2022-2023学年江苏省张家港市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省张家港市九年级上学期数学期末试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 一元二次方程的根为（ ）
A. 或B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
∴或，
解得：或，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
3. 在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为（ ）
A. 7B. 14C. 10D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴该样本容量为，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差公式，样本的容量，理解方差公式是解题的关键．
4. 在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用锐角三角函数定义得出答案．
【详解】如图，
∵在中，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，正确掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
5. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6. 如图，是的切线，切点为，连接与交于点，点为上一点，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质以及已知条件得出，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键．
7. 如图，正五边形的半径为，则这个正五边形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，根据正五边形的性质得出，解，即可求解．
【详解】如图所示，设正五边形的中心为点O，过点作．
∵，正五边形的半径为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，掌握正多边形的性质是解题的关键．
8. 如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意当时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象．
【详解】解：依题意，时，，
，图象为直线的一部分，
∵，点运动时间为秒
当时，点在上，如图所示，
∴，，，，
∴
函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象、二次函数图象的性质，根据题意求得解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上）
9 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值即可得到正确的结果．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
10. 已知一组数据：1，3，3，4，6，则这组数据的众数是________．
【答案】3
【解析】
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做众数，根据众数定义进行求解即可．
【详解】解：∵1，3，3，4，6中，3出现次数最多，出现2次，
∴这组数据的众数是3，
故答案为3．
【点睛】此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键．
11. 若关于的一元二次方程有一根为，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
12. 有一个圆锥形零件，底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为_______．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面周长是：，
则圆锥的侧面积是：（）．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
13. 如图，矩形是一飞镖游戏板，分米，分米．其中间有两块相同的小矩形，它们之间距离及和矩形ABCD各边距离均为分米．现随机向矩形内投掷飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是__________．
【答案】##+
【解析】
【分析】用阴影部分的面积除以矩形的面积得到概率．
【详解】解：矩形的面积为，小矩形的面积为，
∴任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何概率，分别求得矩形的面积是解题的关键．
14. 如图，抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点，点，则的长度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称轴求得的值，解方程，即可求解．
【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为：，
令，即，
解得：，
∴,
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，求得抛物线的解析式是解题的关键．
15. 如图，在中，是的中点，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作交的延长线于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，根据相似三角形的性质得出，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
又∵是的中点
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16. 如图，在矩形ABCD中，，动点P在矩形ABCD内且，连接，则长度的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】以为底边向下作等腰三角形，使得，以点O为圆心，以为半径作圆，则点P在劣弧上，连接交劣弧于点，连接，分析得到当点P与点重合时，最小，再求解即可．
【详解】解：以为底边向下作等腰三角形，使得，以点O为圆心，以为半径作圆，则点P在劣弧上，连接交劣弧于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点重合时，最小，
过点分别作交的延长线于点E，则，
∵，
∴，
，
∵,
∴在中，，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题考查了垂径定理、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆的基础知识等，添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：，
∴，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18. 已知是一元二次方程的两根求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系可得到，再利用a是一元二次方程的解可得到．
【详解】解：∵已知是一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的解，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
19. 已知二次函数的图像与x轴的交点为﹒
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若该二次函数图像的顶点为D，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交点式直接写出二次函数的解析式即可求解；
（2）根据配方法得出顶点式，进而得出顶点坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图像与x轴的交点为，
∴二次函数解析式为，
【小问2详解】
解：如图所示，
∵，该二次函数图像的顶点为D，
∴,
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了求抛物线解析式，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 某社区为了解居民对“消防安全知识”的了解情况，用抽样调查方式从河东、河西两个小区各随机抽取11位居民进行问卷测试，并以同一标准把测试结果转换成百分制成绩后进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．河东小区11名居民测试成绩：
92 90 87 85 78 76 76 75 75 73 69
b．河东、河西两小区11位居民测试成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为_______；
（2）若把两小区11位居民测试成绩按各自小区从高分到低分进行排列．在这次测试中，河东小区甲居民与河西小区乙居民的测试成绩都是78分，请判断这两位居民在各自小区居民排名谁更靠前，并说明理由；
