2022-2023学年天津市北辰区九年级上学期数学期中试卷及答案

这是一份2022-2023学年天津市北辰区九年级上学期数学期中试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意；
选项B：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项C：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
选项D：不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．解题的关键是掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. x﹣3＝0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A、方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
3. 将方程配方后，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：
．
故选A．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．
4. 方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】利用判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，能够熟练运用判别式的值求根的个数是解题关键．
5. 将抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得解析式为（ ）
A. y=（x-1）2+2B. y=（x+1）2-2C. y=（x-1）2-2D. y=（x+1）2+2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【详解】解：∵抛物线y＝x2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度,
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．
6. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 2+
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数性质，在顶点处取最值即可．
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，
∵a=-1＜0
∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键．
7. 设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y2
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣（﹣2）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的函数值与对称轴之间的关联，了解知识点并知道如何利用二次函数的对称性比较函数值大小是解题关键．
8. 如图，绕点O逆时针旋转到位置，已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转到的位置，
∴，
∵，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
9. 如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把三条小道平移到边上，可以得到一个完整的种植区域，然后根据已知条件，列出方程即可．
【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，
由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为 米，所以种植区域的长为（ ）米，宽为（）米，
根据矩形面积公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960．
故选：A．
【点睛】本题考查列一元二次方程解决问题，关键是把握平移的性质，构造完整的矩形，方便列出方程．
10. 抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A. （0，1）B. （1，0）C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线与轴的交点，可以理解成抛物线与这条直线的交点.
【详解】解：由与轴的交点可得，当时代入，解得，所以坐标是.
本题的答案是：A
【点睛】考查抛物线与直线交点问题.
11. 点关于原点对称的点Q的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都变成相反数的特征解题即可．
【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查关于原点对称的点的特征，熟记知识点是解题关键．
12. 如图，已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③；④（的实数）．其中正确结论的有（ ）
A. 3个B. 4个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x==1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴（a-b+c）（a+b+c）＜0
∴
∴所以②正确；
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x=时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13. 方程的一次项系数是______．
【答案】-8
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式解答．
【详解】解：方程的一次项是，其系数是．
故答案是：．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．
14. 一元二次方程(x- 4）(x +9) = 0的较小的根为_______
【答案】x=-9
【解析】
【分析】用因式分解法求出该方程的解即可．
【详解】∵(x- 4）(x +9) = 0，
∴x=4或x=-9，
故答案为：-9．
【点睛】本题主要考查了用因式分解法解二元一次方程，熟练掌握用因式分解法解二元一次方程的方法是解题的关键．
15. 抛物线的对称轴是 _____．
【答案】直线
【解析】
【分析】把抛物线解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴对称轴是直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，能运用配方法把抛物线的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴是解题的关键．
16. 若二次函数的图象经过原点，则m＝__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出m的值，还需要考虑二次项系数不能为零．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式，
得，整理得，解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．
17. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，若点B在上，则_____．
【答案】##80
【解析】
【分析】由旋转的性质得，，，即可得．
【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，，，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键掌握旋转的性质．
18. 已知实数， 满足等式，，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，19-24每题8分，25题10分，共58分）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法解题即可．
（2）利用整体思想和因式分解解题即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
【点睛】本题主要考查二次方程的解法，能够熟练选取适当方法是解题关键．
20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．画出关于原点O成中心对称的．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据中心对称的性质，再根据网格结构找出点关于原点对称的点，然后顺次连接即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【点睛】此题考查了作图-旋转变换，作中心对称图形，掌握中心对称的性质是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）．
（1）若是该方程的一个实数根，求m的值和该方程的另一个实数根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【答案】（1），该方程的另一个实数根为
（2）
【解析】
【分析】（1）把代入方程，求出的值，利用两根之和等于，求出另一根即可；
（2）利用，解不等式即可．
【小问1详解】
解：∵是该方程的一个实数根，
∴，
解得：，
∴原方程为：，
令方程的另一实数根为y，则有：
，
解得：；
∴，该方程的另一个实数根为；
【小问2详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，以及根据根的情况求参数的取值范围．熟练掌握两根之和等于，两根之积等于，以及根据判别式确定根的个数是解题的关键．
22. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为．
（1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长；
（2）如图②，连接BD，若，求证：．
【答案】（1）10；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据，，则，由旋转的性质得，然后在中利用勾股定理求解即可；
（2）由（1）知，，由旋转的性质得，则是等边三角形，得到，则，．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得，，
∵，
∴．
∵是旋转得到的，
∴在中，根据勾股定理得．
（2）由（1）知，，由旋转的性质得，
∴是等边三角形．
∴．
又，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．
23. 某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元．
设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）．
（1）根据题意填写表：
（2）若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？
【答案】（1）；
（2）该商品每件应涨价2元或8元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出代数式即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：依题意得：该商品每件涨价x元时，每件利润为元，每周销量为件，每周利润为元．
故答案为：；．
【小问2详解】
依题意得：＝6160，
整理得：，
解得：．
答：该商品每件应涨价2元或8元．
【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出代数式以及方程是解题的关键．
24. 如图，直线和抛物线都经过点．
（1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标；
（2）直接回答，当x为何值时，不等式．
【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点
（2）当或时，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式并配方成顶点式即可．
（2）利用图像求二次函数图像高于一次函数图像的部分．
【小问1详解】
∵直线经过点．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点；
【小问2详解】
由函数图像可知，当或时，抛物线在直线上方，
∴当或时，．
【点睛】本题主要考查二次函数求解析式及顶点式，图解法求一元二次不等式，能够熟练求二次函数解析式并化成顶点式，以及能够通过图像高低判断不等式解集是解题关键．
25. 如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上存在一点D，使△ACD面积为8，请求出点D的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）D（5，8）或（﹣1，8）
（3）存在，（2，1）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出点C（0，3），可得AC=2，根据三角形的面积可得到n＝±8，再代入抛物线解析式，即可求解；
（3）根据抛物线的对称性可得当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，求出直线BC的解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得∶，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：令y=0，则，
解得：，
∴点C（0，3），
∴AC=2，
设D（m，n），
∵△ACD的面积为8，
∴×2×|n|＝8，
∴n＝±8，
当n＝8时，，解得x＝5或﹣1，
∴D（5，8）或（﹣1，8），
当n＝﹣8时，，方程无解，
综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）；
【小问3详解】
解：连接BC与直线x＝2交于点P，
∵点A与点C关于x＝2对称，
∴AP=CP，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=PC+PB+AB≤BC+AB，
∴当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，为BC+AB，
当x=0时，y=3，
∴y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为B（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b′，
把点B（0，3），C（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x=2时，y=1
∴直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
售价（元/件）
每件利润（元）
每周销量（件）
每周利润（元）
现在
60
20
300
20×300＝6000
涨价后
60+x
20+x