2023-2024学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市武昌实验中学高二（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A. (0,1)B. (1,0)C. (0,116)D. (116,0)
2.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=12a5，则S9S4=( )
A. 15B. 1C. −1D. −9
3.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2 2，P是C上一点，若|PF1|−|PF2|=a，且sin∠PF1F2=13，则椭圆C的方程为( )
A. x24+y23=1B. x26+y23=1C. x26+y24=1D. x24+y22=1
4.已知O为坐标原点，F为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线右支交于点P，线段PF上存在不同的两点A，B满足|FA|=|BP|，且|OA|=|OB|，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2+1D. 3+1
5.对于集合A，B，定义A−B={x|x∈A，且x∉B}.若A={x|x=2k+1,k∈N}，B={x|x=3k+1,k∈N}，将集合A−B中的元素从小到大排列得到数列{an}，则a7+a30=( )
A. 55B. 76C. 110D. 113
6.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，PH⊥l于H，若|HF|=|PF|，O为坐标原点，则△PFH与△OFQ的面积之比为( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐家的世界数学史上第一道数列题.已知数列{an}满足：an=cs2nπ3−sin2nπ3，记bn=(3n−1)an，n∈N*，则数列{bn}的前60项和是( )
A. 130B. −845C. 90D. −860
8.已知椭圆C1：x2m+1+y23−n=1与双曲线C2：x2m+y2n=1有相同的焦点，则双曲线C2的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为( )
A. (π4,π2)B. (π4,π2]C. (0,π4)D. (π4,π3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+3a2=S6，则( )
A. a7=0B. a2+a6=a8C. S13=0D. S6=S8
10.已知曲线C的方程为x2k+y26−k=1(k∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 当0b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，离心率e= 22．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．
(i)求证：A为BC的中点；
(ii)若S△ABOS△BCF=35(S为三角形的面积)，求直线PQ的方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=14y，p=18，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，
故焦点坐标为(0,116)，
故选：C．
把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，(d>0)．
∵a4=12a5，∴a4=12(a4+d)，解得：a4=d，a5=2d．
∴a1=a4−3d=−2d，
∴a1+a4=−d．
∴S9S4=(a1+a9)×9(a1+a4)×4=2a5×9(a1+a4)×4=4d×9−d×4=−9．
故选：D．
设等差数列{an}的公差为d，利用基本量代换求出S9S4=(a1+a9)×9(a1+a4)×4，进而求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2 2，
可得c= 2，|PF1|−|PF2|=a，并且|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF1|=32a，|PF2|=12a，
sin∠PF1F2=13，
可得cs∠PF1F2=2 23，
所以14a2=9a24+8−2×32a×2 2×2 23，
解得a=2，则b= 2，
椭圆方程为：x24+y22=1．
故选：D．
利用椭圆的定义，结合已知条件求出a，通过椭圆的焦距求出c，然后求出b，即可得到椭圆方程．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．
设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，取AB的中点M，可得M为FB的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．
【解答】
解：设双曲线的右焦点为F′，连接PF′，
取AB的中点M，由|FA|=|BP|，
可得M为PF的中点，
|OA|=|OB|，可得OM⊥AB，
由∠PFO=30°，可得|PF′|=2|OM|=c，
即有|PF|=2ccs30°= 3c，
由双曲线的定义可得 3c−c=2a，
即有e=ca=2 3−1= 3+1，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】解：因为A={1,3,5,7,9,11,⋯}，B={1,4,7,10,13,16,19,22,25,⋯}，
所以A−B={3,5,9,11,15,⋯}，所以a7=21.A−B相当于集合A中除去x=6n−5(n∈N*)形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以a30=89．
则a7+a30=110．
故选：C．
根据集合的特征列出集合A与B的前若干项，找出集合A−B中元素的特征，进而即可求解．
本题主要考查数列的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：依题意，由PH⊥于H，得|PH|=|PF|=|HF|，即△PFH是正三角形，∠PFx=∠FPH=60°，
而F(2,0)，则直线PQ的方程为y= 3(x−2)，
由y= 3(x−2)y2=8x，消去y并整理，得3x2−20x+12=0，
令P(x1,y1)，Q(x2,y2)，解得x1=6,x2=23，又准线l：x=−2，
因此|PF|=x1+2=8,|QF|=x2+2=83，
