2021-2022学年北京昌平区初三上学期数学期中试卷及答案

这是一份2021-2022学年北京昌平区初三上学期数学期中试卷及答案，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用分式的基本性质即可得到的值，再进行选择即可．
【详解】，等式两边同时除以3b．
得：．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行变形是解答本题关键．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．
3. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案．
【详解】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型．
4. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：
再向上平移5个单位长度，得：
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
5. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据，可得，然后根据相似三角形的判定定理逐一解答即可．
【详解】，
，
，
A、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
B、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
C、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
D、当添加条件时，则和不一定相似，故选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
6. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则△ADE与△ABC的面积比等于（ ）
A. 2：3B. 4：5C. 4：9D. 4：25
【答案】D
【解析】
【分析】先由平行线判定，再根据相似三角形对应边成比例性质及已知条件AD：DB＝2：3，解得相似比为，最后根据相似三角形面积比等于相似比平方解题即可．
【详解】DE//BC，
又 AD：DB＝2：3，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，
∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），
当-3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
8. 如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 当时，取最小值
C. 当时，一元二次方程 必有两个不相等实根
D. 直线经过点，，当时，的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】把A、B、C三点代入二次函数即可求出函数解析式，根据函数解析式依次判断即可．
【详解】把A、B、C三点代入二次函数得：
解得：
故函数解析式为：，
∴开口朝上，
故A不正确；
函数对称轴为：，
∴时，函数值最小，，
故B不正确；
由题意得：时，一元二次方程有一个实根，时，有两个不等实根，
∵ ，
∴一元二次方程 必有两个不相等实根，
故C正确；
∵直线经过点，，
∴依据题意可知：时，或；
故D错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像及性质，以及一次函数，熟练掌握二次函数图像与性质以及一次函数图像是解答本题的关键．
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】令抛物线的对称轴为轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为，然后把已知点的坐标代入求出即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
所以满足条件的抛物线解析式为．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
10. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DEBC交AC于点E，若，AE=6，则EC=____．
【答案】9
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例定理得出=，然后将EC代入计算即可．
【详解】解：∵DEBC，
∴=，
∴，即，解得EC=9．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理等知识点，根据DEBC得到=是解答本题的关键．
11. 将二次函数化为的形式，结果为y=_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】解：y=x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5．
故答案为：（x+2）2-5．
【点睛】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
12. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．
【答案】8
【解析】
【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．
【详解】如图：
∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE=AC：DE，
即1：5=1.6：DE，
∴DE=8m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
13. 已知二次函数，若点A（0，）和B（3，）在此函数图像上，则y1与y2的大小关系是__________．（填“＞”，“＜”或“=”）
【答案】＞
【解析】
【分析】分别把点A、B的坐标代入抛物线解析式进行求解，然后问题可得解．
【详解】解：由题意得：
当x=0时，则有；当x=3时，则有；
∴；
故答案为＞．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 如图，在中，点分别在边上，且，若cm，则_____cm．
【答案】6
【解析】
【分析】由再结合公共角∠A =∠A，可证得ADE∽ABC，再根据相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】解：∵∠A=∠A，
∴ADE∽ABC
∴
∵cm
∴6cm.
故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，数量掌握并灵活应用相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____．
【答案】.x1＝－3，x2＝2
【解析】
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)，(2,0)，
∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程的解为
故答案为：
16. 如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上．若AC＝8，AD＝2，则△AED周长为 _____，的值为 _____．
【答案】 ①. 10 ②. ．
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，DF+CF+CD＝10，DF+BF+BD＝BC+BD＝14，再证明△AED∽△BDF，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝8，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AD＝2，
∴BD＝6，
由折叠的性质可知：CE＝DE，CF＝DF，∠EDF＝∠C＝60°，
∴AE+DE+AD＝AC+AD＝10，即△AED周长为10，
故答案为：10；
∴DF+BF+BD＝BC+BD＝14，
∵∠EDF＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠FDB+∠EDA＝∠AED+∠EDA＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∵∠B＝∠A＝60°，
∴△AED∽△BDF，
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17. 如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．求证：△AOB∽△DOC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用对顶角相等得到∠AOB=∠COD，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解．
18. 已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
【答案】（1）抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
（2）图像见解析．
【解析】
【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【小问1详解】
解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
【小问2详解】
解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
描点可画出其图象如图所示：
【点睛】本题考察了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
19. 二次函数的部分图像如图所示，求这个二次函数的表达式．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象知，该函数经过点（-3，0），（0，3）且对称轴为x=-1，所以利用待定系数法可求得该二次函数的解析式．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，过点（﹣3，0），（0，3），
∴设抛物线表达式为：，将（-3，0），（0，3）代入，
得，
解得：，
∴抛物线表达式为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，熟练掌握二次函数顶点式，是解题的关键．
20. 如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有△ABC和△DEF．求证：△ABC∽△DEF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】分别求出两个三角形的三边，根据三边分别成比例的三角形相似即可判定．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=3，BC=，AC=，
在△DEF中，DE=，EF=2，DF=，
∴， ， ，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
21. 已知抛物线图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式，并画出图像；
（2）结合图像直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
【答案】（1），图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格得出抛物线过点、、，将点坐标代入抛物线解析式求出a、b、c即可，再利用描点法画函数图像；
（2）利用图像可直接得到答案．
【小问1详解】
解：∵设二次函数的解析式为，
由题意得：当时，，
∴,
∵时，，当时，，
∴，
解得，
∴；
∵当时，，
∴根据表格描点，用平滑曲线连结，抛物线图像如图：
【小问2详解】
解：由图可得，抛物线的顶点为，
∴当0≤x≤4时，．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，描点法画函数图像，根据图像求函数值范围，熟练掌握待定系数法和描点法画函数图像是解题关键．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质证明CD2=AD•DB，可得结论．
【小问1详解】
证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD．
【小问2详解】
解：∵△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴CD2＝AD•DB，
∵AD＝3，BD＝2，
∴CD2＝6，
∵CD＞0，
∴CD＝．
【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
四、解答题（共3道小题，每小题6分，共18分）
23. 图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).
