11平面解析几何（直线与方程、圆与方程）-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人

这是一份11平面解析几何（直线与方程、圆与方程）-天津市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（人，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2023上·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2022上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·天津·高三天津市武清区杨村第一中学校联考期末）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020上·天津·高三校联考期末）过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
5．（2020上·天津·高三校联考期末）直线与圆相交于、，则弦的长度为（ ）
A．B．C．2D．4
6．（2024上·天津和平·高三统考期末）已知双曲线的右焦点为点，过点作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为点（点在第一象限），直线与双曲线交于点，若点为线段的中点，且，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·天津静海·高三静海一中校考期末）已知直线与直线相互垂直，则实数的值是（ ）
A．或1B．1C．D．或6
8．（2022上·天津和平·高三统考期末）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021上·天津滨海新·高三校联考期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．（2020上·天津滨海新·高三校联考期末）已知直线：，：，其中，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2019上·天津静海·高三静海一中校联考期末）设a∈R，直线l1：ax+2y+6＝0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
12．（2024上·天津和平·高三统考期末）直线与圆相交于两点，若点为圆上一点，且为等边三角形，则的值为 ．
13．（2024上·天津河北·高三统考期末）将直线向右平移一个单位后，被圆截得的弦长为，则 .
14．（2023上·天津河西·高三校考期末）若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为 .
15．（2022上·天津和平·高三统考期末）在中，，，，点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），
（ⅰ）若，则 ；
（ⅱ）线段的长度为 .
16．（2024上·天津河西·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，以点为圆心的圆与直线相切于点，则 .
17．（2024上·天津河东·高三统考期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为 .
18．（2023上·天津·高三统考期末）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
19．（2023上·天津南开·高三南开大学附属中学校考期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则 ；若P为圆M上的动点，则的取值范围为 ．
三、解答题
20．（2022上·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）已知椭圆：的离心率为，其右焦点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，椭圆右顶点为，求证：直线，的斜率乘积为定值，并求出该定值．
21．（2020上·天津河北·高三统考期末）已知椭圆C：（）的两个顶点分别为点，，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作的垂线交于点E.证明：与的面积之比为定值.
22．（2022上·天津南开·高三天津大学附属中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；
②若△OPQ的面积为求直线l的方程.
23．（2022上·天津红桥·高三统考期末）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，与以为直径的圆交于，两点，且满足，求直线的方程.
参考答案：
1．A
【分析】利用直线被圆截得的弦长公式以及点与圆的位置关系求解.
【详解】由题可得，圆的半径，
圆心到直线的距离为，
直线被圆截得的弦长为，
解得或（舍去），
则点的坐标为，该点到圆心的距离为，
所以点到圆上点的距离最大值为，
故选:A.
2．C
【分析】根据条件转化为关于的方程组，即可求解.
【详解】圆，整理为，圆心，半径，双曲线的渐近线方程，
由题意可知，，解得：，
所以双曲线的方程为.
故选：C
3．B
【分析】作出函数的图象，则函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，考查直线与圆相切，且切点位于第四象限时以及直线过点时，对应的值，数形结合可得出实数的取值范围．
【详解】解：当时，，则，等式两边平方得，
整理得，
所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示，
由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，
直线过定点，
当直线过点时，则，可得；
当直线与圆相切，且切点位于第四象限时，，
此时，解得．
由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点．
因此，实数取值范围是．
故选：B．
4．C
【解析】将圆的方程配成标准式，可判断点在圆上，根据过圆上一点的切线方程为整理可得.
【详解】解：
即在圆上
则过点的切线方程为
整理得
故选：
【点睛】本题考查求过圆上一点的切线方程，属于基础题.
5．B
【分析】先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式，即可求得答案.
【详解】圆心到直线的距离，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.
6．A
【分析】先求出焦点到渐近线的距离，再联立直线直线与渐近线得点坐标，得中点的坐标，代入双曲线方程计算化简即可.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由对称性，不妨取其中一条渐近线，即，点，
则，则.
且，
由，解得，所以，
由点为线段的中点，则，
由点在双曲线上，则，化简得，
又，得，则双曲线方程为.
故选：A.
7．D
【分析】根据给定条件，利用两直线互相垂直的条件列式，再求解作答.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
则有，即，解得或，
所以实数的值是或6.
故选：D
8．C
【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决.
【详解】由题知，抛物线开口向右，，
所以焦点为，
因为焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，
因为点到双曲线的渐近线的距离为4，即，
所以，
所以双曲线的方程为，
故选：C
9．D
【解析】先求出抛物线的方程，从而得到的值，根据离心率得到渐近线方程，由渐近线与直线垂直得到的值，从而可得双曲线的方程.
【详解】因为到其焦点的距离为5，故，故，
故抛物线的方程为，故.
因为离心率为，故，故，
根据抛物线和双曲线的对称性，不妨设在第一象限，则，
则与渐近线垂直，故，故，故，
故双曲线方程为：.
故选：D.
【点睛】方法点睛：（1）上一点到其焦点的距离为，解题中注意利用这个结论.
（2）如果直线与直线垂直，那么.
10．A
【解析】由时，得到，解得或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.
