专题17 等腰三角形过关检测-备战2024年中考数学一轮复习考点全预测（全国通用）

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1．已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（ ）
A．22B．19C．17D．17或22
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，
∴三角形的周长＝4+9+9＝22；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故选：A．
2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】C
【解答】解：连接BC，如图，
∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，
∴OB＝OC，
∵以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，
∴OB＝BC，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠O＝60°．
故选：C．
3．如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【答案】C
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝DB
∴∠B＝∠DAB
∵∠C＝90°，∠CAD＝20°
∴∠B＝（180°﹣∠C﹣∠CAD）÷2＝35°
故选：C．
4．如图，△OAB的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且AB⊥x轴，若AB＝2，OA＝OB＝，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
【答案】A
【解答】解：设AB与x轴交于点C，
∵OA＝OB＝，OC⊥AB，AB＝2，
∴AC＝AB＝1，
由勾股定理得：OC＝＝＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，1），
故选：A．
5．如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．
∴∠A＝50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．
故选：B．
6．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50°B．65°
C．50°或65°D．50°或80°或65°
【答案】D
【解答】解：当∠A为顶角时，则；
当∠B为顶角时，则∠B＝180°﹣2∠A＝80°；
当∠A、∠B为底角时，则∠B＝∠A＝50°．
故选：D．
7．如图，已知a∥b，截线c与直线a，b分别交于点A，B，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线b于点C，连接AC，若∠CAB＝50°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50°B．65°C．80°D．75°
【答案】B
【解答】解：由题意，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠CAB＝50°，
∴，
故选：B．
8．如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．92°B．102°C．112°D．114°
【答案】B
【解答】解：如图：AB，AC分别交直线a于点D，E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
又∵∠ADE＝∠1＝42°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠A＝102°，
又∵a∥b，
∴∠2＝∠DEC＝102°．
故选：B．
9．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以1cm/s和2cm/s的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使△ADE为直角三角形（ ）
A．9B．C．D．1
【答案】D
【解答】解：由题意，当t＝9时，9×1＝9，9×2＝18，如图1，
此时点D为BC的中点，E在C点．
∵AB＝AE，
∴AD⊥BE．
∴△ADE为直角三角形．
∴A选项不符合题意．
当t＝时，×1＝＝6+1.5，＝15＝6×2+3，如图2，
此时BD＝1.5，E为BC的中点．
∵E为BC的中点，AB＝AC，
∴AE⊥BC．
∴△ADE为直角三角形．
∴B选项不符合题意．
当t＝时，×1＝＝2.4，＝＝4.8，如图3，
此时AD＝1.5，CE＝4.8．
∴AE＝AC﹣CE＝6﹣4.8＝1.2．
取AC的中点H，连接BH．
∵AB＝BC，
∴BH⊥AC．
∵＝＝，
∴DE∥BH．
∴∠AED＝∠BHA＝90°．
∴△ADE为直角三角形．
∴C选项不符合题意．
当t＝1时，AD＝1×1＝1，CE＝1×2＝2．如图4，
此时AE＝AC﹣CE＝6﹣2＝4．运用排除法，
显然△ADE不是直角三角形．
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论：①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：因为∠ACB＝90°，DE⊥AB，∠DCA＝∠DAC，
所以90°﹣∠DCA＝90°﹣∠DAC，
所以∠E＝∠B＝∠DCB，
所以①正确；
因为∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠B，
所以DC＝DA，DC＝DB即DC＝DA＝DB，
所以DC是直角三角形斜边AB上的中线，
所以，
所以②正确；
根据已知，只能判断△ADC是等腰三角形，
所以③错误；
因为∠E＝30°，
所以△ADC是等边三角形，
所以∠E＝∠B＝∠DCB＝∠CDF＝30°，
所以CF＝DF，
所以DE＝EF+DF＝EF+CF，
所以④正确，
故选：C．
填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝4，则△ADE的周长为 12 ．
【答案】12．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴∠A＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE＝4，
∴△ADE的周长＝4+4+4＝12，
故答案为：12．
12．如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝5cm，EC＝4cm，则DE＝ 9 cm．
【答案】9．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠ECF，
∴BD＝DF＝5cm，FE＝CE＝4cm，
∴DE＝DF+CE＝9（cm）．
故答案为：9．
13．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝ 10° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
