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【精品同步练习】八年级上册人教版 复习专题精讲学案期中模拟卷（带答案）
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这是一份【精品同步练习】八年级上册人教版 复习专题精讲学案期中模拟卷（带答案），文件包含八上数学人教期中模拟卷02范围1113章docx、人教期中模拟卷02答题卡A3版pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（ ）
A．4或6B．2或4C．4D．6
2．如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（ ）
A．AD∥BCB．BE∥DFC．BE＝DFD．∠A＝∠C
3．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
4．将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE＝2cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，且DB＝4cm，则BC的长是（ ）
A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
6．点A（m﹣1，2）与点B（3，n﹣1）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．32019
7．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
8．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
9．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（ ）
A．α+θ＝90°B．α+2θ＝180°C．α﹣θ＝90°D．2α+θ＝180°
10．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷
二．填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
11．等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是 ．
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 ．
13．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是 ．
14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为 ．
15．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是 ．
16．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为 ．
17．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则OM+ON的长是 ．
18．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 ．
三．解答题（共8小题，共66分）
19．（6分）如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝50°，求∠DBC的度数．
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为28cm，求BE的长．
20．（7分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
21．（7分）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AC的长．
22．（8分）如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题：
（1）求证：∠ABF=∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
23．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
24．（9分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
（1）如图1．∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝x°，∠DAE＝10°，则∠C＝ ；
（3）F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请说明∠1，∠2与∠B的数量关系．
25．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）连接CE，求证AD垂直平分CE．
（3）若AB＝10，AF＝6，求CF的长．
26．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，求点C的坐标；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
2023-2024学年八年级数学上学期期中模拟考试02
（人教版11~13章，测试范围：三角形、全等三角形、轴对称）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．（2023春•市南区校级期中）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（ ）
A．4或6B．2或4C．4D．6
【分析】根据三角形三边关系，可令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．
【解答】解：由题意，令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
∵第三边长为偶数，
∴第三边长是4或6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．
2．（2022秋•华容区期末）如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（ ）
A．AD∥BCB．BE∥DFC．BE＝DFD．∠A＝∠C
【分析】在△ADF与△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
A、添加AD∥BC，可得到∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．
B、添加BE∥DF，可得到∠BEC＝∠AFD，不能判定△ADF≌△CBE，故本选项符合题意．
C、添加BE＝DF，由全等三角形的判定定理SSS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．
D、添加∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2023•岳麓区校级三模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2022秋•诸暨市期中）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据题意和三角板的特点，可以得到∠E和∠ABC的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠BCE的度数，最后根据三角形外角的性质得到∠AFC的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，∠E＝30°，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∵∠B＝45°，∠AFC＝∠B+∠BCE，
∴∠AFC＝∠B+∠BCE＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2022秋•荣成市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE＝2cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，且DB＝4cm，则BC的长是（ ）
A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
【分析】由角平分线的性质得CD＝DE＝2，等量代换后求出BC的长．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，
DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝2，
∵BC＝BD+CD
＝BD+DE
＝4+2＝6 （cm）；
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质的应用，熟练掌握角平分线的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键
6．（2022秋•枣阳市期末）点A（m﹣1，2）与点B（3，n﹣1）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．32019
【分析】根据平面直角坐标系中两点关于y轴对称的特点，求出m，n的值，进而求出结果．
【解答】解：∵点A（m﹣1，2）与点B（3，n﹣1）关于y轴对称，
∴m﹣1＝﹣3，n﹣1＝2，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴（m+n）2023＝（﹣2+3）2023＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是关于x轴，y轴对称的点的坐标特点，掌握这一特征是关键．
7．（2022秋•平定县期中）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB＝∠ACD＝108°，再由邻补角得出∠ACB＝∠EAC＝72°，结合图形代入求解即可．
【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠EAB＝∠ACD=180°×(5−2)5=108°，
∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，
故选：B．
【点评】主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
8．（2022秋•铁西区月考）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】根据线段中点的定义可得AC＝4，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，然后根据△ABE的周长为12，可得AB+BC＝12，从而求出△ABC的周长，即可解答．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD＝4，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE的周长为12，
∴AB+BE+AE＝12，
∴AB+BE+EC＝12，
∴AB+BC＝12，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（ ）
A．α+θ＝90°B．α+2θ＝180°C．α﹣θ＝90°D．2α+θ＝180°
【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根据△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°−12α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°+12α，从而90°+12α+θ＝180°，即可答案．
【解答】解：∵∠BAC＝α，
∴∠B+∠C＝180°﹣α，
∵△BED≌△CFE，
∴∠B＝∠C＝90°−12α，∠BDE＝∠FEC，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°−12α）＝90°+12α，
∴∠FEC+∠BED＝90°+12α，
∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°，
∴90°+12α+θ＝180°，
∴α+2θ＝180°，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
10．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由等边三角形的性质可得BF⊥AC，可判断①，由等边三角形的性质可求∠A+∠FDH＝180°，由四边形内角和定理可得∠AHD+∠AFD＝180°，可判断②，由“SAS”可证△CFE≌△GFD，可得CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，可判断③和④，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点，
∴BF⊥AC，故①正确，
∵△ABC和△EFD是等边三角形，
∴∠A＝∠EDF＝60°＝∠EFD，EF＝FD，
∴∠FDH＝120°，
∴∠A+∠FDH＝180°，
∴∠AHD+∠AFD＝180°，故②正确；
如图，连接FG，
∵F、G分别为AC和BC的中点，
∴CG=12AC＝CF=12BC，
