2020-2021学年天津市河西区九年级上学期数学期末试卷及答案

这是一份2020-2021学年天津市河西区九年级上学期数学期末试卷及答案，共21页。试卷主要包含了本卷共12题，共36分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知⊙O半径为，点M到圆心O的距离为，则该点M与⊙O的位置关系为（ ）
A. 点M在圆内B. 点M在圆上C. 点M在圆外D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据点M到圆心的距离和半径的关系得出点M与圆的位置关系．
【详解】解：∵点M到圆心O的距离等于⊙O半径，
∴点M在圆上．
故选：B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判断．
2. 如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形顺时针旋转，一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少是 （ ）
A. 60°B. 72°C. 75°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】用圆周角除5得到每个顶点之间的角度，即为旋转后重合的角度
【详解】360°÷5=72°
故至少旋转72°后能够重合
故选：B
【点睛】本题是旋转的考查，解题关键是求解出顶点间的夹角
3. 下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．
4. 下列多边形一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形B. 两个矩形
C. 两个菱形D. 两个正方形
【答案】D
【解析】
【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．
【详解】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，
两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，
两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，
两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 已知圆心和半径可以作一个圆
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个
C. 经过两个已知点A，B的圆能做两个
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【解析】
【分析】根据确定圆的条件依次判断即可．
【详解】解：A. 已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查确定圆的条件．注意过三点确定一个圆，要画一个圆需要知道它的圆心和半径．
6. 已知与相似，且对应边的比为，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的面积比为相似比的平方即可选择．
【详解】
故选D．
【点睛】本题考查三角形相似的性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题的关键．
7. 当时，二次函数有（ ）
A. 最大值B. 最小值C. 最大值D. 最小值
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数y=（x-1）2-4，可以得到当x＞1时，该函数有最小值，故可得结论．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为：x=1,
∵函数开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时，y最小值=（2-1）2-4=-3
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值．
【详解】解：连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC =
∴PA= tan60°×1=
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键．
9. 如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A. 3:2B. 3:1C. 1:1D. 1:2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴．
故选D．
10. 一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 100πB. 200πC. 100πD. 200π
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】解：这个圆锥的母线长＝＝10，
这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．
故选：C．
【点睛】此题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟知母线的定义及圆锥侧面积的公式．
11. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得．
【详解】由旋转的性质可知： ．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键．
12. 二次函数的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ）．
A. B.
C. D. 关于的方程无实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；x=1时，y＜0，可对B进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对C进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，可对D进行判断．
【详解】解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-=-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故A正确；
B．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b=2a，
∴3a+c＜0，故B错误；
C．∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，故C正确；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（-1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n+1无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1无实数根，故D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）；
2．本卷共13题，共84分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是_____．
【答案】（﹣3，2）
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此直接求解即可．
【详解】解：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），
∴点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是（﹣3，2）．
故答案为（﹣3，2）．
14. 抛物线与y轴的交点为__________．
【答案】
【解析】
【分析】令x=0，求出y的值即可．
【详解】解：令x=0，代入得：y=-3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，-3）．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与y轴的交点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
15. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，掷一次小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】用出现偶数朝上的结果数除以所有等可能的结果数即可．
【详解】解：∵掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、4、6这3种可能，
∴朝上一面的数字出现偶数的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
16. 如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）的长度为__________．
【答案】
【解析】
【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．
【详解】设长臂端点升高，则，解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形在实际生活中的应用，列出比例式是解题关键．
17. 如图，菱形的边长为10，面积为80，，⊙O与边，都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】作DM⊥AB于M，连接AC、BD交于点G，根据求出菱形的面积求出DM，利用勾股定理求出AM，BD，证明△AOH∽△DBM，得到，即可解决问题．
【详解】作DM⊥AB于M，连接AC、BD交于点G，
∵菱形的面积为80，
∴，
∵AB=10，
∴DM=8，
∴=6，
∴BM=AB-AM=4，
在Rt△BDM中，BD=，
设⊙O与边相切于点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴∠AHO=∠AGB=∠DMB=，
∴∠OAH+∠AOH=∠GAB+∠ABG=∠ABG+∠BDM=，
∴∠AOH=∠BDM，
∴△AOH∽△DBM，
∴，
∴，
∴OH=．
故答案为：．
【点睛】此题考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的切线的性质定理，题中作高线利用相似三角形解决问题是解题的关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，矩形的四个顶点均在格点上，连接对角线．
（I）对角线的长等于__________．
（Ⅱ）将矩形绕点A顺时针旋转，使得点B的对应点恰好落在对角线上，得到矩形．请用无刻度的直尺，画出矩形，并简要说明这个矩形的各个顶点是如何找到的（不要求证明）__________．
【答案】（I）；（Ⅱ）图见解析，取格点，G，F，H，连接交边于点，连接和相交于点，则矩形即为所求
【解析】
【分析】（I）根据勾股定理计算即可；
（Ⅱ） 如图，取格点H，连接AH，交BD于，由网格线平行可得三角形相似，进而可得，再为边作矩形，即取格点，满足，G，取格点F，满足，连接，再取格点G，满足，连接相交于点，则矩形即为所求．
【详解】解：（1）在中，,
故答案为：
（Ⅱ）如图，取格点，G，F，H，连接交边于点，连接和相交于点，
则矩形即为所求．
．
【点睛】本题考查了网格问题、勾股定理、相似三角形，难度较大．此类问题一般运用勾股定理，全等、相似等知识解决．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解方程：x2+10x+9＝0．
【答案】x1＝﹣1，x2＝﹣9
【解析】
【分析】利用因式分解法进行解答即可.