14．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为 24 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AE＝DF＝3cm，DE＝AF＝5cm，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BED＝∠A＝60°，∠DFC＝∠A＝60°，
∴∠BED＝∠B＝60°，∠DFC＝∠C＝60°，
∴△BED为等边三角形，△DFC为等边三角形，
∴BE＝BD＝DE＝5cm，DF＝FC＝CD＝3cm，
∴AB＝AE+BE＝8cm，AC＝AF+CF＝8cm，BC＝BD+CD＝8cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝8+8+8＝24cm．
故答案为：24．
15．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝ 12 m2．
【答案】12．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），
故答案为：12；
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，8），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为 （）2020 ．
【答案】（）2020．
【解答】解：∵点A的坐标是（0，8），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，
∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝8，
∴A1O1＝OA1＝4，点A1纵坐标是4，
∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，
∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝4，
∴A2O2＝O1A2＝2，点A2的纵坐标是2，
∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，
同理，得点A3的纵坐标是2×，
按此规律继续作下去，得：点A2023的纵坐标是8×（）2023，即（）2020，
故答案为：（）2020．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．(8分)如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．
求证：△ABD是等腰三角形．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵BD、AE分别是AC、BC边上的高，
∴BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠ADF＝90°，∠DBC+∠BFE＝∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠BFE＝∠AFD，
∴∠CBD＝∠DAF，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（AAS），
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
18．(8分)如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE＝BD＝BC，
∴△BCD，△BED是等腰三角形；
∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；
（2）解：∵∠AED＝114°，
∴∠BED＝180°﹣∠AED＝66°．
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝66°．
∴∠ABD＝180°﹣66°×2＝48°．
解法一：设∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．
∴∠A＝180°﹣2x°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD．
∴x＝180﹣2x+48，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．（10分）
解法二：设∠ACB＝x°，
∴∠ABC＝∠ACB＝x°．
∴∠DBC＝x°﹣48°．
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠ACB＝x°．
又∵∠DBC+∠BCD+∠BDC＝180°，
∴x﹣48+x+x＝180，解得：x＝76．
∴∠ACB＝76°．
19．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝∠EDC＝90°，
∴∠E+∠B＝90°，∠C+∠DFC＝90°，
∴∠E＝∠DFC，
∵∠DFC＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠E，
∴AE＝AF，
∴△AEF为等腰三角形；
（2）解：过点A作AG⊥ED于点G，AH⊥BC于H，如图所示：
∵AE＝AF，AG⊥ED，EF＝12，
∴FG＝GE＝EF＝6，
∵F为AC中点，
∴AF＝FC＝AC＝AB＝，
在△AFG与△CFD中，
，
∴△AFG≌△CFD（AAS），
∴DF＝FG＝6，
∴AH＝2DF＝12，
∴BH＝＝5，
∴BC＝2BH＝10，
20．(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
21．(8分)如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC，AC于F，M．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若AB＝5，AH＝3，AE＝2，求MF的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AH⊥BC，垂足为H，且BH＝CH，
∴AH是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC．
∴∠B＝∠C；
（2）解：∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，
∴∠AHB＝∠EFB＝90°．
∴AH∥EF．
∴∠BAH＝∠E，∠CAH＝∠AME．
∴∠E＝∠AME．
∴AM＝AE＝2．
∵AB＝AC＝5，
∴CM＝AC﹣CM＝3．
∵AH∥EF，
∴△CMF∽△CAH．
∴＝．
∴＝．
∴MF＝．
22．(8分)已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．
（1）求证：AN＝BM；
（2）求证：△CEF为等边三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，
∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN＝∠CMB，
又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠MCF＝∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∵，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形．
23．(8分)如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．