2021-2022学年上海市松江区九年级上学期数学第一次月考试题及答案

这是一份2021-2022学年上海市松江区九年级上学期数学第一次月考试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A. 两个等边三角形B. 两个顶角相等的等腰三角形
C. 两个等腰直角三角形D. 两个矩形
【答案】D
【解析】
【分析】利用“两个角分别对应相等的两个三角形相似”逐一分析A，B，C选项，利用“四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例”判定D，从而可得答案.
【详解】解：两个等边三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等边三角形相似；故A不符合题意；
两个顶角相等的等腰三角形，则两个等腰三角形的底角也相等，满足两个角分别对应相等，所以两个顶角相等的等腰三角形相似，故B不符合题意；
两个等腰直角三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C不符合题意；
两个矩形满足：四个角分别对应相等，但是不一定满足四条边对应成比例，所以两个矩形不一定相似，故D符合题意，
故选：D.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，相似四边形的判定，掌握三角形相似的判定方法与四边形相似的判定方法是解题的关键.
2. 如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据AB∥CD，易证△AOB∽△DOC，利用对应边成比例即可解答．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC
∴，
故A、D选项正确；
B、∵，
∴
∴，故本选项错误．
C、∵，
∴，故本选项正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考相似三角形对应边比例，需要熟练运用比例的性质．
3. 如图，△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不一定能判断ED∥BC的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由每个选项给出的比例式，结合证明可得从而可判断 逐一分析得到B选项不一定能判断从而可得答案.
【详解】解： ，则
故A不符合题意；
，虽有 但不是两边的夹角，
不一定相似，；不一定相等，
所以不一定能判定 故B符合题意； ，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查是相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键.
4. 已知线段a、b、c，作线段，使，则正确作法是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质（平行线分线段成比例定理）一一分析即可得到答案．
【详解】解：A、根据平行线的性质得a：b=x：c，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得a：b=c：x，故此选项正确；
C、根据平行线的性质得x：b=a：c，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得a：b=x：c，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系，掌握平行线的性质（平行线分线段成比例定理）是解题的关键．
5. 已知非零向量，，，下列条件中，不能判定的是（ ）A. ；B. ；
C. ，；D. ，．
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的判定方法判断即可．
【详解】A. ∵，不能判断，故本选项，符合题意
B. ∵，∴，故本选项，不符合题意；
C.∵，，∴，故本选项，不符合题意；
D.∵，，∴，故本选项，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的判定方法是解题的关键．
6. 如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB，可得△ABE∽△ACB；由AD平分∠BAC，可得∠BAF=∠CAD，结合∠ABF＝∠C，可得△ABF∽△ACD；根据三角形相似的性质可得∠AFB=∠ADC，等角的补角性质可得∠BFD=∠BDF=∠AFE，进而可证△ABD∽△AEF即可．
【详解】解：∵∠ABE＝∠C，∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAD，
∵∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△ACD；∴∠AFB=∠ADC，
∴∠BFD=∠BDF=∠AFE，
∵∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
则图中相似三角形的对数是3对．
故选择C．
【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，角平分线，等角的补角性质，掌握三角形相似判定与性质，角平分线，等角的补角性质是解题关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 在比例尺为1﹕50000的地图上量出A、B两地的距离是12cm，那么A、B两地的实际距离是 ___千米．
【答案】6
【解析】
【分析】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再进行单位换算化为千米即可．
【详解】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据题意得：
12：x=1：50000
解得：x=600000，
∵1km=1000m=1000×100cm=100000cm
∴600000cm÷100000=6km．
故答案为6．
【点睛】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算．
8. 若线段b是线段a和c的比例中项，且a=1cm，c=9cm，则b=_______cm．
【答案】3
【解析】
【详解】根据题意可得b2=ac，代入数值，解答出即可，注意线段为正值．
解：由题意得，b2=ac，
∵a=1cm，c=9cm，
∴b2=1×9 =9，
b=3，b=-3（负值舍去）；
故答案为3cm．9. 已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB=10cm，AP>BP，那么AP=____________cm
【答案】
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
【详解】∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB=10cm，AP＞BP，
∴AP=×10=（）cm．
故答案为：（）cm．
【点睛】此题考查黄金分割概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键．
10. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AB＝12cm，AE＝11cm，CE＝4cm，那么DB＝___cm．
【答案】##3.2
【解析】
【分析】根据DE∥BC截线段成比例，可得，由AD=AB-BD=12-BD，，解方程即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD=AB-BD=12-BD，AE＝11cm，CE＝4cm，
∴，
解得BD=cm．
故答案为．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
11. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为______米.
