第07讲 等差数列及其求和-【寒假讲义】高二数学寒假讲义练习（人教B版 选择性必修三）

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1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.
【知识导航】
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于_____常数d，即_____恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝eq \f(x＋y,2).
②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝_____.
(2)前n项和公式：Sn＝_______________.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋__________(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝__________，且S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝_____，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
【知识预习】
考点一：等差数列
1．在等差数列中，若，，则（ ）
A．14B．15C．16D．8
2．等差数列中，已知，，则公差d（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知数列满足，且，则的通项公式（ ）
A．nB．C．D．
4．等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．2020B．1525C．1515D．2015
5．已知为递增的等差数列，，若，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
考点二：两角和与差的余弦
6．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．设公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知等差数列，前n项和为，则（ ）
A．200B．300C．500D．1000
9．在等差数列中，，则数列的前项和的最大值为（ ）
A．B．C．或D．
10．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练】
一、单选题
1．已知是数列等差数列，，则公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．B．1C．D．2
3．已知等差数列中，，，则的值是（ ）
A．4B．15C．31D．64
4．数列的前项和，则当取最小值时是（ ）
A．2或B．2C．3D．3或
5．已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．7B．C．D．10
7．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（ ）
A．升B．升C．升D．升
8．已知等差数列的前项和为且，则的前项和为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．记为等差数列的前项和，则（ ）
A．B．
C．，，成等差数列D．，，成等差数列
10．已知等差数列的前n项和为，公差为d，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．在等差数列中,,则___________.
12．设等差数列的前项和为 ，若公差则 __
四、解答题
13．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
14．已知数列中，且.
(1)求；
(2)求数列{}的前n项和的最大值.
15．已知等差数列的前n项和为.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若，求数列{}的前n项和Tn.
【提升作业】
一、单选题
1．已知等差数列中，，公差，则数列的前4项和（ ）
A．15B．30C．50D．75
2．已知等差数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．记数列是等差数列，下列结论中一定成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．55B．60C．65D．75
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2022这2022个数中，能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．145项B．146项C．144项D．147项
二、填空题
6．等差数列前n项和，等差数列前n项和，，则_____.
7．为等差数列，，则__________.
三、解答题
8．已知是等差数列的前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求n的最小值．
9．已知数列满足，记，
(1)写出数列的前4项；
(2)记，判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)求的前20项和．
10．已知正项数列和为数列的前项和，且满足
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.