2023-2024学年北京大兴区高二上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年北京大兴区高二上学期期末数学试题及答案，共10页。

本试卷共4 页，共两部分，21 道小题．满分 150 分。考试时间 120 分钟。
在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
2022．4
2024．1
第一部分 （选择题共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
2
2

椭圆 xy1 的长轴长为
94
（A） 4（B） 5
（C） 6（D） 9
2
双曲线 x
y 2
 1 的渐近线方程为
42
y  x
2
y 
x
2
y  2x
y  1 x
2
若直线l 的方向向量为(2，1，m) ，平面 的法向量为(1 1 2) ，且l   ，则? =
， ，
2
（A）1（B） 2
（C） 3（D） 4
两条平行直线 x  y  0 与 x  y 1  0 间的距离等于
（A） 2
2
（B）1
（C） 2（D） 2
过点(1，0) 且被圆 x2  ( y  2)2  1 截得的弦长最大的直线方程为
（A） 2x  y  2  0
（C） x  2 y 1  0
（B） 2x  y  2  0
（D） x  2 y 1  0
圆C : x2  y2  2 与圆C : (x  2)2  ( y  2)2  2 的位置关系是
12
（A）相交（B）相离
（C）内切（D）外切
采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率.先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，规定 1，2，3，4 表示命中，5，6，7，8，9，0 表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了 20 组随机数：
907 966 181 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为
（A） 3
10
（C） 2
5
x2y2
（B） 7
20
（D） 9
20
若方程
 1表示双曲线，则实数 m 的取值范围是
m  34  3m
（A） (
4
(3， )
， ) 3
（B） ( 4 ，3)
3
(3， )
（C） (， 4)
3
2y2
（D） ( 4 ，3)
3
已知 F1 ，F2 是双曲线C1 : x  8
 1 与椭圆C2 的左、右公共焦点， A 是C1 ，C2 在第一
象限内的公共点，若| F1 F2 || F1 A |，则C2 的离心率是
（A） 3
5
（C） 1
3
（B） 2
5
（D） 2
3
12
平面内与定点 F a，0，F a，0 距离之积等于a2 a  0 的动点的轨迹称为双纽线.曲
2
线C 是当 a  2
时的双纽线， P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是
曲线C 关于原点对称
满足 PF1  PF2 的点 P 有且只有一个
OP ≤ 4
若直线 y  kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为(1，1)
第二部分 （非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
若 A，B 为互斥事件， P(A)  0.2 ，P(B)  0.3 ，则 P(AB)  ．
经过原点(0，0) 且与直线3x  4 y  5  0 垂直的直线方程为．
已知双曲线C : x2
y2
 1(m 
m20) 是等轴双曲线，则C 的右焦点坐标为；C 的焦
点到其渐近线的距离是．
探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面(其纵断面是拋物线的一部分)，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光
线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．如图，根据光路可逆性，在平面直角坐标系中，一条光线经过 M (8 ，6) 与 x 轴平行射到抛物线
0
C : y2  8x 上，经过两次反射后经过 N (8，y ) 射出，则光线从点 M 到
N 经过的总路程为； y0  .
画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
x2y22
C : 1(a  b  0) 的离心率为
a2b2
2 ， F1 ， F2 分别为椭圆的左、右焦点， A，B 为椭圆上
两个动点．直线l 的方程为bx  ay  a2  b2  0. 给出下列四个结论：
①C 的蒙日圆的方程为 x2  y2  3b2 ；
②在直线l 上存在点 P ，椭圆C 上存在 A，B ，使得 PA  PB ；
③记点 A 到直线l 的距离为d ，则d  | AF2
| 的最小值为 4 3 b ；
3
④若矩形 MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形 MNGH 面积的最大值为6b2 ．其中所有正确结论的序号为．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
已知直线l1 ： mx  8y  n  0 和l2 ： 2x  my 1  0 .
若l1 与l2 相交于点 P(m，1) ，求 m，n 的值；
若l1l2 ，试确定 m，n 需要满足的条件．
（17）（本小题 14 分）
已知椭圆C : x2  y2  1 与经过左焦点 F 的一条直线交于 A，B 两点.
431
若 F2 为右焦点，求ABF2 的周长；
若直线 AB 的倾斜角为 π ，求线段 AB 的长.
4
（18）（本小题 14 分）
已知圆 C 经过点 A(2, 0) ，与直线 x+y  2  0 相切，且圆心 C 在直线2x+y 1=0 上.
求圆 C 的方程；
已知直线 l 经过点(0，1) ，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
（19）（本小题 14 分）
如图，在四面体 ABCD 中， AD  平面 ABC，点 M 为棱 AB 的中点， AB  AC  2 ，
BC  2 2，AD  2.
证明： AC  BD ；
求平面 BCD 和平面 DCM 夹角的余弦值；
在线段 BD 上是否存在一点 P ,使得直线 PC 与平面 DCM 所成
角的正弦值为 6 ？若存在, 求 BP 的值；若不存在,请说明理由．
6BD
（20）（本小题 14 分）
已知抛物线 C： y2  2 px ( p  0) ，过 C 的焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于不同的两点 P，Q ，且| PQ | 4.
求抛物线 C 的方程；
若过点 M (0, 2) 的直线 l 与 C 相交于不同的两点 A，B，N 为线段 AB 的中点，O 是
坐标原点，且AOB 与MON 的面积之比为 3 : 1 ，求直线 l 的方程．
（21）（本小题 15 分）
已知椭圆C : x2  y2 的上、下顶点为 B ，B
，左、右焦点为 F ，F ，
a2b2
1(ab0)2112
四边形 B1F1B2 F2 是面积为 2 的正方形．
求椭圆 C 的方程；
若 P 是椭圆 P 上异于 B1 ， B2 的点，判断直线 PB1 和直线 PB2 的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；
已知圆 x2  y2  2 的切线 l 与椭圆C 相交于 D，E 两点，判断以 DE 为直径的圆是否
3
经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
2023~2024 学年第一学期期末检测试题参考答案与评分标准高二数学
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 0.5
（12） 4x  3y  0
（13） ( 2 ，0) ；1
（14） 20 ； 8
3
（15）①②④
注：13、14 题第一空 3 分，第二空 2 分.
15 题选对一个 2 分，选对两个 3 分，选错 0 分.
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 14 分）
解：(Ⅰ) 将点 P(m，1) 代入两直线方程得： m2  8  n  0 且2m  m 1  0 ，解得m  1 ， n  7.7 分
（Ⅱ）当 m  0 时，直线l1 与l2 不平行；
 m   2
当 m  0 时，由l // l 得：  8m ，
12 n1