（3）若河东小区位居民全部参加此次“消防安全知识”测试，请估计该小区成绩超过平均分的人数．
【答案】（1）76 （2）河东小区甲居民的测试成绩在小区的排名更靠前，理由见解析；
（3）估计该小区成绩超过平均分的有人．
【解析】
【分析】（1）把河东小区11名居民测试成绩按照从小到大排列，处在中间位置的那个数据即是m的值；
（2）将各自成绩与该小区的中位数比较可得答案；
（3）用河东小区总人数乘以样本中成绩超过平均数分的人数所占比例可得．
【小问1详解】
解：河东小区11名居民测试成绩按照从小到大排列如下：69，73， 75，75，76，76，78， 85，87，90，92，处在中间的是76，故中位数是76，即m的值是76，
故答案为：76
【小问2详解】
河东小区甲居民的测试成绩在小区的排名更靠前，
∵河东小区甲居民的测试成绩78分大于中位数76分，其名次在该小区抽查的居民数的6名之前，
河西小区乙居民测试成绩小于中位数79.5分，其名次在该小区抽查的居民数的6名之后，
∴河东小区甲居民在该小区的排名更靠前．
【小问3详解】
估计该小区成绩超过平均分的人数为（人）．
【点睛】本题主要考查中位数及样本估计总体，解题的关键是根据已知条件得出解题所需数据及中位数，并熟练掌握中位数的意义和样本估计总体思想的运用．
21. 一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为_______；
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共有3种等可能情况即可求解；
（2）画树状图，找出所有等可能情况，再找出符合要求的情况数，利用概率公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为1,2，3，
∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为．
故答案为：
【小问2详解】
画树状图如下：
组成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6种情况，是奇数有13、21、23、31共4种情况，故这个两位数恰好是奇数的概率为．
【点睛】此题考查了概率，熟练掌握概率公式和画树状图或列表法是解题的关键．
22. 已知中，．
（1）如图1，若，则________（结果保留根号）
（2）如图2，若，求AC的长．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解，即可求解；
（2）过点作于点，解，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，．
∴，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵中，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键．
23. 如图，的直径，弦，连接，以为圆心，长为半径画弧与交于点，连接，，与交于点．
（1）请直接写出图中与相等的所有角_______；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据作图得出，进而根据等弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）连接，则，，根据勾股定理得出，由，求得，进而得出，然后根据三角形中位线的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵以为圆心，长为半径画弧与交于点
∴
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，交于点，
则，，
∴，
∵直径，弦，
∴，
∴，
∴，
即，又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，求正弦值，垂径定理，中位线定理的应用， 运用以上知识是解题的关键．
24. 在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，解，根据等面积法即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
即点到的距离为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
25. 某服装店以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为：．
（1）若服装店一天销售这种服装的毛利润为元，求这种服装每件销售价是多少元?（毛利润=销售价-进货价）
（2）每件服装销售价多少元才能使每天的毛利润最大?最大毛利润是多少?
（3）销售一段时间以后，服装店决定从每天的毛利润中捐出元给慈善机构，若物价部门规定该产品捐款后每天剩余毛利润不能超过元，为了保证捐款后每天剩余毛利润不低于元，请直接写出这种服装每件销售价的范围_______；
【答案】（1）这种服装每件销售价是元或元
（2）每件服装销售价元才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是
（3）或
【解析】
【分析】（1）依题意，列出方程，解方程即可求解；
（2）依题意得，根据二次函数的性质即可求解；
（3）设捐款后的剩余毛利润为，依题意，分别解方程，进而根据二次函数的性质求得不等式的解集即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，，
解得：或；
答：这种服装每件销售价是元或元；
【小问2详解】
设毛利润为，依题意，
，
∵，抛物线开口向下，
有最大值，当时，，
∴每件服装销售价元才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是；
【小问3详解】
设捐款后的剩余毛利润为，则，
依题意，
即
即，②
解方程①，
解得：，
∵抛物线开向下，，
∴，
②
解得：，
∵抛物线开向下，，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键．
26. 如图1，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）如图，若点与点在直径的两侧，、的延长线交于点，的延长线交于点．
①问（1）中的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
②若，求．
【答案】（1）见解析 （2）①成立，见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据是的直径，得出，根据，得出，由，得出,等量代换即可得证；
（2）①同（1）的方法证明即可求解；
②设，则，勾股定理求得，根据，求得，证明，在中，,求得，进而即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴；
∴；
【小问2详解】
①如图所示，
∵是的直径，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴；
②如图所示，
∵,，
设，则，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，
解得，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设,则
在中，,
∴
解：，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，掌握圆的相关性质是解题的关键．
27. 已知如图，抛物线（是常数，且）的图象与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，．
（1）填空：___________°；
（2）设，请写出关于的函数表达式，并求出的最大值；
（3）将沿点到点的方向平移，使得点与点重合．设点的对应点为点，问点能否落在二次函的图像上？若能，请求出此时的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）45 （2）；的最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点B，C的坐标，得出，根据，求出结果即可；
（2）先求出顶点D的坐标，然后求出直线的解析式，求出点E的坐标，根据，得出，并求出h的最大值即可；
（3）根据平移求出点的坐标，把点代入抛物线，得出关于m的方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入得：
，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
∵点A在点的左侧，
∴点的坐标为，点B的坐标为，
∴，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：45．
【小问2详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
把代入得：
，
∴点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴点，
∴，
∵，
∴，
，
∴当时，h有最大值，且最大值为．
【小问3详解】
解：∵，，，
∴根据平移可知，点横坐标为：，
点的纵坐标为：，
即点，
当在抛物线上时，则，
解得：或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数与x轴、y轴的交点及顶点坐标．
小区
平均数
中位数
河东
79.6
m
河西
79.6
79.5