辽宁省大连市普兰店区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份辽宁省大连市普兰店区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0B．2C．﹣2D．4
3．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，点在上，平分弦，连接，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将绕点逆时针旋转得到，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如果将10个大小重量完全相同的乒乓球放入一个袋中，其中5个黄球，3个绿球，2个红球，那么随机摸出一个红球概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．10
8．如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
9．圆锥的母线长为，底面半径长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．54cm2C．27cm2D．
10．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．当时，D．函数的最大值为
二、填空题
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12．已知点A（a，5）与点B（－3，b）关于原点对称，则a＋b的值是 ．
13．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则 ．
14．某公司一月份的产值为万元，计划三月份的产值达到万元，如果每月产值的增长率相同，设增长率为，可列方程 ．
15．在中，，，，点是边上一个动点，当 时，与相似．
三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2)．
17．已知二次函数．
(1)将化成形式；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
18．为积极响应“弘扬传统文化”的号召，学校倡导全校学生进行经典诗词诵背活动，为了解本次活动的持续效果，学校对初一、初二两个年级的学生进行了经典诗词背诵的测试，并从初一、初二两个年级各随机抽取20名学生的测试成绩进行整理分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
初一年级20名学生测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
初二年级20名学生测试成绩在组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
初一、初二两年级被抽取学生的测试成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；
(2)根据以上数据分析，你认为哪个年级整体测试成绩更好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)已知初二年级组有名男生和名女生，从中随机抽取两名学生，用列表法或树状图法求出恰好抽到名男生和名女生的概率．
19．学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？
20．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．

21．如图．是的外接圆，且．连接交延长交于点D．过点A作，垂足为点E．点F在的延长线上，连接．使．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径．
22．【背景信息】为了保持室内空气的清新，某仓库的换气窗采用了以下设计：
如图1，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以白动打开窗子上的通风口换气，通风口为（阴影部分均不通风），点F为的中点，是可以沿窗户边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
设窗子的边框、分别为、，窗子的高度（即点E到的距离）为．
【初步探究】
（1）若，，
①与之间的距离为，求此时的面积；
②与之间的距离为，试将通风口的面积表示成关于的函数；
【拓展提升】
（2）若金属杆移动到高于所在位置的某一处时，通风口面积达到最大值，h需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 （用含a，b，h的代数式表示）．

