2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市和平区九年级上学期数学期中试卷及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
可回收物B. 有害垃圾
C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
【详解】∵，，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．
3. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．
【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，
∴A、C坐标关于原点对称，
∴C的坐标为，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．
4. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
5. AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°
【答案】A
【解析】
【分析】根据直径得出∠ACB=90°，进而得出∠CAB=25°，进而解答即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理关键．
6. 把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2+2
B. y=﹣2（x+1）2﹣2
C. y=﹣2（x﹣1）2+2
D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2
【答案】C
【解析】
【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．
7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：把，，分别代入得，
；；；
则，，的大小关系是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
8. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：依题意得五、六月份的产量为、，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3
【答案】D
【解析】
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径
A. 6米B. 米C. 7米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】先设此圆半径为r，用r表示出OA，OD的长，再由垂径定理求出AD的长，根据勾股定理即可求解．
【详解】设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9−r，
∵AB=12米，CD⊥AB，
∴AD=AB=×12=6米，、
在Rt△AOD中，
∵OA=r，OD=9−r，AD=6米，、
∴OA2=OD2+AD2,即r2=(9−r)2+62，
解得r=米.
故选B.
【点睛】本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握垂径定理是解题的关键.
11. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( )
A. 2－B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠DBB′=∠DBA=30°，
∴BD⊥AB′，且AD=B′D，
∵AC＝BC＝，
∴，
∴，，，
．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④．
其中，正确结论的个数是（ ）.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可
【详解】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②根据表格可得：x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，根据表格可得：x＝﹣2和x＝3关于函数对称轴对称，此时的函数值为t，则﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，故③正确，符合题意；
④函数的对称轴为：x＝，则b=-a，当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，所以 3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 写出下列一元二次方程的根_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
即或，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
14. 抛物线的顶点坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为即可求出．
【详解】∵二次函数的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点为（1，-3）．
故答案为：（1，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，需熟练理解二次函数顶点式的顶点坐标为．
15. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝30°，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是_______．
【答案】120°
【解析】
【分析】连接OD，由圆的切线性质可知∠ODB=90°，则可得∠DOB=2∠A=60°，从而求解．
详解】解：连接OD，如图，
BD切⊙O于D，
∴∠ODB=90°，
∵∠B=30°
∴∠DOB=60°
∴∠A=30°
∴∠ADB=180°-∠B-∠A=180°-30°-30°=120°
故答案为∶120°．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理的应用，解题的关键是熟练运用这些性质进行推理和计算．
16. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次函数的定义和根的判别式进行计算即可．
【详解】∵二次函数的图象和轴有交点，
∴，
∴，且，
故答案为：，且．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，根的判别式，掌握这些知识点是解题关键．
17. ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是____．
【答案】80°或100°
【解析】
【分析】根据圆周角定理和圆的内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°．
故答案为：80°或100°．
【点睛】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形，掌握圆的内接四边形的对角互补是关键．
18. 如图，是等边三角形，，D是的中点，F是直线上一动点，线段绕点D逆时针旋转，得到线段，当点F运动时，的最小值是________________．
【答案】
【解析】
【分析】作FM⊥BC，EN⊥BC，根据AAS定理证得△EDN≌△DFM，然后设BM=x，根据含30°的直角三角形性质及勾股定理列出AE2，结合二次根式的性质及完全平方公式的结构分析其最值，从而求解．
【详解】解：作FM⊥BC，EN⊥BC．
∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段
∴DE=DF，∠FDM+∠EDN=90°
又∵FM⊥BC，EN⊥BC
∴∠DMF=∠END=90°，∠FDM+∠DFM=90°
∴∠EDN=∠DFM
∴△EDN≌△DFM
由题意可得：∠B=60°，BD=
∴在Rt△BFM中，∠BFM=30°
如图，①当点F线段AB上时，
设BM=x，则DN=FM=，CN=CD+DN=，NE=DM=
在Rt△CEN中，
∴
此时，CE无最小值，
如图，②当点F在AB的延长线上时
设BM=x，则DN=FM=，CN=CD-DN=，NE=DM=
在Rt△CEN中，
∴
此时，当x=时，CE2有最小值为
∴CE的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（Ⅰ）x2+x﹣12＝0；
（Ⅱ）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
【答案】（Ⅰ）x1＝﹣4，x2＝3；（Ⅱ）x1＝1，x2＝
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程；
（Ⅱ）先移项得5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3；
（Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（5x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20. 如图，在半径为的中，弦长．求：
（1）的度数；
（2）点O到的距离．
【答案】（1）60°；（2）25mm
【解析】
【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB＝50mm，
又∵AB＝50mm，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，
由垂径定理得AC＝CB＝AB＝25mm，
在Rt△OAC中OC2＝OA2－AC2＝502－252＝252×3，
∴OC＝＝25（mm），
即点O到AB的距离是25mm．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.
