江苏版高考物理一轮复习第4章第4节万有引力与航天课时学案

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(对应学生用书第94页)
一、开普勒行星运动三定律
二、万有引力定律
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪什扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度，其数值为7.9 km/s。
(2)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星最大环绕速度。
(3)第一宇宙速度的计算方法
由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝ eq \r(\f(GM,R))；
由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)。
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。
四、时空观
1．经典时空观
(1)物体的质量不随速度的变化而变化。
(2)同一过程的位移和对应时间在所有参考系中测量结果相同。
(3)适用条件：宏观物体、低速运动。
2．相对论时空观
同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果不同。
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√)
(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中k值与中心天体质量无关。(×)
(4)第一宇宙速度与地球的质量有关。(√)
(5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×)
二、教材习题衍生
1．(开普勒定律的应用)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得eq \f(r\\al(3,火),T\\al(2,火))＝eq \f(r\\al(3,木),T\\al(2,木))，故eq \f(T\\al(2,火),T\\al(2,木))＝eq \f(r\\al(3,火),r\\al(3,木))，C正确。]
2．(万有引力定律的理解及应用)(2022·全国乙卷)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们( )
A．所受地球引力的大小近似为零
B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
C [航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，所受地球引力大小不为零，选项A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，选项C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，选项D错误。]
3．(宇宙速度及卫星运行参量的分析计算)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
[答案] C
开普勒定律的应用
(对应学生用书第95页)
1．(物理史实)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B [开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。]
2．(开普勒定律的理解与应用)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星东大距”“火星冲日”“月全食”等天象先后扮靓夜空，可谓精彩纷呈。发生于北京时间7月28日凌晨的“月全食”，相对于2018年1月31日发生的“月全食”来说，7月的全食阶段持续时间更长。已知月球绕地球的运动轨道可看成椭圆，地球始终在该椭圆轨道的一个焦点上，则相对于1月的月球而言，7月的月球( )
A．绕地球运动的线速度更大
B．距离地球更近
C．绕地球运动的角速度更大
D．距离地球更远
D [地球绕着太阳公转，月球又绕着地球公转，发生月食的条件是地球处于月球和太阳中间，挡住了太阳光，月全食持续的时间长短和太阳、地球、月球三者的位置关系密切相关，7月这次月全食的时间比较长是由于月球和地球的距离比较远。根据开普勒第二定律可知此时月球绕地球运动的线速度更小，ω＝eq \f(v,r)角速度更小，故A、B、C错误，D正确。]
3．(对开普勒第二定律的理解及应用)(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
A．v1>v2，v1＝eq \r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq \r(\f(GM,r))
C．v1v2，过近地点圆周运动的速度为v＝eq \r(\f(GM,r))，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>eq \r(\f(GM,r))，故B正确。]
应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
万有引力定律的理解及应用
(对应学生用书第96页)
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
[典例] (2023·苏州中学模拟)若航天员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(hv\\al(2,0),L2)
B．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)
C．月球的第一宇宙速度v＝eq \f(v0,L)eq \r(\f(2h,R))
D．月球的质量m月＝eq \f(hR2v\\al(2,0),GL2)
关键信息：由“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。
B [设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2hv\\al(2,0),L2)，故A错误；在月球表面eq \f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq \f(2hR2v\\al(2,0),GL2)，则月球密度为ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(2hR2v\\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(g月R)＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)，故C错误。]
估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用条件。
[跟进训练]
万有引力定律的理解与应用
1．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A.eq \f(4π2,g1T2) B．eq \f(4π2,g2T2)
C.eq \f(g2－g1T2,4π2) D．eq \f(g1＋g2T2,4π2)
C [在“极点”处：mg2＝eq \f(GMm,R2)；在其表面“赤道”处：eq \f(GMm,R2)－mg1＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2R；解得R＝eq \f(g2－g1T2,4π2)，故选C。]
天体质量的计算
