人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题26.14 反比例函数与几何综合专题（基础篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题26.14 反比例函数与几何综合专题（基础篇）（专项练习），共28页。试卷主要包含了如图，点A在反比例函数y＝﹣，如图，反比例函数等内容，欢迎下载使用。
单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y=B．y=C．y=D．y=
2．如图，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点A作AC⊥x轴垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当AC＝1时，△ABC的周长为（ ）
A．1B．C．D．
3．如图，点A是双曲线y=是在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，反比例函数（）的图象经过点和点，过点作轴与，若的面积为2，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，菱形AOBC的边BO在x轴正半轴上，点A(2，)，反比例函数图象经过点C，则k的值为( )
A．12B．C．D．
6．在中，将放在如图所示的平面直角坐标系中，的边轴． ，点在轴上，点在反比例函数的图像上，将先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，此时点在反比例函数的图像上． 与此图像交于点，则点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A在双曲线y＝上，过A作AC⊥x，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，且AC＝1.5，则△ABC的周长为（ ）
A．6.5B．5.5C．5D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数的图像上，若，，则k的值为（ ）．
A．12B．8C．6D．3
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连结，当轴时，的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若△PMN的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图反比例函数图像过A(2，2)，AB⊥x轴于B，则△OAB的面积为 _______
12．如图，点A、B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，且A、B两点的纵坐标分别为2和1，C在x轴上，AC＝BC，∠ACB＝90°，则k＝_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABO边AB平行于y轴，反比例函数 的图像经过OA中点C和点B，且△OAB的面积为9，则k=________
14．我市某校想种植一块面积为400平方米的长方形草坪，要求两邻边均不小于10米，草坪的一边长（米）与另一边长（米）之间的关系如图中曲线所示，其中轴，轴，垂足分别为，，连接，则四边形的面积为______平方米．
15．在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数（x＞0）的图像经过A和B 两点其中A（2，m），且点B的纵坐标为n，则n＝______．
16．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k的值为____．
17．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在反比例函数y=(x>0)图象上，C在x轴上，AB//x轴，BC与双曲线交于点D，且BD=3CD=6，则k=_______．
18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，4），B两点，∠AOB＝45°，则点B的坐标为________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，某反比例函数的图象经过点．
求该反比例函数的解析式；
点和均在该反比例函数的图象上，点在轴上，请画出使的值最小的点位置，并求出此时点的坐标．
20．（8分）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接AM．已知PN=4．
求k的值；
求的面积．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB．
(1) 求k的值．
(2) 若CD＝2OD，求四边形OABC的面积．
22．（10分）如图，矩形的两边的长分别为3、8.边BC落在x轴上，E是DC的中点，连接AE，反比例函数的图象经过点E，与AB交于点F．
(1) 直接写出AE的长；
(2) 若，求反比例函数的解析式．
23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点．
(1) 求反比例函数的表达式．
(2) 在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量x的取值范围
(3) 求△AOB面积．
24．（12分）如图，已知平行四边形ABCD的顶点A、C在反比例函数的图象上，顶点B、D在轴上． 已知点、．
(1) 直接写出点C、D的坐标；
(2) 求反比例函数的解析式；
(3) 求平行四边形ABCD的对角线AC、BD的长；
(4) 求平行四边形ABCD的面积S．
参考答案
1．C
试题分析：利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．
解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴xy=10，
∴y与x的函数关系式为：y=．
故选C．
考点：根据实际问题列反比例函数关系式．
2．B