【答案】4.8
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：设高度为h，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形：，
得：h＝4.8米，
故答案为：4.8.
【点睛】本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答．
12. 已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点之间的距离是 ___．
【答案】2
【解析】
【分析】三角形重心是三角形三条中线的交点，根据三角形重心的性质进行求解．
【详解】解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD=4，即GD=2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
13. 如图，l1∥l2∥l3，AB=AC，DF=10，那么DE=_________________.
【答案】4
【解析】
【详解】试题解析：：∵l1∥l2∥l3，
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴．
∵DF=10，
∴，
∴DE=4．
14. 已知△ABC与ΔA'B'C'相似，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，其中∠A＝80°，∠B'＝60°，则∠C＝___度．
【答案】40
【解析】
【分析】根据点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，可得△ABC∽ΔA'B'C'，可求∠B=∠B′=60°，利用三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵△ABC∽ΔA'B'C'，
∴∠B=∠B′=60°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B-=180°-80°-60°=40°，
故答案为40．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和，掌握相似三角形的性质，三角形内角和是解题关键．
15. 两个相似三角形的对应中线的比为，那么它们的周长比是______.
【答案】【解析】
【分析】先根据相似三角形的对应中线的比为3：4得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为3：4，
∴其相似比等于3：4，
∴它们的周长比是3：4．
故答案为3：4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．
16. 已知向量与单位向量方向相反，且，那么=______（用向量的式子表示）
【答案】-3．
【解析】
【详解】试题分析：由向量与单位向量方向相反，且||＝3，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．∵向量与单位向量方向相反，且||＝3，
∴=-3．
故答案为-3．
考点：平面向量．
17. 如图，△ABC中，BC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且S△ADE＝S四边形DBCE，则DE＝______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△AEC，
∴=()2，
∵S四边形DBCE＝SΔABC-SΔADE=S△ADE，∴S△ABC＝2S△ADE，
∴=()2=，
∴，
∵BC=12，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
18. 已知：△ABC∽△DEF，且∠A＝∠D，AB＝8，AC＝6，DE＝2，那么DF＝___．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】由△ABC∽△DEF，根据相似三角形性质可得，将数据代入即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB＝8，AC＝6，DE＝2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，19题～22题每题10分，23题～24题每题12分，25题14分，满分78分）
19. 已知≠0，求的值．
【答案】
【解析】
【详解】由等比性质设===k，把a,b,c用含有K的代数式表示，待入所求的式子即可得解．设===k，得
则．
20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分别交边AB、DC于点M、N．如果AM:MB=2:3，AD=2，BC=7．求MN的长．
【答案】4
【解析】
【详解】过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，可以得出四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，得出EN、FC的值，求出BF的值，再利用三角形相似就可以求出ME的值，从而求出MN．
解：过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，
∵AD∥BC，AF∥DC，
∴四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，
∴AD=EN=2．AD=FC=2．
∵BC=7，
∴BF=5．
∵ME∥BF，
∴△AME∽△ABF
∴．
∵AM：MB=2：3，
∴AM：AB=2：5，
∴，
∴ME=2
∴MN=4．
“点睛”本题考查了梯形中辅助线的作法和运用，平行四边形的判定即将性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答中正确的作出辅助线是解答的关键．
21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，继而可证得，则可证得结论．
