2022-2023学年北京大兴区初三上学期数学期末试卷及答案

这是一份2022-2023学年北京大兴区初三上学期数学期末试卷及答案，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 射击运动员射击一次，命中靶心B. 在标准大气压下，通常加热到时，水沸腾
C. 任意画一个三角形，其内角和等于D. 在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下
【答案】A
【解析】
【分析】在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下，必然不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念逐项分析判断即可．
【详解】A. 射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意；
B. 在标准大气压下，通常加热到时，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
C. 任意画一个三角形，其内角和等于，必然事件，不符合题意；
D. 在空旷的操场，向空中抛一枚硬币，硬币不会从空中落下，是不可能事件，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件和不可能事件的判断，理解并掌握相关概念是解题关键．
2. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，即可得出．
【详解】∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
3. 如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正五边形的性质得出即可求解．
【详解】解：∵点为正五边形的中心，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查正多边形的中心和中心角的定义，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；熟练掌握定义是解题关键.
4. 将二次函数化成的形式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用配方法将二次函数一般式化成顶点式即可．
【详解】解：
，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
5. 把一副普通扑克牌中的5张洗匀后，正面向下放在桌子上，其中有1张“黑桃”，2张“梅花”和2张“红桃”，从中随机抽取一张，恰好是“梅花”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵5张普通扑克牌中有1张“黑桃”，2张“梅花”和2张“红桃”，
∴从中随机抽取一张，恰好是“梅花”的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了估计概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键．
6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基础框架《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：“已知长方形门的高比宽多尺寸，门的对角线长丈，那么门的高和宽各是多少？”（1丈尺，1尺寸），若设门宽为尺，则根据题意，列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设门宽为尺，则根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：设门宽为尺，则高为尺，根据题意得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，根据题意列出方程是解题的关键．
7. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上点，的读数分别为，．则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设半圆圆心为，连，则，根据圆周角定理得，即可得到的大小．
【详解】解：如图，设半圆圆心为，连，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8. 下列关于二次函数有如下说法：①图象的开口向上；②图象最低点到轴的距离为；③图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式，得出，顶点坐标为，对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而减小，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵，，顶点坐标为，对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴①图象的开口向上；故①正确；
②图象最低点到轴的距离为，故②不正确；
③图象的对称轴为直线，故③正确，
④当时，随的增大而减小，故④不正确．
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线，请写出一个满足条件的二次函数的解析式_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，写出，且的一个二次函数解析式即可求解．
【详解】解：依题意，一个二次函数图象开口向上，对称轴为直线的二次函数解析式为，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，为的直径，弦于点，连接，若，，则弦的长度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据为圆的直径，弦可知，再根据，可求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而可求出答案．
【详解】解：∵为圆的直径，弦，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
11. 已知，两点都在抛物线上，那么___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．
12. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标，
∵二次函数与一次函数的图象相交于点，．
∴的解为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键．
13. 水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到85%以上，保证成苗率，现有，两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：
下面有两个推断：①当实验种子数量为500时，两种种子的发芽率均为0.96，所以，两种新水稻种子发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是0.97．其中合理的是___________．
【答案】②
【解析】
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计频率，这个固定的近似值就是这个事件的频率，据此解答可得．
【详解】①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为500，数量太少，不可用于估计频率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是0.97．故②推断合理．
故答案为：②．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键．
14. 如图，圆心角为的扇形的半径为1，点为的中点，则图中的阴影部分面积是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件可得可得，，则，再利用扇形面积公式即可求得答案．
【详解】解：由题意可知
，
则
π
故答案为：
【点睛】此题考查了扇形的面积公式，同时涉及全等三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题关键．
15. 如图所示，将一把刻度尺，含角的直角三角板和圆形卡片如图摆放，使三角板的一条直角边与刻度尺重合，圆形卡片与刻度尺和三角板分别都有唯一的公共点，测得圆形卡片与刻度尺的公共点到三角板顶点的距离，则圆形卡片的半径为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆形卡片的圆心为，过点作垂直直角三角板的斜边，垂足为，根据切线长定理得出，继而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，设圆形卡片的圆心为，过点作垂直直角三角板的斜边，垂足为，
依题意，与、相切，
∴，
∵与相切，
∴，
在中，，
即圆形卡片的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握切线长定理是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．
【详解】解：把代入得；
把代入得，
∴a的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：
【答案】x1＝4，x2＝2
【解析】
【分析】原方程运用因式分解法求解即可
【详解】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x1＝4，x2＝2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用方法是解答本题的关键
18. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值是解题的关键．
19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求方程的根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据m的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【小问1详解】