∵图象经过点（2，-2），
∴-2=4a，
解得：.
∴.
当y=-3时，.
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．
24. 如图，在□ABCD中，连接DB，F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且∠EDB=∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角相等可得，又∠EDB=∠A，等量代换可得，再结合公共角，即可证明△BDF∽△BCD；
（2）根据（1）的结论，列比例式代入数值计算可得，进而求得,根据平行四边形的性质可得，进而证明,进而即可求解的值．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边
,
∠EDB=∠A，
又
△BDF∽△BCD；
【小问2详解】
解：△BDF∽△BCD；
，，
四边形是平行四边
,
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 下面给出六个函数解析式：，，，，，．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质。下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如_______，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当（m为正数）时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是________；
（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为_______．
【答案】（1）（a≠0）；（2）图象见详解；（3）①③；（4）
【解析】
【分析】（1）观察六个二次函数解析式的特点，可知：它们都具有共同的特点：一次项的x含有绝对值，即可；
（2）根据求绝对值法则，当xt且≥t
∴3>t且1≥t
∴t≤1．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟记二次函数对称轴的表达式，以及二次函数的增减性是解题的关键．
27. 在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.
（2）用等式表示线段MB与 PQ之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）∠AMQ=45°+α； (2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=MB，理由见解析.
【解析】
【分析】(1)由直角三角形性质，两锐角互余，可得∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM ，解得∠AMQ=45°+α；
(2)由题意得AP=AQ=QM，再证Rt△APC≌Rt△QME，.全等三角形对应边相等得出PC=ME，得出△MEB为等腰直角三角形，则PQ= BM.
【详解】(1) ∠AMQ=45°+α.理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠PAB＝45°－α，∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°－∠AHM-∠PAM＝45°＋α；
(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=MB.
理由如下：
连接AQ，过点M作ME⊥QB，
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=α+45°=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在Rt△APC和Rt△QME中，

∴Rt△APC≌Rt△QME，
∴PC=ME，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴，
∴PQ=MB.
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（-5，6）的“关联点”为点（-5，-6）．
（1）在点E（0，0），F（2，5），G（-1，-1），H（-3，5）中， 的“关联点”在函数y＝2x+1的图象上；
（2）如果一次函数y＝x+3图象上点M的“关联点”是N（m，2），求点M的坐标；
（3）如果点P在函数y＝-x2+4（-2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是-4＜y′≤4，求实数a的取值范围．
【答案】（1）F、H （2）点M(-5，-2)
（3）
【解析】
【分析】(1)点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，将点的坐标代入函数y＝2x+1，看是否在函数图象上，即可求解；
(2)当m≥0时，点M(m，2)，则2＝m+3；当m＜0时，点M(m，-2)，则﹣2＝m+3，解方程即可求解；
(3)如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，而-2＜x≤a，函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束．都符合要求-4＜y'≤4，只要求出关键点即可求解．
【小问1详解】
解：由题意新定义知：点E(0，0)的“关联点”是(0，0)，
点F(2，5)的“关联点”是(2，5)，
点G(-1，-1)的“关联点”是(-1，1)，
点H(-3，5)的“关联点”是(-3，-5)，
将点的坐标代入函数y＝2x+1，
得到：F(2，5)和H(-3，-5)在函数y＝2x+1图象上；
【小问2详解】
解：当m≥0时，点M(m，2)，
则2＝m+3，解得：m＝-1(舍去)；
当m＜0时，点M(m，-2)，
-2＝m+3，解得：m＝-5，
∴点M(-5，-2)；
【小问3详解】
解：如下图所示为“关联点”函数图象：
从函数图象看，“关联点”Q的纵坐标y'的取值范围是-4＜y'≤4，
而-2＜x≤a，
函数图象只需要找到最大值(直线y＝4)与最小值(直线y＝-4)直线x＝a从大于等于0开始运动，直到与y＝-4有交点结束，都符合要求，
∴-4＝-a2+4，
解得：(舍去负值)，
观察图象可知满足条件的a的取值范围为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，读懂题意是解决本类题的关键．
x
-2
-1
0
1
2
y＝x2﹣1
3
0
-1
0
3
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
－3
－4
－3
0
…