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
B
D
A
B
D
B
A
A
D
m  4
 8m
m  4
解得n  2 ，或n  2，

所以当 m  4 且 n  2 ，或 m  4 且 n  2 时， l1 // l2.
…………7 分
（17）（共 14 分）
3
解：（Ⅰ）椭圆 x2  y2  1， a  2 ， b ， c  1，
43
由椭圆的定义，得 AF1  AF2
 2a  4 ， | BF1 |  BF2
 2a  4 ，
又 AF1  | BF1 || AB | ，
所以ABF2 的周长为| AB |  AF2  BF2  4a  86 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 F (1，0) ，因为直线 AB 的倾斜角为 π ，则直线 AB 的斜率为 1，
14
设 A(x1 ，y1 ) ， B(x2 ，y2 ) ，故直线 AB 的方程为 y  x 1 ，
 y  x  1


由 x2  y2 
 43
整理得7x
1
2  8x  8  0，  82
 4  7 8  0 ，
由根与系数的关系得 x  x
  8 ， x x  8 ，
则| AB |
127
1 27
(x  x )2  ( y  y )2
12
12
( y  y )2  4 y y
12
1 2
 11 
 2 
 24 .8 分
( 8)2  4 ( 8)
7
7
7
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）因为圆心 C 在直线 2x  y 1  0 上，可设圆心为C(a,1 2a).
2
则点 C 到直线 x  y  2  0 的距离d  | a 1|.
2
据题意， d | AC | ，则| a 1 | 
(a  2)2  (1  2a)2
，解得a  1.
所以圆心为C(1, 1) ，半径r  d  2 ，
则所求圆的方程是(x 1)2  ( y 1)2  2.
…………7 分
2  d2
直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，则2  2，即圆心到直线 l 的距离d  为 1，
直线斜率不存在时，直线方程为 x  0 ，符合题意；
直线斜率 k 存在时，设直线方程为 kx  y 1  0 ，
k 2 1
圆心到直线的距离 | k  2 |  1 ，k   3 ，
4
所以直线方程为3x  4y  4  0.
综上所述，直线方程为 x  0 或3x  4 y  4  0. ……7 分
（19）（共 14 分）
解：（Ⅰ）因为 AD  平面 ABC， AC  平面 ABC，所以 AD  AC ，因为 AB  AC  2，BC  2 2 ，所以 AB2  AC2  BC2 ，
所以 AB  AC .
又因为 ADAB  A ，AD， AB 平面 ABD，所以 AC  平面 ABD，
因为 BD  平面 ABD，
所以 AC  BD.……4 分
因为 AD  平面 ABC， AB 平面 ABC，所以 AD  AB .又因为 AD  AC ， AB  AC ，
如图，以 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角
坐标系，则 A(0，0，0) ， M (1，0，0) ， B(2，0，0) ， C(0，2，0) ， D(0，0，2) ，
MC  (1，2，0) ， MD  (1，0，2) ，
BC  (2，2，0) ， BD  (2，0，2) ，
设n  (a，b，c) 是平面 DCM 的法向量，