2．(2023·江苏南京师大附中高考模拟)2022年5月12日，银河系中心超大质量黑洞已被证实。理论表明：黑洞质量M和半径R的关系为eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，其中c为光速，G为引力常量。若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知( )
A．该黑洞的质量M＝eq \f(v2r,2G)
B．该黑洞的质量M＝eq \f(v2r,G)
C．该黑洞的半径R＝eq \f(v2r,2c2)
D．该黑洞的半径R＝eq \f(v2r,c2)
B [设黑洞的质量为M，环绕天体的质量为m，根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力有：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，化简可得黑洞的质量为M＝eq \f(v2r,G)，故B正确，A错误；根据黑洞的质量M和半径R的关系eq \f(M,R)＝eq \f(c2,2G)，可得黑洞的半径为R＝eq \f(2GM,c2)＝eq \f(2G\f(v2r,G),c2)＝eq \f(2v2r,c2)，故C、D错误。]
天体密度的计算
3．2022年4月24日，“中国航天日”启动仪式线上举办，我国将继续实施探月工程任务。已知月球表面的重力加速度g0为地球表面重力加速度g的eq \f(1,6)，若月球半径R0约为地球半径R的eq \f(1,4)，则月球密度ρ0与地球密度ρ的比值约为( )
A．1 B．eq \f(2,3)
C．6 D．2
B [对于质量为m的物体，根据万有引力定律有Geq \f(M0m,R\\al(2,0))＝mg0、Geq \f(Mm,R2)＝mg，月球和地球质量分别为M0＝ρ0·eq \f(4,3)πReq \\al(3,0)、M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，又g0＝eq \f(1,6)g、R0＝eq \f(1,4)R，联立解得ρ0＝eq \f(2,3)ρ，B项正确。]
宇宙速度及卫星运行参量的分析计算
(对应学生用书第97页)
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/sTb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节
(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度(周期)；
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助同步卫星过渡。
D [b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，代入数据得v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝eq \f(GM,r2)得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2πeq \r(\f(r3,GM))得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可知b的速度比c的速度大，故D正确。]
研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
[跟进训练]
宇宙速度的理解
1．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度。星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq \r(2)v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq \f(1,6)。不计其他星球的影响。则该星球的第二宇宙速度为( )
A.eq \r(\f(gr,3)) B．eq \r(\f(gr,6))
C．eq \f(gr,3) D．eq \r(gr)
A [该星球的第一宇宙速度满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v\\al(2,1),r)，在该星球表面处万有引力等于重力：Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(g,6)，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(gr,6))，则第二宇宙速度v2＝eq \r(2)×eq \r(\f(gr,6))＝eq \r(\f(gr,3))，故A正确。]
卫星的运行问题
2．(2021·江苏卷)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星( )
A．运动速度大于第一宇宙速度
B．运动速度小于第一宇宙速度
C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
B [第一宇宙速度是指绕地球表面做圆周运动的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，该卫星的运转半径远大于地球的半径，可知运行线速度小于第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r可知r＝eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，可知该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，选项C、D错误。故选B。]
同步卫星、近地卫星与赤道上的物体
3．地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g。综上可知v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2>F3>F1，D项正确。]
卫星变轨问题
(对应学生用书第98页)
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1v火，所以v地>v火>v地火Q，即天问一号在地火转移轨道上并不是每一点的速度都比地球绕太阳的速度大，故选项D错误。]
2．(2022·江苏南京三模)如图所示，关闭动力的宇宙飞船在月球引力作用下沿地—月转移轨道向月球靠近，并将与空间站在A处对接。已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R，下列说法正确的是( )
A．宇宙飞船在A处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火加速
B．地—月转移轨道的周期小于T
C．月球的质量为M＝eq \f(4π2r3,GT2)
D．月球的第一宇宙速度为v＝eq \f(2πR,T)
C [根据圆周运动的供需平衡关系，从轨道比较高的椭圆变轨到轨道高度比较低的圆轨道，应减速，A错误；根据开普勒第三定律可知eq \f(a3,T2)＝k可知，地—月转移轨道的半长轴大于空间站圆周运动的半径，所以地—月转移轨道周期大于T，B错误；以空间站为研究对象，它做匀速圆周运动的向心力来源于月球对它的万有引力，可知eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，所以M＝eq \f(4π2r3,GT2)，C正确；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，将C选项求得的M带入可得v＝eq \f(2πr,T)eq \r(\f(r,R))，D错误。]
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量