2023-2024学年湖南省娄底市双峰县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省娄底市双峰县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，应用题，操作与说理等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，满分30分）
1．36的平方根是（ ）
A．±6B．6C．-6D．±
2．若分式的值为零，则的值是（ ）
A．2B．C．D．
3．三角形的两边分别为2，3，则第三边长不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．两个锐角之和一定为钝角B．相等的两个角是对顶角
C．两直线平行，同位角相等D．一个角的补角大于这个角
5．下列根式中，最简二次根式是( )
A．B．C．D．
6．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
8．在实数，，0，，，3.1415，中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图，点 C 在∠AOB 的 OB 边上，用尺规作出了 CN∥OA，作图痕迹中，弧 FG 是（ ）
A．以点 C 为圆心，OD 为半径的弧
B．以点 C 为圆心，DM 为半径的弧
C．以点 E 为圆心，OD 为半径的弧
D．以点 E 为圆心，DM 为半径的弧
10．如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（ ）
A．4根B．5根C．6根D．7根
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．科学家发现一种可入肺颗粒物的直径为，相当于 m．
12．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．已知等䁏三角形的周长为14，其一边长为4，则此等腰三角形的底边长为 .
14．用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，应该先假设 ．
15．若分式方程有增根，则 ．
16．化简： ．
17．不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
18．如图，在中，，，，，为边上不同的个点，从点首先连接，图中出现了3个不同的三角形；再连接，图中便有6个不同的三角形……如此继续下去.连接BAn后，共有三角形的个数是 .
三、解答题（每小题6分，共24分）
19．计算：
20．求不等式组的整数解．
21．先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
22．如图，已知点、、、在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
四、应用题（第23题7分，第24题7分，共14分）
23．期末考试在即，某学校准备购进、两种奖品对进步学生进行奖励，已知一盒种奖品的单价比一盒种奖品的单价多1元，且花600元购买种奖品和花500元购买种奖品的盒数相同．
(1)求A，B两种奖品一盒的单价各是多少元？
(2)若计划用不超过1100元的资金购进A、B两种奖品共200盒，求种奖品最多能购进多少盒？
24．像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)化简：；
(2)已知，计算：的值．
五、操作与说理（25题8分）
25．已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．