21. 已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【详解】解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
22. 如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？
【答案】通道应设计成2米．
【解析】
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30－2x）m，宽为（20－x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30－2x）（20－x）=6×78．
【详解】设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，
整理得：（x﹣2）（x﹣33）=0，
解得x=2或x=33舍去），
答：通道应设计成2米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
23. 某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元．
（1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本；
（2）求与的函数关系式；
（3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1），；（2）；（3）当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．
【解析】
【分析】（1）用原来的利润加上涨价的利润即为现在的利润，销量在原来的基础上减少后即可；
（2）用涨价后单件的利润乘以销售量即可列出函数关系式；
（3）利用公式或配方后即可确定最大值．
【详解】解：（1）涨价后每本复习资料的利润为（x−40）元，平均每天可销售90−3（x−50）＝（240−3x）本．
故答案为：， ；
（2）
（其中，）；
（3）当时，

∴当复习资料每本售价为60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．
【点睛】本题考查二次函数的应用和性质，解题的关键是掌握二次函数的应用和性质．
24. 如图，等腰直角中，，点在上，将绕顶点沿顺时针方向旋转90°后得到.
（1）求的度数；
（2）当，时，求的大小；
（3）当点在线段上运动时（不与，重合），求证：.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）由于∠PCB=∠BCQ=45°，故有∠PCQ=90°;
（2）利用勾股定理得出AC的长，再利用旋转的性质得出AP=CQ，求得PC的长度，进而利用勾股定理得出PQ的长；
（3）先证明△PBQ也是等腰直角三角形，从而得到PQ2=2PB2=PA2+PC2．
【详解】（1）∵△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ，
∴，
∴，
∴.
（2）当时，有，，
，
∴.
（3）由（1）可得，，，
，
∴是等腰直角三角形，是直角三角形.
∴，
∵，
∴，
故有.
【点睛】考查了旋转性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质等知识，得出旋转前后对应线段之间关系是解题关键．
25. 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，且．
（1）求点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）作直线，问抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点B的坐标为(6，0)；（2）二次函数的解析式为；（3）点M的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由条件可知OC＝6，根据OB＝OC，可求出点B的坐标；
（2）将B，C两点的坐标代入y＝ax2＋b，求出a，b的值，即可求得二次函数的解析式；
（3）根据题意，分M在BC上方和下方两种情况进行解答，画出相应的图形，然后根据二次函数的性质和锐角三角函数可以求得点M的坐标．
【详解】解：（1）∵C(0，－6)
∴
∵
∴
∴点B的坐标为(6，0)
（2）∵抛物线（≠0）经过点C(0，－6)和点B(6，0)，
∴，解得
∴该二次函数的解析式为
（3）存在
①若点M在BC上方，设MC交轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°．
∴∠OCD=30°.
∴设OD=，则CD=2.
∵在Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=6，
∴,
即，
解得（舍），.
∴点D的坐标为(，0).
设直线DC的函数解析式为
∴，解得
∴直线DC的函数解析式为
∴，解得（舍），
∴(,12)
②若点M在BC下方，设MC交轴于点E，则∠OEC=45°－15°=30°．
∵OC=6，则CE=12.
∵在Rt△OCE中，∠COE=90°，
∴=108,∴.
∴点E的坐标为(，0).
设直线EC的函数解析式为，
∴，解得
∴直线EC的函数解析式为
∴，解得（舍），.
∴
综上所述，点M的坐标为或.
【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质、锐角三角函数等知识．熟练运用方程思想是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…