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵m为正整数，且，
∴．
当时，方程为，
∴
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式及解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
20. 已知：如图，中，．
求作：射线，使得平分．
作法：
①作的垂直平分线交于点；
②以为圆心，为半径画圆，与直线的一个交点为（点与点在的异侧）；
③作射线．
所以射线即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
直线为的垂直平分线，
．
，
．
点A，，都在上．
又点在上，于点，
，
__________，
（_______________________）（填推理的依据）．
射线平分．
【答案】（1）图见解析
（2）；等弧所对的圆周角相等
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用圆周角定理证明即可．
【小问1详解】
如图，射线即为所求．
【小问2详解】
证明：连接．
直线为的垂直平分线，
．
，
．
点A，，都在上．
又点在上，于点，
，
，
（等弧所对的圆周角相等），
射线平分，
故答案为：；等弧所对的圆周角相等．
【点睛】本题考查了作图—垂直平分线，圆周角定理，灵活运用所学知识证明是解决本题的关键．
21. 如图，是的直径，点A，在上，，交于点．若，求的度数．
【答案】的度数为
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
22. 已知二次函数图象的顶点坐标是，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）设该二次函数的解析式为（），根据图像经过点得，继而即可求解；
（2）列表、描点、连线即可得．
【小问1详解】
解：设该二次函数的解析式为（），
∵图像经过点，
∴，
即 ，
解得 ，
∴该二次函数的解析式为，
即．
【小问2详解】
解：
则该二次函数的图像如图所示．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
23. 不透明的袋子中装有四个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“大”、“兴”、“创”、“城”，每次摸球前先摇匀．
（1）随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为___________；
（2）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，请用列举法求两次摸到的球上的汉字，一个是“大”，一个是“兴”的概率．
【答案】（1）
（2）一个是“大”，一个是“兴”的概率为
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接得到解答；
（2）根据题意列出所有情况即可求解．
【小问1详解】
从袋子随机摸出一个小球，摸到“创”字的概率为，
故答案为：；
小问2详解】
从袋子随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，如下，
“大”和“大”、 “大”和“兴”、 “大”和“创”、 “大”和“城”；
“兴”和“大”、 “兴”和“兴”、 “兴”和“创”、 “兴”和“城”；
“创”和“大”、 “创”和“兴”、 “创”和“创”、 “创”和“城”；
“城”和“大”、 “城”和“兴”、 “城”和“创”、 “城”和“城”，
由上可得共有16种情况，而一个是“大”，一个是“兴”的情况有2种情况，
∴．
【点睛】本题考查了列举法求概率，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
24. 如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若的半径为4，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，根据，可得，即可得证；
（2）过点作于点，得出四边形是矩形，进而得出，根据（1）可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，点为的中点，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
如图，过点作于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
25. 抛物线形拱桥具有取材方便，造型美观的特点，被广泛应用到桥梁建筑中，如图是某公园抛物线形拱桥的截面图．以水面所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．点到点的距离（单位：），点到桥拱顶面的竖直距离（单位：）．，近似满足函数关系．通过取点，测量，得到与的几组对应值，如下表：
（1）桥拱顶面离水面的最大高度为___________；
（2）根据上述数据，求出满足的函数关系和水面宽度的长．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】（1）把，分别代入，待定系数法求解析式，然后化为顶点式即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：把，分别代入得
解得：
即抛物线的解析式为：
即
∴桥拱顶面离水面的最大高度为米，
故答案为：
【小问2详解】
由（1）得
令，即
解得：
∴（米）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得二次函数解析式是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线，使得平移后抛物线的顶点为，已知点在原抛物线上，点在平移后的抛物线上，且，两点都位于直线的右侧．当时，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点，代入待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据，得出，根据图象，当点在时，求得值，结合函数图象，可知在对称轴右侧都有，即可求得的范围．
【小问1详解】
解：将点，代入，得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，
∵，则，又∵，
∴，
∴，
则，
当点在时，，
此时，
根据图象可知，当时，对于，都有，
如图，当时，
∴当时，对于，都有．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的平移，二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．
27. 如图，在中，，，于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求的度数；
（3）求证：．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意补画图形即可；
（2）由旋转的性质，可得，，结合等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形内角和定理可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，借助“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由即可获得答案；
（3）过点作，交延长线于点，由等腰直角三角形的性质可知，再证明，由全等三角形的性质可得，即可证明．
【小问1详解】
解：补画图形如下；
【小问2详解】
由旋转的性质，可得，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：过点作，交延长线于点，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质并灵活运用是解题关键．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．给出如下定义：为上一点，过点作直线，交轴于点，称点为点的“关联点”．
（1）如图，，，若点在上，且的长为，则_________，点的“关联点”点的坐标是__________；
（2）求点的“关联点”点的横坐标的最小值；
（3）若线段的长为，直接写出这时点的“关联点”点的横坐标的最大值和最小值．
【答案】（1）45；
（2）点Q横坐标最小值为
（3）点Q横坐标最大值，最小值为
【解析】
【分析】（1）设，根据的长为，求得，过点P作交于点C，根据特殊三角函数值进行求解即可；
（2）当直线与相切时，如图，此时点Q的横坐标最小，连接，则有，证明为等腰直角三角形，即可得到解答；
（3）过点P作轴，根据特殊的三角函数值计算出点P到x轴的垂直距离为，由此可分析得，符合情况的点P有4个位置，如图所示，，则点Q的位置也有4个，，而在处取最大值，在处取最小值，进而根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
设，
∵，
∴，即，
过点P作交于点C，如图，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
将点P代入中，得，
解得，
∴，
当时，得，
解得，
∴，
故答案为：45；；
【小问2详解】
当直线与相切时，如图，此时点Q的横坐标最小，连接，则有，
∵的直线解析式为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点Q横坐标最小值为，
【小问3详解】
过点P作轴，
∵的直线解析式为，
∴，
∴在中，，
∴，
即点P到x轴的垂直距离为，
符合情况的点P有4个位置，如图所示，，则点Q的位置也有4个，，
∴在处取最大值，在处取最小值，
由以上计算可知，
连接，在中，，
∴，
连接，在中，，
∵
∴，
∴点Q横坐标最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合题，勾股定理的应用，特殊的三角函数值和等腰直角三角的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
种子数量
100
500
1000
2000
3000
发芽率
0.97
0.96
0.98
0.97
0.97
发芽率
0.98
0.96
0.94
0.96
0.95
0
1
2
3
4
0
2
2