则 n  MC  a  2b  0 ，令c  1 ，得n  (2，1，1) ，
n  MD  a  2c  0
设平面 BCD 的法向量为m  (x，y，z) ，

则 m  BC  2x  2 y  0 ，令 z  1 ，则m  (1，1，1) ，
m  BD  2x  2z  0
设平面 BCD 和平面 DCM 夹角为 ，则
cs | cs  m，n ||
m  n| 2 2 ，
| m |  | n |3
所以平面 BCD 和平面 DCM 夹角的余弦值为
. ……5 分
2 2
3
设点 P 满足， BP   BD (0 ≤ ≤1) ，
则 AP  AB  BP  AB   BD  (2  2，0，2) ，
CP  CA  AP  (2  2， 2，2) .
若直线 PC 与平面 DCM 所成角的正弦值为 6 ，
6
| 2  2 |
8  8  82  6
则 6  | cs  CP，n |=，
6
化简得2  1，所以 无解.
所以在线段 BD 上不存在点 P ,使得直线 PC 与平面 DCM 所成角的正弦值为
6 .……5 分
6
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由抛物线方程，得 P，Q 两点所在的直线方程为 x  p .
2
则 PQ  2 p  4 ，故 p  2.
所以抛物线 C 的方程为 y2  4x.
……5 分
（Ⅱ）设 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， N (x0 , y0 ) ， M (0, 2) ，
 y2  4x
显然直线 l 的斜率存在，设直线 l： y  kx  2(k  0) ，联立，
 y  kx  2
消去 y 得k 2x2  4(1 k)x  4  0 ，
因为  16(1 k)2 16k2  0 ，得k  1 且 k  0 ，
2
所以 x  x
 4(1  k) ， x x  4 ，
12k21 2k 2
因为 S AOB 
3S MON ，所以| AB |
3 | MN | ，
所以
| x  x
|
| x  0 | ，
1  k2
3 1  k2
120
即| x1  x2 | 3 | x0 |，
因为 N 是 AB 的中点，所以 x
 x1  x2 ，
2
所以(x1  x2 )
02
(x  x )2
 4x1 x2  3 12 ，
4
121 2
整理得(x  x )2  16x x ，
所以[ 4(1  k)]2  64 ，解得k  1 ， k  1 ，
k2k2123
所以直线 l 的方程为 y  x  2 或 y  1 x  2.
3
……9 分
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ）已知得2b  2c ， a2  2 ，则b  c  1，
x22
则所求方程为： y
2
 14 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： B1(0, 1) ， B2 (0,1) ，
设 P(m，n) ，则
m2
n 
 2
1，
2
n 1 n 1n2 11
12
所以kPB  kPB 

mmm2
 ．
2
所以直线 PB 和直线 PB 的斜率之积为定值 15 分
122
(i) 当直线 l 的斜率不存在时，
因为直线 l 与圆 M 相切，故其中的一条切线方程为 x 6 .
3
代入椭圆方程可得，可得 D( 6 , 6 ) ， E(
6 ,  6 ) ，
33
则以 DE 为直径的圆的方程为(x 
当直线 l 的斜率为 0 时，
33
6 )2  y2  2 .
33
因为直线 l 与圆 M 相切，所以其中的一条切线方程为 y  6 .
3
代入椭圆方程可得，可得 D( 6 ,  6 ) ， E(
6 ,  6 ) ，
33
则以 DE 为直径的圆的方程为 x2  ( y 
33
6 )2  2 .
33
显然以上两圆都经过点O(0, 0).
当直线 l 的斜率存在且不为零时，设直线 l 的方程为 y  kx  m.
代入椭圆方程消去 y，得(2k2 1)x2  4kmx  2m2  2  0 ，
设 D(x , y ) ， E(x , y ) ，则 x  x  4km ， x x 
1 122122k 2  11 2
22
2m2  2
2k 2  1 .
m2  2k 2
所以 y1 y2  (kx1  m)(kx2  m)  k x1x2  km(x1  x2 )  m 
3m2  2k 2  2
2k 2 1 .
所以OD  OE  x1 x2  y1 y2 
因为直线 l 和圆 M 相切，
①，
2k 2 1
所以圆心到直线 l 的距离d 
| m |
6 ，整理，得m2  2 (1  k 2 ) ，②
1  k 2
33
将②代入①，得OD  OE  0 ，显然以 DE 为直径的圆经过原点O(0,0) ，综上可知，以 DE 为直径的圆过定点(0, 0).6 分