专题18 直角三角形过关检测-备战2024年中考数学一轮复习考点全预测（全国通用）

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选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10B．13C．7D．14
【答案】A
【解答】解：由勾股定理可得，
斜边长为：＝10，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，则斜边AB上的高为（ ）
A．B．C．30cmD．cm
【答案】D
【解答】解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，
∴AB＝＝13（cm），
∵△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，
∴13CH＝5×12，
∴CH＝，
∴斜边AB上的高为．
故选：D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD为AB边上中线，过点D作DE⊥AB，连接AE，BE，若AE＝10，CD＝8，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上中线，CD＝8，
则AD＝CD＝8，
∵DE⊥AB，AE＝10，
∴DE＝＝＝6，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠ABC为直角，∠A＝30°，BD⊥AC于D，若CD＝2，则AC的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】A
【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，
∴∠BCD＝60°，
∵BD⊥AC于D，
∴∠DBC＝∠A＝30°，
∵CD＝2，
∴BC＝4，
∴AC＝8，
故选：A．
6．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BADB．AC＝AD或BC＝BD
C．∠ABC＝∠ABDD．以上都不正确
【答案】B
【解答】解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
7．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的依据是（ ）
A．HLB．ASAC．AASD．SAS
【答案】A
【解答】解：HL，
理由是：∵∠A＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：A．
8．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．1，，B．0.6，0.8，1C．5，11，12D．8，15，17
【答案】D
【解答】解：A、，，不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；
B、0.62+0.82＝12，0.6、0.8不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；
C、52+112≠122因此不是勾股数，不符合题意；
D、82+152＝172都是正整数，符合题意，因此是勾股数，符合题意．
故选：D．
9．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．1cm
【答案】A
【解答】解：∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝AB＝4cm，
在Rt△ACD中，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：
AD＝＝5（cm）；
∵CD⊥AB，
∴∠DCA＝∠DCB＝90°，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴AD＝BD＝5cm，
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
∴橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（ ）
A．420B．440C．430D．410
【答案】B
【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，
由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，
∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，
∴∠ACB＝∠PBF，
∴△ABC≌△PFB（AAS），
同理可证△ABC≌△QCG（AAS），
∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，
∵图2是由图1放入长方形内得到，
∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，
∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．
故选：B．
填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 65 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为25°，
∴它的另一个锐角为90°﹣25°＝65°．
故答案为：65．
12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝ 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9，
∴AC2＝9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝5（cm），
故答案为：5．
13．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠CDA＝120°，则∠B的度数为 60° ．
【答案】60°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC斜边AB的中线，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC．
∵∠CDA是△CDB的一个外角，
∠CDA＝120°，
∴∠DCB+∠DBC＝120°．
∴∠DBC＝60°．
故答案为：60°．
14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，设大树高为AB＝10米，
小树高为CD＝4米，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米），
在Rt△AEC中，AC＝＝10（米），
故答案为：10．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝3.5，则CF＝ 7 ．
【答案】7．
【解答】解：连接AF，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴，
∵EF垂直平分线段AB，BF＝3.5，
∴BF＝AF＝3.5，
∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠FAC＝∠BAC﹣∠BAF＝90°，
∴在Rt△AFC中，∠C＝30°，有FC＝2AF＝7，
故答案为：7．
16．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，
解得x＝2.5．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE＝35°，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠BCE＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°．
18．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
由（1）得：Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）求证：BE＝EF．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，
∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，
∴∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABF＝30°，
∴AE＝BE，
由（1）知△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴BE＝EF．
20．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，AB＝10．求：
（1）△ABC的面积；
（2）线段CD的长．
【答案】（1）24；
（2）4.8．
【解答】解：（1）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC的面积＝；
（2）△ABC的面积＝，
∴6×8＝10CD，
∴CD＝4.8．
21．（8分）如图1，同学们想测量旗杆的高度h（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1米，如图1；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部4米，如图2．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处（BD＝BC）．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h米；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆4.5米远，此时绳结离地面多高？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图2，设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42＝（x+1）2，
解得：x＝7.5，
故旗杆的高度为7.5米；
（2）由题可知，BD＝BC＝7.5米，DE＝4.5米．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+4.52＝7.52，
解得：BE＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝7.5﹣6＝1.5（米），
∴DF＝EC＝1.5米．
故绳结离地面1.5米高．
22．（10分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．
【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．
【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．
求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
【答案】【尝试探究】见解析；
【定理应用】见解析．
【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），
利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC+S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，
∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，
∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．
23．（10分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，BC＞AC，点P在线段BC上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APM＝∠B，PM交AC于点M．
（1）在图①中，在P点运动过程中，若PM∥AB，求证：△ABP为等腰三角形；
（2）在图①中，若PC＝AC时，求证：△ABP≌△PCM；
（3）在图②中，若∠B＝45°时，过点A作PM的垂线交BC于点D，探究线段PB2、PD2、CD2之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程；
（3）PB2+CD2＝PD2，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：在图①中，
∵PM∥AB，
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠B，
∴∠3＝∠B，
∴AP＝BP，
∴△ABP为等腰三角形；
（2）证明：在图①中，
∵∠APC是△ABP的一外角，
∴∠APC＝∠B+∠3，即∠1+∠2＝∠B+∠3，
又∵∠1＝∠B，
∴∠2＝∠3，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
又∵AC＝PC，
∴PC＝AB，
在△ABP和△PCM中，
，
∴△ABP≌△PCM（ASA）；
（3）解：PB2+CD2＝PD2．理由如下：
将△APD沿AD翻折得到△AP'D，再连接P'C则P'D＝PD，AP'＝AP，∠PAP'＝2∠2，
∵∠B＝45°，∠B＝∠1，AD⊥PP'，
∴∠2＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠PAP'＝∠BAC＝90°，
∴∠4＝∠3，
在△ABP和△ACP'中，
，
∴△ABP≌△ACP'（SAS），
∴P'C＝BP，∠5＝∠B＝45°，
∴∠DCP'＝45°+45°＝90°，
即△DCP'为直角三角形，
∴由勾股定理得P'C2+CD2＝P'D2，
∴PB2+CD2＝PD2．