【分析】依据点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AC⊥x轴，AC＝1，可得OC＝，再根据CD垂直平分AO，可得OB＝AB，再根据△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OC+AC进行计算即可．
解：∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AC⊥x轴，
∴AC×OC＝，
∵AC＝1，
∴OC＝，
∵OA的垂直平分线交x轴于点B，
∴OB＝AB，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝OB+BC+AC＝OC+AC＝+1，
故选：B．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，比较容易掌握．
3．D
【分析】连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，），得出OD=AE=，CD=OE=a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a，），得出OD=AE=，CD=OE=a，
∴C点坐标为（-，a），
∵-•a=-6，
∴点C在反比例函数y=-图象上．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．
4．A
【分析】根据三角形面积公式得到•m•（2−n）＝2，即2m−mn＝4，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到mn＝2，则可计算出m＝3，n＝，从而可确定B点坐标．
解：∵△ABC的面积为2，
∴•m•（2−n）＝2，
即2m−mn＝4，
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A（1，2）和点B（m，n），
∴1×2＝mn，
∴2m−2＝4，解得m＝3，
∴n＝，
∴B（3，）．
故选A．
【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
5．C
【分析】根据题意可求出菱形的边长．再根据边BO在x轴正半轴上，即可判断轴，从而可求出C点坐标，代入反比例函数解析式求解即可．
解：∵点A(2，)，
∴，
∴菱形的边长为4，即．
∵边BO在x轴正半轴上，
∴轴，
∴，，
∴C(6，)．
将C(6，)代入，得：
解得：．
故选C．
【点拨】本题考查两点的距离公式，菱形的性质，坐标与图形以及求反比例函数解析式．利用数形结合的思想是解题关键．
6．A
【分析】首先由边AC∥x轴，AC＝1，点C在函数的图像上，求得点C的坐标，继而求得点A与点B的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得△A1B1C1各顶点的坐标，再由点A1在函数的图像上，B1C1与此图像交于点P，求得答案．
解：∵边AC∥x轴，AC＝1，
∴点C的横坐标为1，
∵点C在函数的图像上，
∴y＝2，
∴点C的坐标为：（1，2），
∴点A的坐标为：（0，2），点B的坐标为：（1，0），
∵将先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，，
∴A1的坐标为：（-3，﹣3），B1的坐标为：（-2，-5），C1的坐标为：（-2，﹣3），
∵点A1在函数的图像上，
∴k＝xy＝-3×（﹣3）＝9，
∴此反比例函数的解析式为：，
∵线段B1C1的解析式为：x＝-2，
∴点P的横坐标为：-2，
∴点P的纵坐标为：．
故选：A．
【点拨】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系．注意求得△A1B1C1各顶点的坐标是关键．
7．B
【分析】由于是的垂直平分线，那么，据图可知点的纵坐标是1.5，把代入反比例函数解析式，易求，进而可求的周长．
解：如图所示，
是的垂直平分线，
，
，
点的纵坐标是1.5，
把代入，得，解得，
，
的周长，
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，解题的关键是求出点的坐标．
8．C
【分析】由等腰三角形的性质可得C点坐标，结合AC长即可得到A点坐标，根点A在反比例函数的图像上，将点A的坐标代入反比例函数解析式中可得k值．
解：∵，
∴为等腰三角形，
又∵，
∴C为OB中点，
∵，
∴，
∵，
∴A点坐标为（2，3），
将A点坐标代入反比例函数得，，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质．利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．
9．C
【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得ACOB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE＝OE＝2，OC＝2CE＝4，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝，所以D点坐标为（−4，），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．
解：延长AC交y轴于E，如图，
∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，
∴ACOB，
∴AE⊥y轴，
∵∠BOC＝60°，
∴∠COE＝30°，
∴CO=2CE
而顶点C的坐标为，
∴OE＝，CE=-m，CO=-2m，
∵CO2=CE2+OE2，即（-2m）2 =（-m）2+（）2，
解得m=-2
∴OC＝2CE＝4，
∴C
∵四边形ABOC为菱形，
∴OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，
∴OD=2BD
在Rt△BDO中，DO2=BD2+OB2，即（2BD）2 = BD 2+42，
∴BD＝，
∴D点坐标为（−4，），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝−4×＝．
故选：C．
【点拨】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
