2021-2022学年江苏省扬州市广陵区九年级上学期数学期中考试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省扬州市广陵区九年级上学期数学期中考试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 方程的解为（ ）
A. x＝2B. x1＝，x2＝0
C. x＝0D. x1＝2，x2＝0
【答案】D
【解析】
【详解】先移项，再根据因式分解法，可得x（x-2）=0，
解得x1＝2，x2＝0．
故选D．
2. 下列方程中，有实数根的是（ ）
A. x2﹣x+1＝0B. x2﹣2x+3＝0C. x2+x﹣1＝0D. x2+4＝0
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3<0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8<0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5>0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；
D、Δ＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查判别式的应用，理解记住一元二次方程判别式的公式是解答本题的关键．
3. 以下各组数据中，众数、中位数、平均数都相等的是（ ）
A. 4，9，3，3B. 12，9，9，6
C. 9，9，4，4D. 8，8，4，5
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数，中位数，平均数的意义可判断．
【详解】A、4，9，3，3的众数是3，中位数是3，平均数是，故不相等；
B、12，9，9，6的众数是9，中位数是9，平均数是9，故相等；
C、9，9，4，4的众数是4，9，中位数是，平均数为 ，故不相等；
D、8，8，4，5的众数是8，中位数是，平均数是，故不相等．
故选B．
【点睛】考点：众数，中位数，平均数
4. 小明等五位同学以各自的年龄为一组数据，计算出这组数据的方差是0.5，则10年后小明等五位同学年龄的方差 （ ）
A. 不变B. 增大C. 减小D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，只要数据没有倍数关系的变化，其方差就不会变；故10年后这五名队员年龄的方差不变，仍是0.5．
故选A．
5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=30°，则∠A的度数等于( )
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】在等腰三角形OCB中，由已知∠OCB=30°和三角形内角和定理求得顶角∠COB的度数120°，然后由同弧所对的圆周角是圆心角的度数一半的圆周角定理，求得答案．
【详解】在△OCB中，OB=OC（⊙O的半径），
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）；
∵∠OCB=30°，∠COB=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠COB=120°；
又∵∠A=∠COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠A=60°，
故选A．
6. 已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）
A. 1.5cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，依据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，求解即可．
【详解】解：∵圆锥母线长是5cm，侧面积是20πcm2，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：，
∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴
故选：C．
【点睛】题目主要考查圆锥的侧面展开图扇形的面积及弧长公式，理解题意，熟练掌握两个公式及变形是解题关键．
7. 已知 ，则 的值为( )
A. -5或1B. 1C. 5D. 5或-1
【答案】B
【解析】
【分析】将设为a，分解因式即可得（a-1）（a+5）=0，即可求出的值.
【详解】解：设a=，则原式=（a+1）（a+3）=8，
去括号得a2+4a+3=8,
移项得a2+4a-5=0，
分解因式得（a-1）（a+5）=0,
解得a=1或a=-5，
∵=a≥0
∴a=-5（舍去），
故选B.
【点睛】本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．关键是将设为一个整体．
8. 已知正方形和正六边形边长均为1，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示．按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点，间的距离可能是( )
A. 1.4B. 1.1C. 0.8D. 0.5
【答案】C
【解析】
【分析】在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM的长从1变化到，在第四次旋转中BM的长从2-变化到，在第五次旋转中BM的长从变化到1，在第六次旋转中BM=1，由此可求解．
【详解】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的弧线，在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM的长从1变化到，在第四次旋转中BM的长从2-变化到，在第五次旋转中BM的长从变化到1，在第六次旋转中BM=1，B，M间的距离大于等于2-小于等于1，
故选C．
【点睛】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
二、填空题
9. 将一元二次方程(2x-1)(x+1)=1化成一般形式ax2+bx+c=0为__________．
【答案】2x2+x-2=0
【解析】
【分析】先去括号，然后合并同类项，最后依据未知数次数由高到低书写即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查将一元二次方程化为一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题关键．
10. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数，作为总成绩．孔明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分．
【答案】88
【解析】
【详解】解：∵笔试按60%、面试按40%计算，
∴总成绩：90×60%+85×40%=88（分），
故答案为：88．
11. 已知m是方程的一个根，则代数式的值等于____．
【答案】-3
【解析】
【分析】把x=m代入方程得出m2-3m-1=0，求出m2-3m=1，推出2m2-6m=2，把上式代入2m2-6m-5求出即可．
【详解】解：∵实数m是关于x的方程x2-3x-1=0的一根，
∴把x=m代入得：m2-3m-1=0，
∴m2-3m=1，
∴2m2-6m=2，
∴2m2-6m-5=2-5=-3，
故答案为-3．
【点睛】考点: 一元二次方程的解．
12. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0．
【详解】解：∵是一元二次方程，
解得：
，
∴，
故答案为：-1．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键．
13. 如图，在一幅长80cm、宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则宽x需满足的方程是__________．（方程可以不化简）
【答案】
【解析】
【分析】设金色纸边的宽为xcm，则挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据其积为5400cm2，即长×宽=5400，列方程即可．
【详解】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm；
∴(80+2x)(50+2x)=5400，