23．小明同学在学习全等三角形的时候发现：当题目中存在“一边一角”的情况时，可以通过添加辅助线“造边”或“造角”构造全等三角形解决问题．
(1)【问题初探】
如图1，在中，，点在上，点在上，且，找出图中与相等的角，并证明；
(2)【拓展探究】
小明通过探究发现，图1中与之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论；
(3)【类比迁移】
如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件保持不变，当，时，求的值．
平均数
中位数
方差
众数
初一年级
25
初二年级
27
参考答案：
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．B
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式求值、一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．C
【分析】根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减，进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，利用垂径定理，圆周角定理和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：平分弦，为的半径，
，
，
．
．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，利用旋转角的定义解答即可．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，
的度数等于旋转角的度数，
的度数是．
故选：D．
6．D
【分析】根据概率公式进行计算即可，此题考查了简单事件的概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.
【详解】解：将10个大小重量完全相同的乒乓球放入一个袋中，其中5个黄球，3个绿球，2个红球，那么随机摸出一个红球概率为，
故选：D
7．C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得．
【详解】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后利用扇形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：底面周长是：，
则圆锥的侧面积是：．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴在轴左侧，抛物线与轴交点在轴上方可判断选项A，由抛物线与轴交点个数可判断选项B，由抛物线对称性及抛物线经过可判断选项C，由抛物线开口向下，对称轴为直线可判断选项D．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
．选项A正确，不合题意．
抛物线与轴有两个不同交点，
，选项B不正确，符合题意．
抛物线经过，对称轴为直线，
抛物线经过，
时，，选项C正确，不合题意．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，函数有最大值，选项D正确，不合题意．
故选：B．
11．
【分析】根据二次函数的图像与性质，对于顶点式可以直接读出其顶点坐标，从而得到答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟记抛物线顶点式性质是解决问题的关键．
12．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），根据这一结论求得a，b的值，再进一步计算．
【详解】解：∵点A（a，5）与点B（－3，b）关于原点对称，
∴，
∴a＋b=3-5=-2；
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键.
13．1
【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：1．
14．
【分析】设增长率为，根据增长率问题列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设增长率为，根据题意得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
15．6或
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，直接利用或，分别得出答案．
【详解】解：，，，
．
当时，
，
，
解得：；
当时，
则，
，
解得：，
综上所述：当或6时，与相似．
故答案为：或6．
16．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把二次函数化为顶点式：
（1）利用配方法求解即可；
（2）根据（1）所求得到当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，求出当时，，当时，，当时，，据此可得答案．
【详解】（1）解；
；
（2）解；∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
当时，，
当时，
当时，，
∴当时，y的取值范围为．
18．(1)40，28
(2)初一年级，见解析
(3)
【分析】本题主要考查了数据的分析与整理，扇形统计图，统计表，平均数，中位数，众数，方差
（1）利用扇形统计图和初二年级20名学生测试成绩在组中的数据求得组的人数即可；利用众数的定义解答即可得出结论；
（2）利用平均数或中位数的定义分析解答即可；
（3）利用列表法解答即可．
【详解】（1）解：解：由扇形统计图可得：组有个，组有个，
由题意得：组中6个，
组有（个，
，
．
初一年级20名学生测试成绩中出现了次，出现次数最多，
初一年级20名学生测试成绩的众数为，
．
故答案为：；；
（2）解：初一年级整体测试成绩更好，理由：
初一年级被抽取学生的测试成绩的平均数为，初二年级被抽取学生的测试成绩的平均数为，
又，
初一年级整体测试成绩更好．
（3）解：初二年级组有2名男生和2名女生，从中随机抽取两名学生，列表如下：
由表格可知：有2名男生和2名女生，从中随机抽取两名学生共有12种等可能，其中恰好抽到1名男生和1名女生的可能有8种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为：．
19．(1)y与x之间的函数表达式为：
(2)绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米
【分析】（1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解；
（2）令代入方程求解即可．
【详解】（1）解：长和宽增加后矩形的长为，宽为，
则由题意得
，
∴y与x之间的函数表达式为：.
（2）解：将代入中得，，
解得，，（舍去），
∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
20．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
，
，
根据题意得，，，，
，
答：的大致距离为．
21．(1)直线是的切线，见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，由角的等量代换即可证明，可得结论；
（2）连接，延长交于点M，证明，在中，，代入计算即可．
【详解】（1）直线是的切线，
证明：连接，

∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）如图，连接，延长交于点M，

∵，，
∴，，
∴
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴
解得，．
即的半径为．
【点睛】本题考查圆的有关性质，圆周角定理，切线的判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握圆的有关性质是解题的关键．
22．（1）①；②当时，；当时，；（2）；
【分析】（1）①利用三角形的面积公式解答即可；②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答，当当时，利用三角形的面积公式解答即可，当时，利用相似三角形的判定与性质求得的长度，再利用利用三角形的面积公式解答即可；
（2）利用（1）值的方法求得y与x的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可．
【详解】解：（1）①当，，时，．
②当时，；
如图1，过作，垂足为，分别与，相交于点，，

当时，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
由题意可知，，，
，，
，
，
又，分别是，的对应高，
，即，
化简，得：，
；
综上可知，当时，；当时，；
（2）如图，已知中有内接矩形，其中，在，边上，，在边上，过点A作于点E，交于点D，则，，

设，，，
，
，
即，
，
，
当时，矩形的面积最大，
此时，，即，
当为三角形中位线时，矩形的面积最大，且最大面积为面积的一半，即，
如下图，延长，交直线于，，

则为的中位线时，矩形的面积最大，
当在上方时，即，此时通风口的面积最大，面积为面积的一半，
作于点S交于点J，
，
，
即，
，
通风口的面积矩形面积的最大值面积的一半，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．(1)，见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识
（1）由三角形外角的性质可得出结论；
（2）在上截取，证明，由全等三角形的性质得出，，证出，则可得出结论；
（3）作，交于点，则，过点作，交的延长线于点，证明，得出，求出，证明，得出，则可得出答案．
【详解】（1）解：．
证明：，，且，
；
（2）．
证明：在上截取，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：作，交于点，则，过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
的值为．