10．B
【分析】由题意易得点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高，点M、N的横坐标相等，设点，则有，进而根据三角形面积公式可求解．
解：由平行于y轴的直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象交于M、N两点，可得：点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高，点M、N的横坐标相等，
设点，
∴，
∵△PMN的面积为2，
∴，
解得：；
故选B．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．
11．2
【分析】根据题意可得OB=2，AB=2，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．
解：∵反比例函数图像过A(2，2)，AB⊥x轴于B，
∴OB=2，AB=2
∴S△ABC=OB·AB=2
故答案为：2．
【点拨】此题考查的是坐标与图形的面积，掌握三角形的面积公式是解决此题的关键．
12．6
【分析】过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，易证△AGC≌CHB，根据全等三角形的性质，可得GC和CH的值，根据A、B的纵坐标，表示出横坐标，列方程求解即可．
解：过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，如图所示，
则有∠AGC=∠CHB=90°，
∴∠GAC+∠GCA=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACG+∠HCB=90°，
∴∠GAC=∠HCB，
∴△AGC≌CHB（AAS），
∴AG=CH=2，GC=BH=1，∴GH=3
∵A、B在反比例函数的图象上，
∴，B（k,1），
∴,
∴k=6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设计等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键．
13．6
【分析】延长AB交x轴于D，根据反比例函数（x＞0）的图象经过点B，设B，则OD＝m，根据△OAB的面积为9，列等式可表示AB的长，表示点A的坐标，根据线段中点坐标公式可得C的坐标，从而得出结论．
解：延长AB交x轴于D，如图所示：
∵轴，
∴AD⊥x轴，
∵反比例函数（x＞0）的图像经过OA中点C和点B，
∴设B，则OD＝m，
∵△OAB的面积为9，
∴，即AB•m＝9，
∴AB＝18m，
∴A（m，），
∵C是OA的中点，
∴C，
∴，
∴k＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．
14．750
【分析】由题意得y与x的函数关系式为，则当时，，当时，，即可得，，，即可得．
解：∵长方形草坪的面积为400平方米，
∴y与x的函数关系式为，
∴当时，，当时，，
∵轴，轴，
∴，，，
∴四边形ABCD的面积为：，
故答案为：750．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．
15．-2##-2+
【分析】过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，通过证△AOC≌△ABD可得：OC＝AD＝m，AC＝BD＝2，即可求得B点的纵坐标．
解：如图：过A作AC⊥y轴，垂足为C，作BD⊥AC，垂足为D，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAC+∠BAD＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAO，
∵∠D＝∠ACO＝90°，AO＝AB，
∴△ACO≌△DAB（AAS），
∴AD＝CO，BD＝AC，
∵A（2，m），
∴OC＝AD＝m，AC＝BD＝2．
∴点B坐标为
∴
∴解得 （舍去）
∴n＝m﹣2＝-2，
故答案为：-2．
【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD的长．
16．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则OC=CD，利用面积法结合AB=2OC，可得出AB=2OA，利用勾股定理可得出，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA，OB的长，结合可求出k值．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵BC平分∠ABO，
∴OC=CD，
∵，，
∴，
∴AB=2OB，
∴，
当x=0时，y=2k，当y=0时，，
∴，，
∴，解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征，利用面积法找出是解题的关键．
17．##
【分析】过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，求得CD=2，AB=BC=AC=8，利用直角三角形的性质求得CE=4，CF=1，设A(，4)，D(，)，利用OF-OE=CE+CF=5，列方程求解即可．
解：过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，
∵△ABC 是等边三角形，BD=3CD=6，∴CD=2，AB=BC=AC=8，
∵AB//x轴，∴∠ACE=∠BCF=30°，
∴CE=4，CF=1，
由勾股定理得AE=4，DF=，
设A(，4)，D(，)，
∴OE=，OF=，
∵OF-OE=CE+CF=5，
∴-=5，
解得：k=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过含30°角的直角三角形的三边关系表示点A和点B的坐标．
18．