故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
14. 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是__．
【答案】2
【解析】
【分析】过O点作OD⊥BC，D点为垂足，则DB=DC，所以OD为△BAC的中位线，即有OD=AC；由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理可求得AC，即可得到OD的长．
【详解】过O点作OD⊥BC，D点为垂足，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AC=，
又∵OD⊥BC，
∴DB=DC，而OA=OB，
∴OD为△BAC的中位线，即有OD=AC，
所以OD=×4=2，即圆心O到弦BC的距离为2，
故答案为：2．
15. 圆内接四边形的内角，则________度．
【答案】
【解析】
【分析】设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，根据圆内解四边形的性质得∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，则2x+4x=180°，解得x=30°，然后计算出∠B后利用互补求∠D的度数．
【详解】解：设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∴2x+4x=180°，
解得：x=30°，
∴∠D=180°﹣3x=180°﹣90°=90°．
故答案为90．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了方程的思想的运用．
16. 如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A=__________°．
【答案】35
【解析】
【分析】连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且，可求得的度数，又由圆周角定理，即可求得结果．
【详解】解：连接OC，
∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：35．
【点睛】题目主要考查了切线的性质及圆周角定理，作出辅助线，综合运用这些性质定理是解题关键．
17. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．
【详解】如图，
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
由勾股定理知，AB==5．
∵S△ABC=AC•BC=CD•AB=×3×4=×5•CD，
∴CD=，
即R的取值范围是＜r≤3．
故答案为＜r≤3．
【点睛】本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．
18. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，点M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为 _______ .
【答案】
【解析】
【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P在A点时，M点在E点；点P在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．
【详解】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，
∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，
∴AB=BC=4，
∴OC=AB=2，OP=AB=2，
∵M为PC的中点，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO=90°，
∴点M在以OC为直径的圆上，
点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，
∴M点的路径为以EF为直径的半圆，
∴点M运动的路径长=•2π•=π．
故答案为π．
【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成图形为点运动的轨迹．解题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆．
三、解答题
19. 解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）x1=2，x2=5（2），
【解析】
【分析】（1）根据本题特点，选用“因式分解法”来解比较简单；
（2）根据本题特点，可选用“配方法”或“公式法”来解.
【详解】(1)原方程可化为：，
∴或，
解得；
（2）移项，得，
配方得：，即，
∴，
∴．.
20. 判断关于x的一元二次方程的根的个数．
【答案】方程有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式代入计算即可．
【详解】解：，
，，，
，
，
所以方程有两个不相等的实数根．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，熟练运用根的判别式判断根的个数是解题关键．
21. 如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图，墙长9m），面积是30m2．求生物园的长和宽．
【答案】围成矩形的长为6m，宽为5m
【解析】
【分析】首先设生物园的宽为xm，则长为（16-2x）m，根据题意可得等量关系：长方形的长×宽=面积30m2，由等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设宽为x m，则长为，
由题意，得 ，
解得 ，．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意．
答：围成矩形的长为6 m、宽为5m．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解．
22. 如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．
【答案】（4+）cm．
【解析】
【分析】连接OA、OB，阴影部分的周长是PA+PB的长+圆心角为120°的扇形的弧长来求即可．
【详解】解：连接OA、OB．
因为PA、PB切⊙O于A、B点，PO=4cm，∠APB=60°，
所以∠APO=∠BPO=30°，∠AOB=120°，
所以AO=2cm，AP=BP=2cm，
cm，
阴影部分的周长：2×2+=4+（cm）．
答：阴影部分的周长是（4+）cm．
23. 某中学开展歌咏比赛，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写表格：
（2）已知九年级（2）班复赛成绩的方差为160，计算九年级（1）班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩稳定．
【答案】（1）九（1）班平均数为85，众数为85，九（2）班中位数为80；（2）70；（3）九年级（1）班复赛成绩的方差为70，九（1）班的方差小，成绩更稳定些．
【解析】
【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数、众数的定义和平均数的求法即可得答案；
（2）根据方差公式计算可得九年级（1）班复赛成绩的方差，根据平均数相同，方差越小，成绩越稳定即可得答案．
【详解】（1）由图可知：九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
九（2）班5名选手的复赛成绩为：70、75、80、100、100，
九（1）班的平均数为（75+80+85+85+100）÷5=85，
∵九（1）班的5个成绩中，85出现2次，
∴九（1）的众数为85，
∵九（2）班的5个成绩中，中间的数是80，
∴九（2）班的中位数为80，
填表如下：
（2）∵九（1）班平均数为85，
∴九（1）班方差s12=[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2]=70，
∵九（2）班的方差为160，70<160，
∴九（1）班成绩更稳定些．
【点睛】本题考查平均数、中位数、众数及方差，将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数；方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；熟练掌握相关定义及方差公式是解题关键．
24. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
25. 阅读下面的例题：解方程
解：当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得：x1＝2，x2＝－1（不合题意，舍去）；
当x＜0时，原方程化x2＋ x－2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝－2；
∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2．
请参照例题解方程．
【答案】x1＝1，x2＝﹣2
【解析】
【分析】根据题干中提供的方法，利用绝对值的性质进行分类讨论，解一元二次方程．
【详解】解：①当x﹣1≥0即x≥1时，原方程化为，，
解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去）；
②当x﹣1＜0即x＜1时，原方程化为，，
解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
故原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．
【点睛】本题考查绝对值的性质和解一元二次方程，解题的关键是模仿题干中给出的方法进行计算求解．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝BC，判断四边形OCED的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）正方形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到∠CDB＝90°，E为中点，可得到ED＝CE，再利用角的和差可求得∠ODE＝90°，可得DE为切线；
（2）由条件可得∠ODA＝∠A＝45°，可求得∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD，可知四边形ODEC为正方形．
【详解】（1）证明：如图，连接OD、CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∵E为BC的中点，
∴DE＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠OCD+∠ECD＝∠ODC+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝∠ACB＝90°，
即OD⊥DE，
又∵D在圆O上，
∴DE与圆O相切；
（2）若AC＝BC，四边形ODEC为正方形，
理由：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝45°，
∴∠COD＝∠A+∠ODA＝90°，
∵四边形ODEC中，∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD，
∴四边形ODEC为正方形．
【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明OD⊥DE以及∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，OC＝OD．
27. 问题探究：
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它裁出两块全等的．面积最大的△APB和△CP'D钢板，且∠APB＝∠CP'D＝60°．请你在图③中画出符合要求的点和P和P'．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）因为正方形的对角线互相垂直，所以连接AC、BD交于点O，O即为所求；
（2）①以AB为边在正方形内作等边△ABP；②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．因为在圆O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°，所以弧EF上的所有点均为所求的点P；
（3）因为∠APB=∠CP'D=60°，△APB和△CP′D的面积最大，所以同（2）：①连接AC；②以AB为边作等边△ABE；③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；④在AC上截取AP'=CP．则点P、P′为所求．
【详解】解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则∠APB＝90°.
∴点P为所求
（2）如图②，画法如下：
①以AB为边在正方形内作等边△ABP；
②作△ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E、F．
∵在⊙O中，弦AB所对的弧APB上的圆周角均为60°,
∴弧EF上的所有点均为所求的点P
（3）如图③，画法如下：
①连接AC；
②以AB为边作等边△ABE；
③作等边△ABE的外接圆O，交AC于点P；
④在AC上截取AP′＝CP．则点P、P′为所求
【点睛】题目主要考查作图—应用与设计作图，等边三角形的性质，圆周角定理等，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键．
28. 阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理--“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB=6，AC=4，BC=8，则AD= ；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA=2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC=90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为 ；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到如下的题目：
如图4，已知⊙O的半径为5，以A（-3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②4；（3）AD长的最大值为10．
【解析】
【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，根据勾股定理即可证明；
（2）①利用中线定理计算即可；②利用中线定理即可解决；
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．利用中线定理求出DE，再利用三边关系即可解决问题；
【详解】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x-y）2=2AE2+2x2+2y2
=2AE2+2BD2+2DE2
=2AD2+2BD2；
（2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2，
∴62+42=2AD2+2×42，
∴AD=；
②如图3中，
∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF2+2AE2=AF2+OF2，
2AF2+2BF2=AB2+AC2，
OF2=OB2-BF2，
∴4EF2=2OB2-4AE2=2OB2-OA2，
∴EF2=OB2-OA2=16，
∴EF=4（负根舍弃），
故答案为：①；②4；
（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．
由（2）的②可知：DE2=OB2-OA2=，
∴DE=；
在△ADE中，AE=，DE=，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为+=10．
【点睛】本题考查了圆的性质、中线定理、勾股定理、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会添加辅助线解决问题，属于中考压轴题．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
九（2）
85
100
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100