所以△PFH与△OFQ的面积之比S△PFHS△OFQ=12|PF|2sin60°12|QF|⋅|OF|sin60°=8283×2=12．
故选：C．
根据给定的条件，求出直线PQ的方程，与抛物线方程联立求出|PF|，|QF|的长即可求解作答．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：∵an=cs2nπ3−sin2nπ3=cs2nπ3，
∴an+3=cs2(n+3)π3=cs(2nπ3+2π)=cs2nπ3=an，
∴数列{an}是以3为周期的周期数列，
又a1=cs2π3=−12，a2=cs4π3=−12，a3=cs2π=1，
∴{bn}的前60项和为(b1+b4+b7+⋅⋅⋅+b55+b58)+(b2+b5+b8+⋅⋅⋅+b56+b59)+(b3+b6+b9+⋅⋅⋅+b57+b60)
=(2+11+20+⋅⋅⋅+173)×(−12)+(5+14+23+⋅⋅⋅+176)×(−12)+(8+17+26+⋅⋅⋅+179)×1
=−12×20×(2+173)2−12×20×(5+176)2+20×(8+179)2=−875−905+1870=90．
故选：C．
结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{an}是以3为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列{bn}的前60项和．
本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得mn0，n3−n，可得m+n>2，且m+1−(3−n)=m−n即n=1，显然不成立；
m0时，焦点在y轴上，3−n>m+1>0，−1x2，F(1,0)，P(−1,y1)，E为线段PF的中点，则E(0,y12)，
BF=(1−x2,−y2)，EB=(x2,y2−y12)，由BF=2EB，得1−x2=2x2−y2=2(y2−y12)，解得x2=13，y1=3y2，
又y12=4x1，y22=4x2，故B(13,2 33)，A(3,2 3)，D(−1,0)，
可得kDA=2 33+1= 32，kDB=2 313+1= 32，故存在直线m，满足BF=2EB.故B不正确；
C选项：由题意知，E为线段PF的中点，从而设A(x1,y1)，则E(0,y12)，
直线AE的方程：y=y12x1(x+x1)，与抛物线方程y2=4x联立可得：
y=y12x1(y24+x1)，由y12=4x1，代入左式整理得y1y2−2y12y+y13=0，
∴Δ=4y14−4y1y13=0，所以直线AE与抛物线C相切，故C正确；
对于D：设AB的方程my=x+1，联立my=x+1y2=4x，则y2=4(my−1)，∴y1+y2=4m，y1y2=4，
由|AF|+|BF|=|BH|+|AP|=2+y124+y224=2+14[(y1+y2)2−2y1y2]=4m2，
而|CF|=2，由m(4−y22)=4y2，得Δ=16m2−16>0，解得：m2>1，
故4m2>4=2|CF|，故D正确；
故选：ACD．
A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由BF=2EB及抛物线方程求出A，B坐标，再说明D，B，A三点共线，即存在直线m即可，C选项设A(x1,y1)，表示出直线AE，联立抛物线，利用Δ=0即可判断，D选项设出直线m，联立抛物线得到y1y2=4，通过焦半径公式结合基本不等式得|AF|+|BF|>4即可判断．
本题考查了抛物线的定义和性质，考查向量问题，考查韦达定理的应用以及数形结合思想，是难题．
13.【答案】811
【解析】解：设此等差数列为{an}，公差d>0，
由题意可得：a1+a2+a3+a4=2，a7+a8+a9=3，
则4a1+6d=2，3a1+21d=3，联立解得a1=411，d=111．
∴a5=411+4×111=811．
故答案为：811．
设此等差数列为{an}，公差d>0，由题意可得：a1与d的方程组，联立解出即可．
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：由椭圆x216+y212=1知：椭圆中a′=4,b′=2 3，
所以c′= 16−12=2，即椭圆的焦点为(±2,0)，
所以e′=c′a′=12，
由题意知双曲线的离心率e=ca= 1+b2a2=1e′=2，
所以b2a2=3，故双曲线的渐近线方程为y=± 3x，
不妨取椭圆左焦点(−2,0)，则由点到直线距离可得d=|(± 3)×(−2)−0| 1+3=2 32= 3，
同理，椭圆右焦点到渐近线的距离也是 3，
所以椭圆焦点到渐近线的距离为 3．
故答案为： 3．
根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解．
本题考查椭圆与双曲线的几何性质，属中档题．
15.【答案】y2=3x
【解析】解：设|AF|=3|BF|=x，设直线AB的倾斜角为α，
则csα=3x−x3x+x=12，则α=π3，
所以直线AB的方程为y= 3(x−p2)，
联立y2=2pxy= 3(x−p2)，整理得：12x2−20px+3p2=0，
解得：xA=3p2，xB=p6，
所以yA= 3p，yB=− 33p，
所以直线OB的斜率kOB=− 33p6=−2 3，则直线OB的方程y=−2 3x，
令x=−p2，则yC= 3p，
∴yC=yA，即AC/​/x轴，
∴3p2+p2=3，所以p=32，
抛物线的标准方程：y2=3x．
故答案为：y2=3x．
根据抛物线的定义及性质，即可求得直线AB的斜率，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，求得直线OB的方程，即可求得C点坐标，即可求得p的值，求得抛物线方程．
本题考查抛物线的定义及性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，属于中档题．
16.【答案】m=1n=7，m=2n=6，m=3n=5
【解析】解：由题意得C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，
从而m16，
Tn=(32−n)n,n≤16n2−32n+512,n>16，
故答案为：(1)an=33−2n，sn=(32−n)n；
(2)Tn=(32−n)n,n≤16n2−32n+512,n>16．
【解析】(1)通过作差证明{an}是等差数列，进而求通项和；
(2)分段求出{|an|}的表达式，然后求和．
本题主要考察等差数列求通项公式和求和，涉及分类讨论，属基础题．
18.【答案】解：(1)∵点P(2,0)，直线l过点P，
∴设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y−0=k(x−2)，
又C的圆心为(3,−2)，半径r=3，
由弦长为4 2，故弦心距d=1，由|3k+2−2k| k2+1=1，解得k=−34，
