2022-2023学年天津市河东区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市河东区九年级上学期数学期末试卷及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 将方程化成 的形式，则 a ， b ， c 的值分别为（ ）
A. 5，4，1B. 5，4， C. 5， ，1D. 5， ，
【答案】C
【解析】
【分析】将一元二次方程化为一般形式即可得出答案．
【详解】解：将化为一般形式为：，
∴，，，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键将一元二次方程化为一般形式，注意a ， b ， c 的值包括前面的符号．
2. 一元二次方程 的根是（ ）
A. B. C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】首先移项，将方程右边移到左边，再提取公因式x，可得，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是因式分解法．
3. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点关于原点对称的点的坐标为即可解答．
【详解】解：点关于原点对称的点坐标是，
故答案为：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键．
4. 下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：选项中，A、B、D均不是中心对称图形，C是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】题目主要考查中心对称图形的概念，理解中心对称图形的定义是解题关键．
5. 关于二次函数的图象，有下列说法：①对称轴为直线；②图象开口向下；③当时，y随着x的增大而减小．其中正确的说法个数有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】A
【解析】
【分析】先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解；∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，开口向下，
∴当时，y随着x的增大而减小，
∴①②③都正确，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟知二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
6. 把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可．
【详解】解：向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “购买1张彩票，中奖”是不可能事件
B. “任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D. 某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶
【答案】B
【解析】
【分析】根据必然事件和不可能事件的概念，以及概率的计算方法求解即可．
【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故选项错误，不符合题意；
B、“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件，故选项正确，符合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，不能说明正面朝上的概率是0.3，故选项错误，不符合题意；
D、他击中靶的概率不是0，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了必然事件和不可能事件的概念，以及概率的计算，解题的关键是熟练掌握必然事件和不可能事件的概念，以及概率的计算．
8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则， ，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点代入解析式求出各个坐标比较即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，
，
，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点坐标大小比较，解题的关键是把点代入解析式求出各个坐标．
9. 如图，已如平行四边形ABCD．点E在DC上，DE：EC=2：1．连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A. 4：9B. 1：3C. 1：2D. 2：3
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC=2：1，即可得出△DEF与△BAF的周长之比，此题得解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=2：1，
∴△DEF与△BAF的周长之比为2：3
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
10. 如图，已知上三点，半径，，切线交延长线于点，则的长为（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAP=90°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】连接OA．
∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°．
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OPA=30°．
∵OA=OC=2，∴OP=2OA=4．
故选A．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等知识点，能熟记切线的性质是解答此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
11. 如图，将正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°后，点B的坐标变为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用旋转的性质得出点B的对应点B′位置，进而利用坐标系直接得出点B′的坐标．
【详解】解：如图所示
：将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转90°后，点B旋转到点B′的位置，则点B′的坐标为：
故选：A．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，利用旋转的性质得出B′位置是解题关键．
12. 已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知：，，，
，
，即，得出，故①正确；
，
对称轴，
，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．
二、填空题（共3小题，每小题3分）
13. 关于x的方程的一个根是，则它的另一个根________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出另外一个根即可．
【详解】解：∵关于x的方程的两根之积为：，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握及，是解题的关键．
14. 不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：∵不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
15. 正方形的中心角为________．
【答案】90°##90度
【解析】
【分析】根据正多边形的中心角的定义解答，正多边形的中心是正多边形的外接圆的圆心，正多边形的中心角是正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，正n边形的中心角为．
【详解】解：如图，设正方形ABCD的中心为点O，
则∠AOB=360°÷4=90°，
故答案为：90°．
【点睛】本题主要考查了正方形的中心角，解决问题的关键是熟练掌握正多边形的中心角的定义及计算方法，运用于正方形．
16. 如图，它是反比例函数y=图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是____．
【答案】m＞5
【解析】
【分析】根据图象可知反比例函数中m-5＞0，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【详解】由图象可知，
反比例函数y=图象在第一象限，
∴m﹣5＞0，
得m＞5.
故答案为：m>5
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用数形结合的思想解答．
17. 如图：P是的直径 的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则______．
度．
【答案】##25度
【解析】
【分析】连接，根据切线性质及，求出，再根据三角形内外角关系即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案．
【点睛】本题考查圆的切线性质，直角三角形两锐角互补，及三角形内外角关系，解题关键是作辅助线．
18. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值_____．
【答案】2﹣1
【解析】
【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF＝AE＝1，根据三角形三边关系得：AF≤AC﹣CF，可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值．
【详解】解：如图，连接FC，AC，AE．
∵ED⊥DF，
∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF，
△ADE和△CDF中
∵，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴CF＝AE＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AC＝2，
∵AF≥AC﹣CF，
∴AF≥2﹣1
∴AF的最小值是2﹣1；
故答案为2﹣1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是确定AF最小时，F在线段AC上，是一道中等难度的试题．
三、解答题
19. 解方程
（1） ；
（2） ．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再用分解因式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，，，
，
∴，
∴，．
【小问2详解】
解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
20. 到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又即将举办冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张会徽分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）先由题意先画树状图列出所有等可能结果数，抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，再由概率公式求解可得．
【详解】解：（1）由题意，共有4种等可能结果，符合题意的有1种
∴从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的结果数为2，
∴抽到的两张会徽卡片恰好是“冬梦”和“飞跃”的概率＝．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（0，－3），求抛物线的解析式和顶点坐标．
【答案】，
【解析】
【分析】把，代入解方程组即可得到结论．
【详解】解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法是解题关键．
22. 已知的直径为10，四边形内接于，平分．
（1）如图1，若为的直径，求的长；
（2）如图2，若，求的长．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则，，再根据直径所对的圆周角是直角可证为等腰直角三角形，据此求解即可；
（2）如图所示，连接，先根据圆内接四边形对角互补求出，则可以根据角平分线的定义得到，利用圆周角定理即可得到，进而可以证明是等边三角形，得到．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，的直径为10，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解；如图所示，连接，
∵四边形内接于，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23. 某商场销售一种商品，进价为每个20元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；
（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元
【解析】
分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据总利润=（售价进价）×数量进行求解即可；
（3）根据（2）所求关系式利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解；设y与x之间的函数表达式为，
由题意得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由题意得
；
【小问3详解】
解；∵，，
∴当时，w最大，最大为1800，
∴当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
24. 如图，在边长为4的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可知，从而得到，通过证明即可；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵将绕点A顺时针旋转90°得到，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
即．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（Ⅱ）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（Ⅲ）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）或
【解析】
【分析】（1）把A、C两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得b、c的值，令y=0，解方程可得B的坐标，利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）根据解析式分别表示M、N两点的坐标，其纵坐标的差就是MN的长，配方后求最值即可；
（3）分两种情况：①当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，②当点P不在线段OB上时，则有MN= ,根据MN=3列方程解出即可．
【详解】解：（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得： ，
解得：，
∴抛物线解析式为，
令y=0可得， ，
解 ，，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为，
把B、C坐标代入可得： ，
解得： ，
∴直线BC解析式为y=﹣x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴，
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；
（3）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，
当点P在线段OB上时，则有MN=﹣m2+3m，
∴﹣m2+3m=3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有，
∴m2﹣3m=3，
解得m= 或m=．
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的最值、平行四边形的判定以及一元二次方程的解法，此题将线段的最值转化为二次函数的最值问题，同时还采用了分类讨论的方法解决问题．
每个商品的售价x（元）
…
30
40
50
…
每天的销售量y（个）
…
100
80
60
…