【详解】解：方程分解得：（x+1）（x+9）＝0，
可得x+1＝0或x+9＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，正确的因式分解是解答本题的关键.
20. 学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有6，8，10三张扑克牌，学生乙手中有5，7，9三张扑克牌，每人从各自手中取一张牌进行比较，数字大的为本局获胜，每次获取的牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况；
（2）并求学生乙本局获胜的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意可以写出所有的可能性；
（2）根据（1）中的结果可以得到乙本局获胜的可能性，从而可以解答本题．
【详解】（1）由题意可得，每人随机取手中的一张牌进行比较的所有情况是：
（6，5）、（6，7）、（6，9）、（8，5）、（8，7）、（8，9）、（10，5）、（10，7）、（10，9）；
（2）学生乙获胜的情况有：（6，7）、（6，9）、（8，9），
∴学生乙本局获胜的概率是：=，
即学生乙本局获胜的概率是．
【点睛】考点：列表法与树状图法．
21. 如图，在中，，分别交，于点D，E．若，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴﹒
∴
又∵，，，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．
22. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AE=AB；
（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．
【详解】
（1）证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
（2）连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．
23. 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？
（Ⅰ）填空：
①当每件以35元出售时，可卖出__________件；利润为_________元；
②当每件以x元出售时，利润为__________元；其中x的取值范围是__________．
（Ⅱ）完成对本题的解答．
【答案】（Ⅰ）①65，325；②，；（Ⅱ）当定价为65元时，利润取最大值1225元
【解析】
【分析】（Ⅰ）①将x=35代入（100-x）求值可得，利用“利润=每件利润×销售量”可求出利润；
②利用“利润=每件利润×销售量”可求出利润；
（Ⅱ）根据所列二次函数求最大值即可．
【详解】解：（Ⅰ）①当x=35时，100-35=65（件）；65×（35-5）=325（元）
故答案为：65；325﹔
②利润为：；x的取值范围是．
故答案为：，；
（II）设利润为y元，根据题意得，
，，
因为该二次函数的图象与x轴交于，两点，
所以当时，
函数y取得最大值为（元）．
答，当定价为65元时，利润取最大值1225元．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行解答．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
24. 如图，将两个等腰直角三角形纸片和放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）如图，现将绕点O顺时针方向旋转，旋转角为，连接，，这一过程中和是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角的度数为__________时，所在直线能够垂直平分；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角的范围扩大为，那么在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．（直接写出结果即可）．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）仍然保持相等，理由见解析，90°；（Ⅲ）的面积的最大值为，旋转角α的度数为．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据点的坐标求出AC和BD的长，即可证明；
（Ⅱ）根据条件证明，即可得到，当旋转角α的度数为时，所在直线能够垂直平分，画出图象，证明和，即可得到结论；
（Ⅲ）的底AB长度是固定的，所以要使它面积最大，则点D到AB的距离要最大，过点O作于点F，点D到AB的最大距离就是点O到AB的距离加上OD的长，此时旋转角就是．
【详解】解：（Ⅰ）∵，，，，
，，，，
∴，，
∴；
（Ⅱ）根据题意：，，
∵，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
当旋转角α的度数为时，所在直线能够垂直平分，
如图所示，此时依旧成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即所在直线能够垂直平分，
故答案是：；
（Ⅲ）的底AB长度是固定的，所以要使它面积最大，则点D到AB的距离要最大，
已知点D的运动轨迹是一个圆，只要求出点O到AB的距离加上半径即可，
如图，过点O作于点F，
，
则点D到AB的最大距离是：，
∴，
是等腰直角三角形，，
，
则此时，
故的面积的最大值为，旋转角α的度数为．
【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆上一点到定直线距离最大值的求解方法．
25. 已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，该抛物线的顶点为D．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（Ⅱ）①直线的解析式为__________；
②过点D作轴于H，在线段上有一点P到直线的距离等于线段的长，求点P的坐标；
（Ⅲ）设直线交x轴于点E．过点B作x轴的垂线，交直线于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
【答案】（Ⅰ），顶点；（Ⅱ）①；②P的坐标为；（Ⅲ）向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长
【解析】
【分析】（Ⅰ）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；
（Ⅱ）①解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；
②应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．
【详解】解：（Ⅰ）设抛物线解析式为，把代入得．
∴，顶点
（II）①设CD的解析式为y=kx+b，
把和代入，得
解得
∴CD的解析式为：﹔
②作于M，设，
因为直线与x轴夹角为，
∴点P到的距离，且，又．
∴由题意，即，
∴
整理得：，
解得；（舍）．
∴P的坐标为．
（III）由上求得，．
①若抛物线向上平移，可设解析式为
．
当时，．当时，，
∴或．∴．
②若抛物线向下移，可设解析式为．
由，有．
∴，∴．
∴向上最多可本题考查了平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，第二问考垂直平分线性质，利用距离相等解题，最后一问考抛物线的平移，要注意已知条件和技巧．