(1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：
(3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．
参考答案与解析
1．A
【分析】依据平方根的性质计算即可．
【详解】解：∵ (±6)2=36，
∴36的平方根是±6．
故选A．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
∴；
故选B．
3．A
【分析】本题考查三角形的三边关系， 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题，关键是掌握三角形的三边关系定理．
【详解】解：设三角形第三边长是，
由题意得：，
，只有A选项不在此范围内，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角的性质，角的分类，补角的定义，平行线的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两个锐角之和可能为锐角，直角和钝角，原命题为假命题；
B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题为假命题；
C、两直线平行，同位角相等，为真命题；
D、一个角的补角可能小于这个角，可能等于这个角，也可能大于这个角，原命题为假命题；
故选：C．
5．C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、，被开方数12x=22×3x，含有能开的尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，本选项符合题意；
D、，被开方数含有能开的尽方的因式，不是最简二次根式，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足两个条件：被开方数中不含分母、被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，熟知概念是关键．
6．D
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：A、不是同类项，不能进行合并，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用， 先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出此不等式的解集，再在数轴上表示出其解集即可．解此题的关键是能正确求出不等式的解集．
【详解】解：，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得：，
系数化为1得，，
∴该不等式的解集为，
在数轴上表示出它的解集为：
故选：D．
8．B
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定．
【详解】解：，
，，是无理数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．
9．D
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【详解】解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
【点睛】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
10．B
【分析】本题考查了图形类规律探索，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确理解题意是解题关键．根据题意发现一般规律，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为，再由等腰三角形的底角小于，得出，即可得到答案．
【详解】解：添加一根钢管时，，即，
添加两根钢管时，；
，即，
添加三根钢管时，；
，即，
；
……
观察发现，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为，
等腰三角形的底角小于，
，
，
即最多能添加这样的钢管的根数为5根，
故选：B．
11．
【分析】本题考查科学记数法．根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，确定的值，是解题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
12．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．或6##6或4
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【详解】解：若腰长为4，则底边，
∵，能构成三角形，
∴能构成三角形，底边长为6；
若底边为4，则腰长，
∵，
∴能构成三角形，
∴底边长为：4或6，
故答案为：或6．
14．在一个三角形中，三个内角都大
【分析】根据命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”的否定为“三个内角都大于”，即可得到答案．
【详解】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”的否定为“在一个三角形中，三个内角都大”，
∴应该先假设在一个三角形中，三个内角都大．
故答案为：在一个三角形中，三个内角都大．
【点睛】本题考查反证法．其步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15．1
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数．先将分式方程转化为整式方程，根据增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的方程的解，得到，把代入整式方程，求出的值即可．掌握增根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵方程有增根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
16．##
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据进行求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
17．
【分析】根据口诀“同小取小”可得关于a的不等式，然后解这个不等式即可．
【详解】解：∵解这个不等式组为，
∴，
解得：.
故答案为．
【点睛】主要考查了已知一元一次不等式组的解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时如：，，没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系.求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
18．
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数．
【详解】解：观察图形可知：
从点首先连接，不同的三角形个数为，
再连接，不同的三角形个数为，
再连接，不同的三角形个数为，
，
∴连接到时，图中有个三角形(n为正整数)，
故答案为：．
19．0.
【分析】根据算术平方根、负整指数幂、0次幂、立方根的运算法则进行计算，然后根据有理数的运算法则求得结果.
【详解】
【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，是常见的计算题型.解决此类题的关键是熟练掌握算术平方根、负整指数幂、0次幂、立方根的运算法则.
20．整数解是-1，0，1
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后在解集范围内确定整数解．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
所以这个不等式组的的解集是，
∴不等式组的整数解是-1，0，1．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出两个不等式的解集，确定不等式组的解集是解决问题的关键．
21．，-1．
【分析】先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
=
=
在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2
当x=-2时，．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差、平行线的判定，证明是解此题的关键．
（1）证明，得出，即可推出；
（2）由全等三角形的性质可得，从而得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
；
（2）解：，
，即，
，
，，
，
即，
．
23．(1)种奖品一盒的单价为6元，种奖品一盒的单价为5元
(2)100盒
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的实际问题解决方法是解决本题的关键．
（1）根据题意，设种奖品一盒的单价为元，则种奖品一盒的单价为元，由等量关系式“花600元购买种奖品和花500元购买种奖品的盒数相同”列分式方程进行求解即可；
（2）设购进种奖品盒，则购进种奖品盒，根据“计划用不超过1100元的资金购进A、B两种奖品共200盒”列不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设种奖品一盒的单价为元，则种奖品一盒的单价为元，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，则，
答：种奖品一盒的单价为6元，种奖品一盒的单价为5元；
（2）设购进种奖品盒，则购进种奖品盒，
依题意，得：，
解得：
答：A种奖品最多能购进100盒．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化是解题的关键．
（1）利用分母有理化计算求解即可；
（2）由题意求，，，然后代入计算求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：由题意知，，，
∴；
∴的值为．
25．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
(3)当为180度时，线段的长度最大，最大值为；当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．
【分析】（1）先由等边三角形判断出，，再由旋转判断出，进而判断出，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）当点在的延长线上时，最大，最大值为，当点在线段上时，最小，最小值为，即可得出结论．
【详解】（1）解：
证明： 点与重合，和，
和都是等边三角形，
，，
由旋转知，，
在和中，
，
，
，
（2）解：，
证明：和都是等边三角形，
，，
由旋转知，，
在和中，
，
，
；
（3）解：当点在的延长线上时，最大，最大值为，如图，

∴当为180度时，线段的长度最大，最大值为，
当点在线段上时，最小，最小值为，如图，

∴当为0度或360度时，线段的长度最小，最小值为．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键．