2024年重庆市普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊）（含解析）

这是一份2024年重庆市普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x|2x2−11x+120时，f(x)>2，若存在x∈[1,2]，使得f(ax2−4x)+f(2x)=1，则a的取值范围是( )
A. 0,12B. 12,58C. 58,23D. 12,23
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，其图象关于点π6,0对称的是
A. y=sin2x+π3B. y=sin2x−π3
C. y=cs2x+π6D. y=tan2x+π6
10.已知椭圆E1：x2+4y2=a2(a>0)和E2：y2+4x2=4a2(a>0)，则
A. E1与E2的长轴长相等B. E1的长轴长与E2的短轴长相等
C. E1与E2的离心率相等D. E1与E2有4个公共点
11.已知三棱柱ABC−A1B1C1，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，记三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，则
( )
A. 棱锥A1−DEF的体积为124VB. 棱锥A1−ADEF的体积为16V
C. 多面体A1B1ABEF的体积为512VD. 多面体A1B1C1DEF的体积为23V
12.若不相等的两个正数a，b满足a2+b2+ab=a+b，则( )
A. a+b>1B. a+b13D. ab0)的左、右焦点，过F2作一直线交C于M，N两点，若∠MF2F1=120°，且△MNF1的周长为1，则C的焦距为________．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，且a5=1，a8+a10=−2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]=[1]=1，[−1.5]=[−2]=−2.若bn=2an，Tn是数列{bn}的前n项和，求[T11].
18.(本小题12分)
2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八(即腊月初八)这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
(1)在100名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
②随机变量X，Y的期望满足：E(X+Y)=E(X)+E(Y)
19.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S=a2sinBsinCcsA．
(1)求tanA；
(2)若csBcsC=− 55，a=1，求b2+c2．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB= 2，BC=2，∠BAD=45°，PA=PD．
(1)证明：PB⊥BC；
(2)若PA=3，PC= 13，求二面角A−PB−C的余弦值．
21.(本小题12分)
已知A(2,2)，B，C是抛物线E：x2=2py上的三点，且直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线BC的斜率；
(2)若直线AB，AC均与圆M：x2+(y−2)2=r2(02；
(2)若函数f(x)存在两个零点，记较小的零点为x1，s是关于x的方程ln(1+x)−csx=ax1−2的根，证明：s>x1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集的运算，属于基础题．
可求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：B={x|2x2−11x+12x2，fx1−x2>2，
有fx1−fx2=fx1+x2−x2−fx2=fx1−x2+fx2−2−fx2=fx1−x2−2>0，所以f(x)是增函数，
f(ax2−4x)+f(2x)=f[(ax2−4x)+2x]+2=f(ax2−2x)+2=1，
所以f(ax2−2x)=−1．
令x=y=0，得f(0)=2；
令x=1，y=−1，得f(−1)=0；令x=−1，y=−1，得f(−2)=−2；令x=−2，y=−1，得f(−3)=−4；
令x=y=−32，得f−32=−1，
所以ax2−2x=−32．
原命题等价于2a=4x−3x2在[1,2]上有解．
令t=1x，则2a=−3t2+4t在t∈12,1时有解，
从而2a∈1,43，则a∈12,23．
故选D．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象的对称性，属于基础题．
把x=π6代入各个选项，检验可得结论．
【解答】解：∵当x=π6时，y=sin(2x+π3)= 32，故排除A；
当x=π6时，y=sin(2x−π3)=0，故它的图象关于点(π6,0)对称；
当x=π6时，y=cs(2x+π6)=0，故它的图象关于点(π6,0)对称；
当x=π6时，y=tan(2x+π6)=tanπ2，无意义，故它的图象关于点(π6,0)对称，
故选：BCD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率、轴长以及曲线相交问题，属于中档题．
根据椭圆的性质求出椭圆的短轴长、长轴长以及离心率，然后再联立E1与E2的方程判断公共点个数即可．
【解答】
解：已知椭圆方程化为标准方程
则E1:x2a2+y2(a2)2=1(a>0)，E2:x2a2+y2(2a)2=1(a>0)，
化简后E1和E2长轴长并不相等，E1长轴长为2a，短轴长为a，E2长轴长为4a，短轴长为2a，故A错误，B正确，
E1中c= 32a，所以离心率为 32，同理，E2的离心率为 32，故C正确，
联立方程，x2+4y2=a2y2+4x2=4a2⇒y=0x=a或y=0x=−a，故E1与E2有2个公共点，D错误．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查棱锥、棱柱与棱台的体积计算，属于中档题．
设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，对于A，根据S△DEF=14S△ABC即可判断；对于B：根据S▱ADEF=12S△ABC即可判断；对于C，根据VA1B1ABEF=VABC−A1B1C1−VFCE−A1B1C1即可判断；对于D，根据VA1B1C1DEF=VABC−A1B1C1−VA1−ADF−VB1−BDE−VC1−CEF即可判断．
【解答】
解：设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，
对于A，因为D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，
所以S△DEF=14S△ABC，
所以VA1−DEF=13AA1·S△DEF
=13ℎ·14S△ABC=112V，故A错误；
对于B，S▱ADEF=12S△ABC，
所以VA1−ADEF=13ℎ·S▱ADEF
=13ℎ·12S△ABC=16V，故B正确；
对于C，VA1B1ABEF=VABC−A1B1C1−VFCE−A1B1C1
=V−13ℎ·S△FCE+S△A1B1C1+ S△FCE·S△A1B1C1
=V−13ℎ·14S△ABC+S△ABC+12S△ABC
=V−712ℎ·S△ABC=V−712V=512V，
故C正确；
对于D，VA1B1C1DEF=VABC−A1B1C1−VA1−ADF−VB1−BDE−VC1−CEF
=V−3VA1−ADF=V−3×13×14S△ABC·ℎ
=V−14V=34V，
故D错误．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查不等式的关系以及等式和不等式的化简求解，属于较难题。
先根据已知的等式利用完全平方公式化简得到(a+b)2−(a+b)=ab，然后利用a和b均为正数得到不等式，然后再带入选项依此证明选项即可。
【解答】
由a2+b2+ab=a+b，得(a+b)2−(a+b)=ab
因为a，b是正数，所以ab>0，从而(a+b)2−(a+b)>0解得a+b>1
因为a≠b，所以abx+1，x>sinx.
故m′(x)>1−11+x=x1+x>0，即m(x)在(0,+∞)单调递增，所以m(x)>0，
所以ex>ln(1+x)−csx+2，从而es>ln(1+s)−css+2=ex1，即s>x1．
【解析】本题考查了函数的单调性问题，极值点，考查函数的零点，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
(1)求出函数的导数f′(x)=ex−1x，判断函数的单调性当x∈(0,x0)时，f′(x)0，即可得出极值点，判断f(x0)−2与0的大小即可求解；
(2)令f(x)=0，得ex+x=ax+lnax，设g(x)=ex+x，g(x)在定义域上单调递增，得x=lnax，判断得x1>0.s>0.设m(x)=ex−ln(1+x)+csx−2，m(x)在(0,+∞)单调递增，得ex>ln(1+x)−csx+2，从而es>ex1，即s>x1．年龄
了解程度
不了解
了解
30岁以下
16
24
50岁以上
16
44
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828