【分析】将OA绕O点顺时针旋转90°到OC，连接AB、CB，作AM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，通过证得△AOB≌△COB（SAS），得到AB=CB，证得△AOM≌△CON（AAS），求得C（4，-2），设B点的坐标为（m，），根据AB=BC，得到关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得B的坐标．
解：将OA绕O点顺时针旋转90°到OC，连接AB、CB，作AM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，
∵点A的坐标为（2，4），
∴AM=2，OM=4，
∵∠AOB=45°，
∴∠BOC=45°，
在△AOB和△COB中， ，
∴△AOB≌△COB（SAS），
∴AB=CB，
∵∠AOM+∠AON=90°=∠CON+∠AON，
∴∠AOM=∠CON，
在△AOM和△CON中， ，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴CN=AM=2，ON=OM=4，
∴C（4，-2），
设B点的坐标为（m，），
∵AB=CB，
∴ ，
解得m=或-（负值不合题意，舍去）
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
19．（1）；（2）点坐标为
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出B,C的坐标，再根据对称性作点关于轴的对称点，连接交轴于点，求出直线的解析式即可得到P点坐标．
解：解: 设反比例函数解析式为
把代入，得，
反比例函数解析式为
把代入得，解得，
点坐标为；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则，
，
设直线的解析式为，
则，解得
直线的解析式为，
当时，，解得
点坐标为．
【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法的应用．
20．(1)-14(2)4
【分析】（1）由题意可得出，．再根据PN=4，可求出AN =7，即得出N的坐标，最后将N的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值；
（2）由题意可得出，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M的纵坐标，从而可求出PM的长，最后由三角形面积公式计算即可．
解：（1）由题意可知，．
∵PN=4，
∴AN=AP+PN=3+4=7，
∴，
∴N(7，-2)．
将N(7，-2)代入，得：
解得：．
（2）由题意可知．
由（1）可知反比例函数解析式为：，
将代入得：
∴，
∴．
【点拨】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．
21．(1)8(2)
【分析】（1）将点A的坐标（2，4）代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
（1）解：将点A的坐标（2，4）代入，
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数的解析式为，
∵CD＝2OD，OD＝2，
∴CD＝4，
∴OC＝6，
∴点B的横坐标为6，
将x＝6代入，得，
∴点B的坐标为（6，），
∴S四边形OABC＝S△AOD＋S梯形ABCD＝×2×4＋×(＋4)×4＝．
【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．
22．(1)5(2)
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）设E点的坐标为（x，4），F点的坐标是（x−3，1），代入求出x，再求出m，即可得出答案．
解：(1)∵矩形的两边的长分别为3、8，
∵点E为DC的中点，
∴CE=DE=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝；
(2)∵AF−AE＝2，
∴AF＝5＋2＝7，
∴BF＝8−7＝1，
设E点的坐标为（x，4），F点的坐标是（x−3，1），
代入得：m＝4x＝（x−3）•1，
解得：x＝−1，
即m＝−4，
所以当AF−AE＝2时反比例函数表达式是．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质等知识点，能求出E点的坐标是解此题的关键．
23．(1)．(2)1﹤x﹤3．(3)4．
【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得出反比例函数的表达式；
（2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围；
（3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用可求得的面积．
（1）解：（1）∵点A在一次函数图象上，
∴n=-1+4=3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为
（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3．
（3）如图，设一次函数与x轴交于点C，
在y=-x+4中，令y=0可求得x=4，
∴C（4，0），即OC=4，
将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）．
故△AOB的面积为4．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
24．(1)C(3，-2)；D（5，0）(2)(3)；(4)
【分析】（1）由题意，点A、C，点B、D关于原点对称，即可得出答案；
（2）直接将点代入反比例函数，即可求出解析式；
（3）直接根据B、D的坐标得到BD的长，过点A作AE⊥x轴于E，有勾股定理可求出OA的长，即可得出AC的长；
（4）由，即可求解．
（1）解：由题意点A、C，点B、D关于原点对称，且、，
∴C(3，-2)；D（5，0）．
（2）∵反比例函数图象经过点（-3，2），
∴
反比例函数的解析式为．
（3）；
过点A作AE⊥x轴于E，在Rt△AEO中，
，
∴．
（4）．
【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．