2024重庆市缙云教育联盟高一上学期期末考试数学含解析

这是一份2024重庆市缙云教育联盟高一上学期期末考试数学含解析，共20页。试卷主要包含了 已知，，则的值为， 已知，则下列关系正确的是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D. 0
2. 已知在上的函数是增函数，满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列关于空集的说法中，错误的是（ ）
A. 0B.
C D.
4. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
5. 若函数 f( x)的定义域为 D，对于任意的 x1,x2D, x1x2，都有，称函数 f ( x) 满足性质，有下列四个函数① f ( x)  , x  (0,1) ；② g ( x) ; ③ h( x)  x2(x1); ④ k (x) ,其中满足性质的所有函数的序号为
A. ①②③B. ①③C. ③④D. ①②
6. 已知，，则的值为（ ）
A B.
C. D.
7. 已知直线与曲线交于三点，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
8. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
10. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则的最大值是；
B. 若，则；
C. 若，则的最大值是2；
D. 若，则有最大值.
12. 当时，下列不等式中不正确的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算：____________．
14. 以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则__________．
15. 若的内角，满足，则当取最大值时，角大小为________．
16. 若实数且，则的最小值为________
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，求
（1）的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
18. 已知函数．
（1）当时；解不等式；
（2）若，解关于x的不等式．
19. 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元，设矩形的长为，总造价为（元）.
（1）将表示为关于的函数；
（2）当取何值时，总造价最低.
20. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
21. 已知命题，，命题，，若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围.
22. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）已知函数，若的最小值为，求满足的的值.重庆缙云教育联盟2023-2024学年（上）期末质量检测
高一数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据解出集合，再根据交集的含义得到答案.
【详解】集合,
,
则,
故选：B.
2. 已知在上的函数是增函数，满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性脱掉“”，得到不等式，解不等式即可.
【详解】函数在上是增函数，且满足，
，
，
即的取值范围是：.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
3. 下列关于空集的说法中，错误的是（ ）
A. 0B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项.
【详解】A：因为用于元素与集合之间，故A错误；
B：因为空集是任何集合的子集，故B正确；
C：因为中的元素是，故C正确；
D：因为空集是任何集合的子集，故D正确；
故选：A
4. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A，B，再求出交集即可.
【详解】，，
由得，解得或，或，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了求函数值域，考查了分式不等式的解法，在求集合时，注意描述对象的确定，属于简单题.
5. 若函数 f( x)的定义域为 D，对于任意的 x1,x2D, x1x2，都有，称函数 f ( x) 满足性质，有下列四个函数① f ( x)  , x  (0,1) ；② g ( x) ; ③ h( x)  x2(x1); ④ k (x) ,其中满足性质的所有函数的序号为
A. ①②③B. ①③C. ③④D. ①②
【答案】B
【解析】
【分析】先阅读理解题意，再逐一检验函数是否满足对于任意的 x1,x2D, x1x2，都有，即可得解.
【详解】解：对于①，f ( x) ，x  (0,1)，则，
又，则，即，即，故①符合题意；
对于②，g ( x) ，则，不妨取，有，故②不合题意；
对于③，h( x)  x2(x1)，则，又，
则，则，故③符合题意；
对于④，不妨取，则，故④不合题意，
综上可得满足性质的所有函数的序号为①③，
故选B.
【点睛】本题考查了对函数新定义性质的理解，重点考查了运算能力，属中档题.
6. 已知，，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数之间关系化简得，再利用两角差的余弦公式得，最后再利用两角和的余弦公式即可得到答案.
【详解】,且,
则
整理得：,
则，
整理得,
所以
故选：D.
7. 已知直线与曲线交于三点，且，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】设，由已知可得，代入解析式两式相加得，求出可得答案.
【详解】因为三点在直线，，所以为的中点，
设，可得，
所以，
两式相加得，
，
所以，
整理得，
又因为，
所以有，
整理得，
因为，
所以，可得，
此时直线过点，则，
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是得出为的中点，且求出点坐标.
8. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数的图像，将的零点问题转化为与有个交点问题来解决，画出图像，根据图像确定的取值范围.
【详解】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以.令，易知，所以，将函数有个零点问题，转化为函数图像，与直线有个交点来求解.画出的图像如下图所示，由图可知，而，故.故选D.
【点睛】本小题主要考查分段函数图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质判断A，C；举例说明判断B，D作答.
【详解】因，则有，A正确；
因，取，则，B不正确；
，则，即，C正确；
因，取，满足，而，D不正确.
