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，.
设，则的方向向量
设平面的法向量，，，，
，即，取，则
若平面，则
即，则.
又
即
，，
，即.
故答案为：
20．（2022·宁夏·银川三沙源上游学校高二阶段练习（理））已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______.
【解析】以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，设点，
空间中的动点满足，，
所以，整理得，
，
当，时，取最大值，
所以，三棱锥的体积为.
因此，三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
21．（2022·江西·南昌十中高二期中（理））已知正方体和平面，直线平面，直线平面.
（1）证明：平面平面；
（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值.
【解析】（1）证明：连接，则，因为平面，
平面，所以；
又因为，所以平面；
因为平面，所以；
同理；因为，所以平面；
因为平面，过直线作平面与平面相交于直线，则；
所以平面；又平面，
所以平面平面；
（2）设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则，即，取，则；
设，则，因为，
所以；
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当时，取到最大值为，
此时的最大值为.
22．（2022·云南师大附中高二阶段练习（文））如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，侧面为等腰三角形，且，的中点为.
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的动点，设直线与平面所成角的大小为，求的最大值.
【解析】（1）∵点E是PD的中点，为等腰三角形，
∴.
∵平面平面，，
∴平面.
又平面，∴，
而，
∴平面.
（2）如图所示：
在平面内过点作交的延长线于点H，
则平面ABCD，连接HM，
∵平面平面ABCD，交线为CD，
∴平面ABCD，
∴是直线PM与平面ABCD所成角.
设正方形ABCD的边长为2a，则，，
∴，，
∴.
当时，点M满足在线段BD上，
这时HM取到最小值，取到最大值，
这时为等腰直角三角形，而，
∴HM的最小值为，从而的最大值为.
23．（2022·浙江·温州中学高二阶段练习）如图，在四面体中，二面角为60°，，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若M，N在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【解析】（Ⅰ）证明：取中点E，则，则平面，又，，，
，，
，
所以，即，，平面，平面，
则平面，所以．
（Ⅱ）以为x轴，为y轴，为z轴建系，则，，，
设，则，
由，，代入坐标可得，
设平面的一个法向量为，
由，取，则得，
，
记直线与平面所成的角为，则，等号在时取到．
24．（2022·浙江·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面BCE，平面BCE，，．
(1)证明：平面平面DAE；
(2)若点为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【解析】(1)证明：分别取取、的中点、，连接，可得且，
因为平面，平面，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，
又因为平面，且平面，可得，
因为，所以平面，所以平面，
又由平面，所以平面平面.
(2)解：以为原点，以分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，则，
设平面的一个法向量为，则，即，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，
令，（其中），则，所以，
因为，可得，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
25．（2022·全国·高二单元测试）如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.
(1)证明：；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.
【解析】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以，且，
所以平面，
又平面，所以.
（2）连接，则，由，可得，
于是，所以，
又，所以平面，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
由，可得，
平面的法向量为，
设，则，
设与平面所成角为，
则，
令，则，
令，由对称轴知，当，即时，，
，于是
直线与平面所成角的正切的最大值为2.
26．（2022·河北衡水·高二阶段练习）如图，在长方体中，，.若平面与棱，分别交于，，且，，分别为棱，上的点，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的夹角的余弦值的最小值.
【解析】（1）因为为长方体，所以平面，
又平面，，
，，
又，
，即，
所以，即，
又，，平面，
平面，
平面，
平面平面；
（2）以点为坐标原点，射线，，分别为轴，轴，轴，
，平面，且平面平面，
，，四边形为平行四边形，
，
，，，
所以，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，且，
又由（1）得平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
设，则，，
即，
所以当，即，时，取得最小值为.
27．（2022·全国·高二专题练习（理））如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点，与棱，分别交于点，，且平面，平面．
(1)证明：平面；
(2)若，点是直线上的动点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值．
【解析】(1)证明：平面，平面，且平面平面，
，又为的中点，为的中点，
又平面，同理可得，且为的中点，
平面，平面，，则，
，，，而，、平面，
平面；
(2)
解：如图，以点B为坐标原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，过点B且与AP平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设，则，设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以为平面的一个法向量.
设平面的法向量为，则，则，令，则，
所以为平面PBC的一个法向量.
设平面MAC与平面PBC所成的锐二面角为θ，
则.
当时，;
当时，，
当且仅当，即时，取得最小值，取得最大值，最大值为.
所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为.