06圆锥曲线（抛物线）-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版

这是一份06圆锥曲线（抛物线）-天津市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教版A版，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2024上·天津河东·高二统考期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·天津津南·高二校考期末）准线为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·天津·高二校联考期末）已知抛物线的焦点为F，双曲的离心率为，F到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）．
A．B．C．D．
4．（2018上·天津红桥·高二统考期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·天津红桥·高二统考期末）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段 的长度为（ ）
A．4B．C．2D．
8．（2022上·天津河西·高二校考期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022上·天津南开·高二天津市天津中学校考期末）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）过抛物线C：（）的焦点F的直线l与抛物线C交于两点A，B，若，则直线l的斜率（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线上，，则点P的横坐标为（ ）
A．5B．8C．4D．6
12．（2022上·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）双曲线的右焦点恰是抛物线的焦点，双曲线与抛物线在第一象限交于点，若，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为 ；双曲线的渐近线方程为 .
14．（2024上·天津河北·高二统考期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为 .
15．（2024上·天津和平·高二统考期末）设点F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线C上，点，若，则 ．
16．（2023上·天津津南·高二校考期末）给出下列命题：
①直线与线段相交，其中，则的取值范围是；
②圆上恰有3个点到直线的距离为1；
③直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.
其中正确的命题有 .（把正确的命题的序号填上）
17．（2023上·天津·高二校联考期末）已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为 ．
18．（2023上·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）设抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是 .
19．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为．抛物线C的方程为 ；准线方程为 ．
20．（2018上·天津和平·高二统考期末）若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为 ．
三、解答题
21．（2022上·天津东丽·高二统考期末）已知抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)过拋物线的焦点的直线交于两点，设为原点.当直线的斜率为1时，求的面积；
22．（2023上·天津河西·高二统考期末）已知抛物线的方程为，它的准线过双曲线的一个焦点，且抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程.
23．（2023上·天津·高二校联考期末）已知椭圆的左焦点F与抛物线的焦点相同，且椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C方程；
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M（点M在第二象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线与直线交于点P且，求直线l的斜率．
24．（2023上·天津河西·高二天津市第四十二中学校考期末）（1）求经过点的抛物线的标准方程：
（2）求一条渐近线为，且过点的双曲线的标准方程；
（3）求经过点(3，)，(，5)的双曲线的标准方程．
25．（2023上·天津河西·高二天津实验中学校考期末）已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.
(1)求双曲线的离心率和渐近线方程；
(2)求抛物线的方程和抛物线的准线方程；
(3)若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.
参考答案：
1．B
【分析】由抛物线的标准方程求解即可.
【详解】抛物线的焦点在x的正半轴上，，所以焦点坐标为.
故选：B.
2．D
【分析】根据抛物线的准线得到，进而写出抛物线方程.
【详解】由准线为，即抛物线焦点为，即，
所以抛物线方程为.
故选：D
3．B
【分析】首先根据离心率公式，求渐近线方程，再根据点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由条件可知双曲线的离心率，
所以，所以双曲线的渐近线方程为，
抛物线的焦点，焦点到渐近线的距离
，解得：，
所以抛物线的方程为.
故选：B
4．C
【分析】根据抛物线方程写出焦点坐标即可.
【详解】抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
5．B
【分析】由抛物线标准方程求准线方程，注意焦点所在位置．
【详解】由题意可知：抛物线的焦点在x轴正半轴，且，即，
故抛物线的准线方程为.
故选：B.
6．C
【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而得到，利用抛物线焦半径公式和抛物线方程可得点坐标，利用两点间距离公式可求得结果.
【详解】由抛物线方程得：，则，
设，，解得：，，
.
故选：C.
7．A
【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解.
【详解】
根据题意作出函数图像，过点N作准线l的垂线，
由抛物线的定义知，
又，所以，所以，
又与轴平行，所以
由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形，
所以，
故选: A.
8．B
【分析】设抛物线的标准方程为，利用可得答案.
【详解】由题可知：设抛物线的标准方程为，
则，得
所以抛物线方程为
故选：B
9．D
【分析】由抛物线可得双曲线的右焦点为，根据题意列式求解，即可得双曲线离心率.
【详解】由抛物线可得焦点，则双曲线的右焦点为，即，
若轴，可设，则，
由题意可得：，解得，
∴双曲线的离心率为.
故选：D.
10．A
【分析】根据给定条件，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.
【详解】抛物线C：的焦点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，
由消去x并整理得：，设，则，
，由得：，而，
则有，因此，解得，则，
所以直线l的斜率.
故选：A
11．D
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线C：的焦点，准线，令点P的横坐标为，
由抛物线定义得，解得，
所以点P的横坐标为6.
故选：D
12．D
【分析】由抛物线的定义求出的值，可得出抛物线的标准方程，进而可求得点、的方程，可求得双曲线的左焦点的坐标，利用双曲线的定义可求得的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的标准方程.
【详解】由抛物线的定义可得，可得，故抛物线的方程为，
将点的坐标代入抛物线方程可得，，解得，
抛物线的焦点为，故双曲线的左焦点为，
则，，，则，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
13． 或
【分析】根据抛物线定义求出P点坐标，代入双曲线方程结合求出可得渐近线方程.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
设双曲线的方程为，故，
设，
则，解得，
代入抛物线方程可得，解得，
所以的坐标为；
因为，解得，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：或；
14．
【分析】根据抛物线焦点得出，即可得解.
【详解】因为抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，
所以，解得，
所以抛物线方程为.
故答案为：
15．
【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，代入两点间的距离公式即可得解.
【详解】因为抛物线C：的焦点为，所以，
由抛物线的定义知（不妨设A在第一象限），
所以.
故答案为：
16．②③
【分析】求直线所过定点与线段端点所成直线斜率，数形结合求的范围判断①；根据圆心到直线距离与圆的半径数量关系确定点的个数判断②；联立抛物线与直线，结合韦达定理、弦长公式求及中点横坐标，进而可判断③.
【详解】由过定点，该点与所成直线斜率为，与所成直线斜率为，
如下图示，要使直线与线段相交，则，①错；