【详解】由题意，直线：，：，
当时，可得，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．C
【分析】根据直线平行的等价条件求出a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】当a＝0时，两直线方程为2y+6＝0，x﹣y﹣1＝0，此时两直线不平行，
当a≠0时，若l1∥l2，则，
由得a2﹣a﹣2＝0，得a＝﹣1或a＝2，
当a＝﹣1时，成立，
当a＝2时，，舍去，故a＝﹣1，
则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充要条件，
故选C．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出a的值是解决本题的关键．
12．
【分析】由圆的几何性质及点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题意知，,
所以,
则圆心到直线的距离为：
，
则，
故答案为：.
13．3或
【分析】求出平移后直线的方程，再根据平移后的直线被圆截得的弦长，列式计算，即可得答案.
【详解】由题意将直线向右平移一个单位后，得到的直线的方程为，
圆的圆心到该直线的距离为，
由于直线被圆截得的弦长为，
故，解得或，
故答案为：3或
14．或
【分析】根据题意结合垂径定理求得，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
若弦长，则，可得，
当直线的斜率不存在时，即直线为，故圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设为，则直线为，即，
故圆心到直线的距离为，解得
此时直线为；
综上所述：直线为或.
故答案为：或.
15．
【分析】建立如图平面直角坐标系，根据题意得，由得解得，此时，的直线方程为，的直线方程为，联立得，，即可解决.
【详解】
如图，以为坐标原点建系如图，则,
所以
由得,
整理得，
由得解得或，
当时，，此时重合，由可得，此时，
因为点不与端点重合，
所以不满足题意，舍去，
当时，，的直线方程为，
的直线方程为，
联立解得，所以，
所以，
若，则解得，
此时，
故答案为: ; .
16．
【分析】由题意可得直线与直线垂直，进而可得出答案.
【详解】，
因为以点为圆心的圆与直线相切于点，
所以直线与直线垂直，
则，解得.
故答案为：.
17．
【分析】由题意得A，B两点的坐标，进一步得以线段AB为直径的圆的方程，令，即可求解.
【详解】由题意过点且垂直于x轴的直线l的方程为，将其与抛物线方程联立，得，
解得，不妨设，
则以线段AB为直径的圆即以点为圆心半径为的圆，它的方程为，
设以线段AB为直径的圆和y轴的交点为，
在中令，得，
所以以线段AB为直径的圆被y轴所截得的弦长为.
故答案为：.
18．
【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆相切，建立方程，可得答案.
【详解】由双曲线方程，则其渐近线方程，
由圆方程，整理可得，其圆心为，半径，
由两个渐近线关于对称，则不妨只探究渐近线，整理可得，
由题意，可得，解得.
故答案为：.
19． 0
【分析】根据给定条件，利用垂直的向量求解即可；再建立平面直角坐标系，利利用向量的坐标表示列出函数式，并求出函数值域作答.
【详解】在等腰直角中，，由得，点E是弦的中点，
在圆M中，，因此；
依题意，以圆M的圆心M为原点，直线CB为x轴，点A在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图，
则有，圆M的方程为，因为P为圆M上的动点，
设，，
于是得，
而，因此当时，，当时，，
所以的取值范围为.
故答案为：0；
20．(1)
(2)证明见解析，定值
【分析】（1）直接利用右焦点到直线的距离求出，再利用离心率即可求解；
（2）直接联立求出，坐标，表示出斜率相乘即可.
【详解】（1）由题意，右焦点，，，，，，
椭圆的标准方程；
（2）由（1）可得椭圆右顶点，由题意，直线和直线的斜率存在且不为，
直线与椭圆联立，可得，
不妨设，，，
，，
直线和直线的斜率的积为，
直线和直线的斜率乘积为定值．
21．（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆方程，由根据椭圆的离心率公式可求得c，从而求出b，即可写出椭圆方程；（2）根据直线的位置关系分别求出直线DE与直线BN的斜率及方程，联立可求得点E的坐标，根据三角形的面积公式即可求得两三角形面积之比.
【详解】（1）焦点在x轴上，两个顶点分别为点，，，
，，
椭圆C的方程为；
（2）设，，可得，
直线AM的方程为：，
，，直线DE的方程：，
直线BN的方程：，
直线DE与直线BN的方程联立可得 ，
整理为：，即，
，计算可得，
代入直线DE的方程可得，则，
又，所以与的面积之比为定值.
22．（1）； （2）①证明见解析，②或.
【解析】（1）由题意，列出方程组，求得的值，进而得到方程；
（2）①直线的方程为，联立方程，根据韦达定理，计算出，可得，即以为直径的圆过原点；
②根据弦长公式，三角形的面积公式，列出方程，求得的值，即可求得直线分方程.
【详解】（1）由题意椭圆C长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上，
可得，解得，，所以椭圆的方程为.
（2）①因为切点在第一象限，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，即，且，，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，得，
设，，，，则有，，
所以
，
所以，
所以，即，即以为直径的圆过原点.
②由①可得，，，
所以，
点到直线的距离为，
可得，解得，或，
当时，，当时，，
所以，，或，，
则直线方程为或.
【点睛】对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线的方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行转化求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
23．（1）（2）或.
【详解】试题分析：（1）由题意可得，解出，的值，即可求出椭圆的方程；
（2）由题意可得以为直径的圆的方程为，利用点到直线的距离公式得：圆心到直线的距离，可得的取值范围，利用弦长公式可得，设，把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长，由，即可解得的值.
试题解析：（1）由题意可得
解得
椭圆的方程为
由题意可得以为直径的圆的方程为
圆心到直线的距离为
由，即，可得
设
联立
整理得
可得：，
解方程得，且满足
直线的方程为或
考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题.