【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题08+两角和与差的三角函数（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-讲义

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 两角和与差的余弦公式
1、两角和的余弦公式：:
2、两角差的余弦公式：:
3、使用注意事项：
（1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；
（2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。例如：当，时，；
（3）要掌握公式的逆用，如
知识点2 两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式：:
2、两角差的正弦公式：:
3、使用注意事项：
（1）公式中的，都是任意角；
（2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即；
（3）注意公式的逆向运用：如
知识点3 两角和与差的正切公式
1、两角和的正切公式：:.
2、两角差的正切公式：:.
3、使用注意事项：
（1）公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
（2）公式的变形：；
知识点4 两角和与差的三角函数应用
1、三角函数给角求值与给值求值问题
“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
（1）关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
（2）常见的配角技巧：，，
，等．
2、三角函数给值求角问题
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；
若角的范围是，选正弦较好.
考点剖析
考点1 两角和与差余弦公式正用
【例1】（2023·海南·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·江苏无锡·高一辅仁高中校考阶段练习）已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）已知角的终边过点，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
考点2 两角和与差余弦公式逆用
【例2】（2023·甘肃兰州·高一统考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·广东深圳·高一校考期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·辽宁抚顺·高一校联考期中）（ ）
A．0 B． C． D．
【变式2-4】（2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
考点3 两角和与差正弦公式正用
【例3】（2023·高一课时练习）若，，且，则 ．
【变式3-1】（2023·浙江丽水·高一统考期末）若，且，，则 .
【变式3-2】（2023·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）（多选）在中，，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期中）在中，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
考点4 两角和与差余弦公式逆用
【例4】（2023·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（ ）
A．0 B． C． D．1
【变式4-1】（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）计算：（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·陕西商洛·高一校考期中）=（ ）
A． B． C． D．
考点5 两角和与差正切公式正用
【例5】（2023·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知，，则（ ）
A． B．－ C．－ D．
【变式5-1】（2023·浙江·高一校联考期中）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知为锐角，，角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·浙江·高一阶段练习）如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点6 两角和与差正切公式逆用
【例6】（2023·广西钦州·高一统考期末）（ ）
A． B．1 C． D．
【变式6-1】（2023·云南玉溪·高一统考期末）（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式6-2】（2023·高一课时练习）若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式6-3】（2023·江苏南通·高一统考阶段练习）求值： ．
考点7 求特殊角的三角函数值
【例7】（2023·高一课时练习）的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·辽宁沈阳·高一校联考期末）（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·江西赣州·高一校考阶段练习）计算（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·全国·高一专题练习）（ ）
A． B． C． D．
考点8 给值求值问题
【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知为锐角，，则 .
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，，则 .
【变式8-2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·江苏南京·高一南京市中华中学校考期中）已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
考点9 给值求角问题
【例9】（2023·高一课时练习）已知都是锐角，且，则 .
【变式9-1】（2023·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）已知锐角满足，则等于（ ）
A． B．或 C． D．
【变式9-2】（2023·河南南阳·高一统考期末）矩形由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2023·广东佛山·高一校考阶段练习）已知，，，且，则的值为 .
【变式9-4】（2023·安徽马鞍山·高一当涂第一中学校考期中）已知，，，，则 .
考点10 综合化简问题
【例10】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，求．
【变式10-1】（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值.
（1）；
（2）
【变式10-2】（2023·高一课时练习）化简求值：
（1）；
（2）.
【变式10-3】（2023·浙江·高一校联考阶段练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．将绕原点逆时针旋转后与角的终边重合．
（1）求的值；
（2）若角满足，求值．
过关检测
一、单选题
1．（2023·浙江嘉兴·高一嘉兴一中校考阶段练习）等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东枣庄·高一校考阶段练习）的值等于（ ）
A． B．0 C． D．
4．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）α，β都是锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏盐城·高一射阳中学校考阶段练习）如图，三个相同的正方形相接，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山东淄博·高一淄博实验中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．或
8．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·贵州黔西·高一校考阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·湖北·高一校考阶段练习）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）满足 的一组的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．（2023·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）已知，下列关系可能成立的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023·上海奉贤·高一校考阶段练习）若、为锐角，，，则角 ．
14．（2023·云南曲靖·高一宣威市第六中学校考阶段练习）已知，，，，则 .
15．（2023·广东深圳·高一深圳中学校考期中） .
16．（2023·江苏徐州·高一统考期中）计算： ．
四、解答题
17．（2023·甘肃兰州·高一兰州一中校考阶段练习）计算下列各式：
（1）；
（2）.
18．（2023·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知，，，.
（1）求；
（2）求角.
19．（2023·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20．（2023·安徽滁州·高一校考开学考试）已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．（2023·上海嘉定·高一校考期中）（1）已知，，求；
（2）已知，且，，用，表示，求．
22．（2023·四川绵阳·高一绵阳南山中学校考阶段练习）已知.
（1）若，求的值.
（2）已知.求角的值.