圆心且半径，则到直线距离，
如下图示，在直线左上方圆弧存在一点到直线距离为1，右下方圆弧存在两点到直线距离为1，
所以圆C上恰有3个点到直线的距离为1，②对；

将直线代入抛物线整理得且，则，，
所以，故以为直径的圆C的半径为，
又圆心C的横坐标为，故C到的距离为，
综上，以为直径的圆恰好与直线相切，③对.

故答案为：②③
17．2
【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解.
【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知,
所以,要使最小，只需要最小即可，
由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为，
故答案为：2
18．2
【分析】先得到抛物线的焦点坐标，然后根据题意，利用点到直线的距离和两点间的距离求解.
【详解】抛物线的焦点为，
设双曲线的一条渐近线方程为 ，
由题意得，解得，
双曲线左顶点为，由题意得，由 得，解得，
所以该双曲线的离心率是；
故答案为：2.
19．
【分析】根据抛物线的性质得到其焦点为，准线方程为（），结合条件得到，即可求解.
【详解】因为抛物线（），
所以抛物线的焦点，准线方程为（），
由于抛物线上的点到其焦点的距离为，
则有，解得：，
所以抛物线C的方程为，准线方程为，
故答案为：；.
20．4
【分析】根据双曲线的焦点坐标以及抛物线的准线方程即可求解．
【详解】双曲线即的左焦点为，
由题意可知，抛物线的准线方程为，
由题意可得，解得，
故答案为：．
21．(1)抛物线C的方程为，准线方程为
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得p的值，进而求得结果.
（2）联立直线与抛物线方程得，，代入中计算可得结果.
【详解】（1）由题意知，，解得：，
所以抛物线C的方程为，准线方程为.
（2）由（1）知，，则直线l方程为，设，，
，
则，，
所以，
故△AOB的面积为.
22．抛物线方程为，双曲线的方程为
【分析】根据题意代入点，即可求得抛物线的方程，进而可得双曲线的左焦点，根据题意列式求解，即可得双曲线方程.
【详解】∵抛物线过点，则，解得
故抛物线方程为，
可得抛物线的准线为，则准线与x轴的交点坐标为
即双曲线的左焦点为，且双曲线过点，
设双曲线的半焦距为，则可得，解得
故双曲线方程为，即.
23．(1)；
(2).
【分析】（1）根据抛物线方程确定其焦点坐标，可得椭圆中的c值，结合离心率和公式计算即可求解；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
与椭圆的左焦点F相同，所以，即，
又椭圆的离心率为，即，所以，
则，
故椭圆的标准方程为：.
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，
联立，消去并整理，得，
，可得，
有，得，
则，则点，
因为点在第二象限，则，则，直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，即点，易知点，
，则直线的方程为，
联立，得，即点，
因为，即，即，
可得，则，将代入，
得，则，
，解得.
24．（1）或；
（2）;
（3）.
【分析】（1）根据点所在的象限设抛物线方程，代入点求得解；
（2）根据渐近线方程设出双曲线方程，代入点求解；
（3） 设所求方程为，代入点求解.
【详解】（1）因为在第三象限，
设所求抛物线方程为或，
点代入，可得，
点代入，可得，、
故所求抛物线的标准方程为或.
（2）因为一条渐近线为，
所以设双曲线方程为，
又过点，代入方程可得，
故所求双曲线方程为.
（3）设所求双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线方程为.
25．(1)双曲线的离心率为，渐近线方程为：
(2)抛物线的方程为，抛物线的准线方程为.
(3)
【分析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的离心率和渐近线方程；
（2）由题意出的值，即可求出抛物线的方程和抛物线的准线方程.
（3）由抛物线的定义可得，解方程即可得出答案.
【详解】（1）因为双曲线的方程为，
所以.
所以.所以.
所以双曲线的离心率为，渐近线方程为：
（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，
所以.
抛物线的方程为，抛物线的准线方程为.
（3）因为点为抛物线上一点，
所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.
因为点到拋物线的焦点的距离是5，
即，
所以.