所以直线方程为y=−34(x−2)，即3x+4y−6=0，
当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件，
故l的方程为3x+4y−6=0或x=2；
(2)把直线ax−y+1=0，即y=ax+1，代入圆C的方程，消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0，
由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，
故Δ=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−72a>0，解得a0.解得00
解得a=1713．
【解析】(I)把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围；
(II)设出A，B，P的坐标，根据PA=512PB求得x1和x2的关系式，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，联立方程求得a．
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
21.【答案】解：(1)设F′(x,y)，因为点F(1,0)在圆M上，且点F关于圆心M的对称点为F，
则M(x+12,y2)，而|FF′|= (x−1)2+y2，
则12 (x−1)2+y2=12|x+1|，
化简得：y2=4x，所以曲线C的方程为y2=4x…(5分)
(2)①设直线AB：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(1,n)
由x=my+1y2=4x，得y2−4my−4=0，
则y1+y2=4m，y1⋅y2=−4，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1⋅x2=m2y1⋅y2+m(y1+y2)+1=1…(7分)
CA=(x1−1,y1−n)，CB=(x2−1,y2−n)，
CA⋅CB=x1⋅x2−x1−x2+1+y1⋅y2−n(y1+y2)+n2=(2m−n)2≥0恒成立，
则∠ACB不可能是钝角；…(10分)
②假设存在这样的点C，由①知M(2m2+1,2m)
kCM⋅kAB=2m−n2m2+2⋅1m=−1，则n=2m3+4m，则C(−1,2m3+4m)，
则|CM|= (2m2+2)2+(2m3+2m)2=2(m2+1) m2+1，
而|AB|= m2+1|y1−y2|=4(m2+1)，由|CM|= 32|AB|得，m=± 2
所以存在点C(−1,±8 2)满足条件…(15分)
【解析】(1)设F′(x,y)，则可得M(x+12,y2)，圆M的直径为|FF′|= (x−1)2+y2，利用动圆M与y轴相切，即可求得曲线C的方程；
(2)①设直线AB：x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(−1,n)，联立直线与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到CA⋅CB≥0恒成立，可得结论；
②由①知M(2m2+1,2m)，根据CM与AB垂直，斜率积为−1，可得n=2m3+4m，再由|CM|= 32|AB|，求出m值．
本题考查轨迹方程的求解，考查直线的斜率，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)解：∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，离心率e= 22．
∴c=1e=ca= 22a2=b2+c2，解得a= 2，b=c=1，
∴椭圆的方程为x22+y2=1．
(Ⅱ)(i)证明：设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，
C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．
设直线PQ的方程为y=kx+m，(k≠0)，
P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立x22+y2=1y=kx+m，
整理，得：(2k2+1)x2+2(m2−1)=0，
由韦达定理得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2(m2−1)2k2+1，
∴C(−2km2k2+1,m2k2+1)，
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y−m2k2+1=−1k(x+2km2k2+1)，
令y=0，得A(−2km2k2+1,m2k2+1)，
线段PQ的垂直平分线AB的方程为y−m2k2+1=−1k(x+2km2k2+1)，
令y=0，得A(−km2k2+1,0)，令x=0，得B(0,−m2k2+1)，
∵xA=xB+xC2，yA=yB+yC2，
∴A为BC的中点．
(ii)解：由(i)知A为BC中点，
∴S△ABOS△BCF=S△ABO2S△ABF=|AO|2|AF|=xA2(1−xA)=35，
解得xA=611，
∵PF⊥OF，∴(x1−1)(x2−1)+y1y2=0，
由y1=kx1+m，kxy2=kx2+m，
整理，得3m2−1+4km=0，即k=1−3m24m，
又∵xA=−km2k2+1=611，解得m2=3，
∵点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，
∴m>0，∴m= 3，代入k=1−3m24m，解得k=−2 33，
∴直线PQ的方程为y=−2 33x+ 3．
【解析】(Ⅰ)由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，离心率e= 22.列出方程组能求出a= 2，b=c=1，由此能求出椭圆的方程．
(Ⅱ)(i)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．设直线PQ的方程为y=kx+m，(k≠0)，联立x22+y2=1y=kx+m，得：(2k2+1)x2+2(m2−1)=0，由韦达定理、线段PQ的垂直平分线AB的方程，线段PQ的垂直平分线AB的方程为y−m2k2+1=−1k(x+2km2k2+1)，由此能证明A为BC的中点．
(ii)由A为BC中点，得到S△ABOS△BCF=S△ABO2S△ABF=|AO|2|AF|=xA2(1−xA)=35，解得xA=611，由PF⊥OF，得(x1−1)(x2−1)+y1y2=0，由y1=kx1+m，kxy2=kx2+m，得k=1−3m24m，推导出m= 3，由此能求出直线PQ的方程．
本题考查椭圆方程的求法，考查点为线段中点的证明，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．