安徽省合肥市蜀山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市蜀山区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列四个图案中，是轴对称图形的（ ）
A．B．C．D．
3．已知三角形的两条边长分别是，，则该三角形的周长不可能是（）
A．B．C．D．
4．已知，是一次函数图像上的两个点，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．下列命题中，一定是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于三角形任何一个内角
B．两边和一角分别相等的两个三角形全等
C．垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等
D．有两个内角互余的三角形是直角三角形
6．如图，在中，，，垂足分别为、，、相交于点，已知，，则的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0.5B．2C．3D．5
8．如图，在中，，，，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
9．某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息．已知甲先出发3分钟．在整个过程中，甲、乙两人之间距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为2700米；③乙行的速度为90米/分钟；④甲走完全程用了39分钟；⑤乙用15分钟追上甲．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
10．在中，，点、分别在边、上，连接、，使得是等腰三角形，若，，则的度数为（）
A．或B．或C．或D．或或
二、填空题
11．函数中自变量x的取值范围是 ．
12．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是 ．
13．一次函数y＝kx+b(k≠0，k，b为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＜0的解集为 ．
14．如图，，，，，、交于点，则的度数是 °．
15．如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若的面积为4，则的面积是 ．
16．已知一次函数．
（1）无论取何非零的值，一次函数的图象都经过一定点，则这个点的坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系中有一条线段，其中，，若这个一次函数的图象与线段相交，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将向右平移4个单位，作出平移后的（点、、的对应点分别为点、、）；
(2)作出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、）；
(3)写出、的坐标．
18．已知一次函数的图象与直线平行，且与轴交于点，求该一次函数的表达式．
19．如图，在湖泊的岸边有A、两点，难以直接度量出A、两点间的距离，请你利用全等三角形的知识设计一种量出A、两点间距离的方案；并说明你这样设计的理由．
20．求证：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
21．如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．
22．天气寒冷，某商场计划采购空调、电热水器共台．进价和售价见下表．
设商场计划购进空调台，空调和电热水器全部销售后商场获得的利润为元．
(1)求与的函数关系式；
(2)若该商场计划最多投入资金万元用来采购这些空调、电热水器，并且全部销售后利润超过4万元，则该商场有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，选择哪种进货方案，商场获利最大，最大利润是多少元？
23．如图1，点、分别在射线，上，且为钝角，现以线段、为底边向的外侧作等腰三角形，分别是，．
(1)如图2，连接、，交于点，连接，若．
①求证：；
②求证：平分；
(2)如图3，若点，分别是，的中点，连接、并延长交于点，连接、、，当 °时，为等边三角形．
空调
电热水器
进价（元/台）
售价（元/台）
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此解答即可
【详解】解：∵，，
∴在第二象限，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．
【详解】A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D
3．A
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．设第三边的长为，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，据此求出周长范围即可．
【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系得：，
即，
设三角形的周长为
则该三角形的周长范围为：，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查一次函数图像性质．根据题意可知一次函数y随x的增大而减小，即x值越小，y值越大，即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，是一次函数图像上的两个点，
∵，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查判断命题的真假，主要考查三角形外角的性质，全等三角形的判定，垂直平分线的判定，直角三角形的判定．对于真命题，需要证明，而对于假命题，只需举一个反例即可．因此选项A，B，C可举反例说明是假命题，D选项进行证明．
【详解】A选项：如图，是钝角的外角，明显小于内角；
∴命题“三角形的外角大于三角形任何一个内角”是假命题；
B选项：如图，在和中，，，，明显和不全等．
∴命题“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是假命题；
C选项：如图，直线l是线段的垂直平分线，点P是直线上一点，点D是线段上任意一点，．
∴命题“垂直平分线上的点到线段上任意两点距离相等”是假命题；
D选项：如图，在中，与互余，
即，
∴，
∴是直角三角形．
∴命题“有两个内角互余的三角形是直角三角形”是真命题．
故选：D
6．C
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，根据全等三角形的性质得到，结合线段的和差关系，即可得到结果．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，，
，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了新定义、一次函数的图象及性质．
根据定义分情况列出不等式：①当时，；②当时，，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解】①当，即时，，
∵，y随x的增大而减小，
∴当，y有最大值，为；
②当，即时，，
∵，y随x的增大而增大，
∴当，．
综上所述，，即y的最大值为3．
故选：C
8．B
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题关键是通过角边角证明三角形全等．
【详解】解：在中，，，
，
，，，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合思想．根据题意和函数图像可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以得到本题答案．
【详解】解：通过图像可以看出甲先走3分钟，甲乙之间相距225米，
∴甲的速度为：米/分钟，
∴①正确；
∵通过图像可知甲步行36分钟时，乙一共走的时间为：（分）到达终点，
∴甲步行36分钟时步行的路程距离终点还剩270米，
∴全长一共：（米），
∴②不正确；
∴乙的速度为：米/分钟，
∴③正确；
∴甲走完全程时间：（分），
∴④不正确；
∵（分），
∴乙用15分钟追上甲，
∴⑤正确，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，三角形的内角和定理，解题关键是分类讨论思想．由是等腰三角形，可分为，，三种情况讨论即可求解．
【详解】解析∶，
，
，
，，
是等腰三角形，
当即（不符合题意，舍去），
或，
当时， ，
当时，，
故选：A．
11．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件.