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由集合间的关系以及集合的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为是无理数，为有理数集，故A错误；
若，则必有，故B正确；
若，则有，故C正确；
如果有一个元素既属于集合又属于集合，则这个元素一定属于，故D正确；
故选：BCD
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则的最大值是；
B. 若，则；
C. 若，则的最大值是2；
D. 若，则有最大值.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式求和的最小值，逐项求解，结合取相反数、分离常数项以及建立不等式，可得答案.
【详解】对于A，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由，当且仅当时等号成立，且，则，整理可得，，由，解得，故C错误；
对于D，由，则，即，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
12. 当时，下列不等式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由幂函数和指数函数单调性比大小即可.
【详解】为减函数，
又，均错；
又和均为增函数，B错；
对于D，，而，∴D正确.
故选：.
【点睛】本题考查比大小问题，属于压轴题.关键在于构造函数，利用幂函数与指数函数的单调性解决问题即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 计算：____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接计算可得结果.
【详解】.
故答案为：.
14. 以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】利用三角函数定义求出角的正切，再利用和角的正切公式计算作答.
【详解】由正切函数定义得：，所以．
故答案为：-3
15. 若的内角，满足，则当取最大值时，角大小为________．
【答案】
【解析】
【详解】，,
当且仅当时取等号，因此当取最大值时，角为（若与三角形最多一个钝角矛盾）
16. 若实数且，则的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据，，变形，利用基本不等式求解最值.
【详解】实数且，
则
当时，即 时取得等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于对代数式进行准确变形，构造基本不等式求解，注意考虑最值取得的条件.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数，求
（1）最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
【答案】（1）；（2），此时的集合为
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式化简整理函数的表达式，由周期．
（2）先求解，由正弦函数性质求解最值即可．
【详解】（1）.
∴函数的最小正周期.
（2）∵，，∴∴.
此时，∴.
取最小值时的集合为
18 已知函数．
（1）当时；解不等式；
（2）若，解关于x的不等式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）将代入可得不等式.解二次不等式后,结合指数函数的性质即可求得解集.
（2）将不等式因式分解,根据的范围比较和的大小关系,即可求得不等式的解集.
【详解】（1）当时,函数化为
则
所以不等式化为
即
解不等式可得
不等式的解集为
（2）函数可化为
不等式
因为,则
所以此时不等式的解集为
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,比较参数的大小关系,属于基础题.
19. 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元，设矩形的长为，总造价为（元）.
（1）将表示为关于的函数；
（2）当取何值时，总造价最低.
【答案】（1）
（2）当时，总造价最低
【解析】
【分析】（1）根据题设先计算出绿化面积和硬化地面的面积，从而可得表示为关于的函数；
（2）由（1），再利用基本不等式可求何时取最小值即可.
【小问1详解】
因为矩形区域的面积为，故矩形的宽为，
绿化的面积为，
中间区域硬化地面的面积为，
故，
整理得到，
由可得，
故.
【小问2详解】
由基本不等式可得
，
当且仅当时等号成立，故当时，总造价最低
20. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
【答案】（1）8小时 （2）1.6
【解析】
【分析】（1）由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【小问1详解】
因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
【小问2详解】
设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
21. 已知命题，，命题，，若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围.
【答案】或
【解析】
【分析】先求命题都是真命题时a的范围，再利用条件列不等式组，求解即可.
【详解】由命题，为真命题，
则对任意恒成立，所以，即.
由命题，为真命题，则方程有实数解，
即，所以或.
因命题p，q一真一假，
（1）p真q假时，，
（2）p假q真时，，
综上，命题p，q一真一假时，实数a的取值范围或.
22. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）已知函数，若的最小值为，求满足的的值.
【答案】（1）
（2）0或2
【解析】
【分析】（1）消去后直接解不等式即可；（2）将代入的表达式中，整理进行换元可将表达式整理成一个含参的二次函数在定区间的最值问题，可求出的最小值为后解方程即可.
【小问1详解】
由题意：，得，所以，得.
故不等式的解集为：.
【小问2详解】
由题意得，
令，因为，所以.
设函数，.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增.
所以，得或（舍去）.
当，即时，在上单调递增，
所以，得或（舍去）.
综上，的值为0或2.
【点睛】复合函数求最值要多注意换元法，可以考虑从里层函数往外剥洋葱一样的方式一层一层往外求；含参的二次函数在定区间的最值，一般都需要分类讨论，讨论顶点横坐标和区间的位置关系.