【详解】证明：∵GF∥BC，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴，
∴．
点评：此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22. 如图，AD和BC相交于点E，AC∥BD，点F在CD上，AC＝4，BD＝6，，
（1）求EF的长；
（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）过E作EG⊥CD于G，由AC∥BD，可证△ACE∽△DBE，可得，由，可得，可证△CEF∽△CBD，可得EF∥BD，EF∥AC，可证△DEF∽△DAC，可得即可；
（2）由△CEF∽△CBD，可得即可．
【详解】解：（1）过E作EG⊥CD于G，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠EDB，∠ACE=∠B，
∴△ACE∽△DBE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠ECF=∠BCD，
∴△CEF∽△CBD，∴∠CEF=∠B，，
∴EF∥BD，
∵AC∥BD，
∴EF∥AC，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DCA，
∴△DEF∽△DAC，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）∵△CEF∽△CBD，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，利用面积比得对应线段比证明线段平行，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
23. 如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，GE∥AC．
（1）求证：FG∥AB；
（2）设＝，＝，请用向量，表示．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】（1）由AD＝DE＝EB，可得AE= 2BE，BD=2AD，由DF∥BC，，由GE∥AC，可得，可得，∠FCG=∠ACB，可证△FCG∽△ACB即可；
（2）由△FCG∽△ACB，可得，由＝，＝可得，由向量的模之间关系可得, GF∥BA；利用平行向量关系．
【详解】（1）证明：∵AD＝DE＝EB，
∴AE=AD+ED=2AD=2BE，BD=DE+EB=2BE=2AD，
∵DF∥BC，
∴，
∵GE∥AC，
，
∴，
∴，
∴，∠FCG=∠ACB，
∴△FCG∽△ACB，
∴∠FGC=∠B，
∴FG∥AB；
（2）解：∵△FCG∽△ACB，
∴，∴
∵＝，＝，
∴
∵, GF∥BA；
∴．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例，相似三角形的判定与性质，向量的模，平行向量，和与差向量，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
24. 如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝EC，推出∠EDC＝∠ECD，求出∠FDC＝∠B，根据∠F＝∠F，证△FBD∽△FDC即可；
（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．
【详解】（1）证明：，，
是的中点，，，
，，
，，
，，
，，.
（2），，，
，
，
.
【点睛】本题考查了相似三角形性质和判定，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．
25. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝8，把线段AB沿射线BC方向平移（点B始终在射线BC上）至PQ位置，直线PQ与直线AC交于点D，又连结BQ与直线AC交于点E．
（1）当BP＝3时，求证：△PBD∽△PQB；
（2）当点P位于线段BC上时（不含端点B，C），设BP＝x，DE＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（3）当以Q，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求PB的长．
【答案】(1)见解析;(2) y= （0＜x＜4）；(3) x=
【解析】
【分析】(1)由PQ∥AB得△CDP∽△CAB，求得PD=，进而可证；
(2)由AQ∥BC，得△AQE∽△EB，表示出CE，由PD∥AB得 ，表示出CD，进而求得；
(3)由PD∥AB得∠EDQ=∠A，由∠QED=∠ACB+∠EBC，∠QED＞∠ACB得∠QED=∠ABC，故仅有△ABC∽△DEQ；
【详解】(1)如图1，
证明：∵PQ∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴ ，
∴，
∴PD=，
∴PD•PQ=×6=9，
∴PB2=PD•PQ，
∴ ，
∵∠BPQ是公共角，
∴△PBD∽△PQB；
（2）如图2，
解：连接AQ，
∵PQ∥AB,PQ=AB
∴四边形ABPQ为平行四边形
∴AQ∥BC，AQ=BP=x，
∴△AQE∽△CEB，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵PD∥AB，
∴，
∴ ，
∴CD=2（4-x），
∴y=DE=CE-CD= -2（4-x）= ，
∴y=（0＜x＜4）；
（3）如图3，
解：当P在BC上时，
∵PD∥AB，
∴∠EDQ=∠A，
∵∠QED=∠ACB+∠EBC，
∴∠QED＞∠ACB，
∴∠QED=∠ABC，
∴△ABC∽△DEQ，
，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴，
∴，
∴PD= （4-x），
∴DQ=PQ-PD
=6-（4-x）
=x，
∴ ，
∴x= ，
如图4，
∵∠QED＞∠ACB，
∴∠QED=∠ABC，
∴只存在一种情况即△ABC∽△DEQ，
综上所述：PB=．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解决问题的关键是判断对应元素找相似．