【详解】解：要使在实数范围内有意义，必须．
12．若a2＞b2，则a＞b
【分析】把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题．
【详解】解：“若a＞b，则a2＞b2”的条件是“a＞b”，结论是“a2＞b2”，其逆命题是若a2＞b2则a＞b．
故答案为：若a2＞b2则a＞b．
【点睛】本题考查了原命题和逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
13．x＞2
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＜0的解集．
【详解】解：函数y＝kx+b的图象经过点(2，0)，并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＞2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞2．
故答案为x＞2．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．50
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质及三角形内角和定理，设、交于点，根据三角形外角的性质可求出的度数，根据全等三角形的性质可得，利用三角形内角和为即可得答案．熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
【详解】解：如图，设、交于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴
故答案为：50
15．8
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明 可得到，是解题关键．
【详解】解：延长交于点E如图：
，平分，
，
，
，
，，
，
的面积为4，
，
故答案为：8．
16． 或
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题．
（1）将函数解析式转化为， 即可求解；
（2）由（1）可知定点C，即可求解直线的解析式，由一次函数的图象与线段相交，即可求解的取值范围．
【详解】解：（1）将一次函数变形为：
当时，即时，
不论取何值，函数一定经过一个固定的点，这个点的坐标是
故答案为∶ ．
（2）由（1）问可知一次函数经过一个固定的点为C点坐标为，
设直线解析式为：，
代入点坐标可得：
，
解得：，
设直线解析式为：，
代入点坐标可得：
，
解得：，
一次函数的图象与线段相交，
或．
故答案为：或．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)、
【分析】本题考查在平面直角坐标系中图形平移对称．
（1）根据题意先写出中各个点坐标，再将横坐标加4即可得到平移后的点坐标、、，连接三点即可得到图形；
（2）将、、三点坐标纵坐标均乘以得到、、，再连接三点即可得到；
（3）由（2）即可知、的坐标．
【详解】（1）解：∵，将向右平移4个单位
∴、、，如下图所示：
；
（2）解：由（2）知：、、，
∵做出关于轴对称的
∴、、，画图如下：
；
（3）解：由（2）中计算可知、．
18．
【分析】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与轴的交点问题，熟知两直线平行则k相等是解题的关键．根据直线与直线平行得到k的值；再根据直线交轴于点得到b的值，进而得出函数的表达式．
【详解】解：一次函数的图象与直线平行，
，
将点代入中，可得
，
一次函数的表达式为：．
19．见解析
【分析】先在平地上取一个可直接到达A、B两点的点C，连接并分别延长、至E、 D，使， ，测出的长，即得A、两点间距离；理由是根据判定，根据全等三角形的对应边相等可得．
本题主要考查了全等三角形的应用——测距，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
【详解】设计方案：
①先在平地上取一个可直接到达A、B两点的点C，连接，；
②分别延长至E，至D，使，；
③连接，测出的长，即得A、两点间的距离，如图．
设计理由：
∵在和中，
，
∴，
∴（全等三角形对应边相等），
故得A、两点间的距离等于的长．
20．见解析
【分析】本题考查等腰三角形判定的证明．
分析命题后用几何语言写出已知和求证，再进行证明．已知：如图，在中，．求证：．证明：作于点D，通过“”证明，即可解答．
【详解】已知：如图，在中，．
求证：．
证明：过点A作于点D，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，
（1）根据题意判定即可得到本题答案；
（2）由（1）知可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．(1)
(2)方案1：购空调台，购电热水器台；
方案2：购空调台，购电热水器台；
(3)选方案2；（元）
【分析】本题主要考查了一次函数和不等式组的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，列不等式组解应用题，最重要的是审题，审题是列不等式组的基础，而列不等式组是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，发现明显的或隐含的关系，或者利用一些比较明显的数学结论，准确找出已知量与未知量之间的关系，正确地列出不等式组．
（1）（空调售价空调进价）x（电热水器售价彩电热水器进价）即可求解；
（2）根据用于一次性购进空调、彩电共台，总资金为万元，全部销售后利润超过4万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；
（3）利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．
【详解】（1）解：设商场计划购进空调台，则计划购进电热水器台，
由题意，得
；
（2）由题意，有,
解得.
为整数，
，
即商场有两种方案可供选择：
方案1：购空调台，购电热水器台；
方案2：购空调台，购电热水器台；
（3），
y随x的增大而增大，即当时，y有最大值为：
（元），
故选方案2：购空调台，购电热水器台；商场获利最大，最大利润是元
23．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）①由，是等腰三角形，且，可得，再通过边角边即可求证；②三角形全等则有两三角形对应边所对的高线相等，由角平分线的性质即可求证；
（2）连接根据垂直平分线的性质及判定得到，由为等边三角形即可得，由四边形的内角和为即可求证．
【详解】（1）解：①，是等腰三角形，且，
，是等边三角形，
，，
，
，
，
；
②过点A作如图：
，
，
平分；
（2）连接如图所示：
，是等腰三角形，点，分别是，的中点，
分别是线段的垂直平分线，
，，
为等边三角形，
，
，
，
在四边形中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．