又∵∠FCG＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF＝FG＝CG，∠FCG＝60°＝∠FGC，
∴∠FGD＝120°，
∵∠CFG＝∠EFD＝60°，
∴∠CFE＝∠GFD，
在△CFE和△GFD中，
CF=FG∠CFE=∠GFDEF=FD，
∴△CFE≌△GFD（SAS），
∴CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，
∴CD＝CG+GD＝CF+CE，∠BCE＝60°，故③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
11．等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是 ．
【分析】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，
∴其一个底角的度数是55°或70°．
故答案为：70°或55°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意等边对等角的性质的应用，注意分类讨论思想的应用．
12．（2023春•宿迁期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 ．
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝310°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝310°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣310°＝230°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD=12（∠BCD+∠CDE）＝115°，
∴∠CPD＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
13．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是 ．
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．
14．（2023春•城阳区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为 ．
【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．
【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．
故答案是：10．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
15．（2022秋•东平县校级月考）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是 ．
【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可．
【解答】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝34°，
故选：34°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
16．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为 ．
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
∠F=∠DGC∠EDF=∠GDCDE=DC，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
17．（2023春•东莞市期中）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则OM+ON的长是 ．
【分析】过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF＝PG＝PE，然后根据三角形的面积求出PF＝PE＝PG＝2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝8，进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，
∵P是△MON外角平分线的交点，
∴PF＝PG＝PE，
∵MN＝2，△PMN的面积是2，
∴12MN•PF＝2，
∴PF＝2，
∴PG＝PE＝2，
∵△OMN的面积是8，
∴△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝8，
∴12OM•PG+12ON•PE﹣2＝8，
∴OM+ON＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝130°
∴∠A′+∠A″＝180°﹣130°＝50°，
由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．
故答案为100°．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
三．解答题（共8小题，共66分）
19．（6分）（2022春•毕节市期中）如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝50°，求∠DBC的度数．
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为28cm，求BE的长．
【分析】（1）已知∠A＝50°，易求∠ABC的度数．又因为DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数．
（2）同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴∠A＝∠ABD＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝BE，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝18cm．
∵△ABC的周长＝28cm，
∴AB＝28﹣18＝10cm，
∴BE＝AE＝5cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．
20．（7分）（2023春•大洼区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠DEF＝∠CBE，由等角的补角相等，可得出∠BEC＝∠EFD，再结合∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，即可证出∠FDE＝∠C；
（2）由（1）可得出∠C的度数，在△BCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠CBE的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBE，
∵∠DFB+∠BEC＝180°，∠DFB+∠EFD＝180°，
∴∠BEC＝∠EFD，
又∵∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，
∴∠FDE＝∠C；
（2）解：∵∠FDE＝∠C，∠FDE＝50°，
∴∠C＝50°．
在△BCE中，∠C＝50°，∠BEC＝110°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝2×20°＝40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用平行线的性质及等角的补角相等，找出∠DEF＝∠CBE及∠BEC＝∠EFD；（2）利用三角形内角和定理，求出∠CBE的度数．
21．（7分）（2022秋•辛集市期末）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AC的长．
【分析】（1）由ASA即可证明△ABC≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质得DE＝BC＝10cm，AC＝CE，再由点B是EC的中点，得EC＝2BC＝20cm，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠AFC＝90°，
∴∠BAC+∠ACF＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠ACF＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
∠BAC=∠DCEAC=CE∠ACB=∠CED，
∴△ABC≌△CDE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴DE＝BC＝10cm，
∵点B是EC的中点，
∴CE＝2BC＝20cm，
∴AC＝CE＝20cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22．（8分）如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题：
（1）求证：∠ABF=12∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于点G，根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解；
（2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角对等边”即可得解．
【解答】（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG=12∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG=12∠BCD；
（2）解：△BCF是等腰三角形，
理由：如图，∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记“等角对等边”及“等边对等角”是解题的关键．
23．（8分）（2022秋•商水县期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
【分析】（1）求出∴△AED≌△CEF，根据全等得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵在△AED和△CEF中
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．（9分）（2023春•法库县期末）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
（1）如图1．∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝x°，∠DAE＝10°，则∠C＝ ；
（3）F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请说明∠1，∠2与∠B的数量关系．
【分析】（1）三角形根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求得∠BAE，再根据三角形的高和直角三角形的性质求得∠BAD，进而由角的和差关系求得结果；
（2）分两种情况，根据直角三角形的性质求得∠BAD，再由角的和差关系求得∠BAE，由角平分线的定义求得∠BAC，最后根据三角形内角和定理求得结果；
（3）根据邻补角性质和角平分线定义用∠1、∠2分别表示∠BGH和∠BHG，再由三角形内角和定理得结果．
【解答】解：（1）在△ABC 中，∠B＝70°，∠C＝30°，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE是△ABC 的角平分线．
∠BAE=12∠BAC−12×80°−40°
∵线段AD是△ABC 中BC边上的高，
∠ADB＝90°
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB﹣180°﹣70°﹣90°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°，
（2）当AE在AD右侧时，如图1（a），
∵∠B＝x°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣x，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝100°﹣x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝200°﹣2x，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣x﹣200°+2x＝（x﹣20）°；
当AE在AD左侧时，如图1（b），
∵∠B＝x°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣x，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝80°﹣x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝160°﹣2x，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣x﹣160°+2x＝（x+20）°，
综上∠C的度数为（x﹣20）°或（x+20）°，
故答案为：（x﹣20）°或（x+20）°；
（3）∠1+∠2＝2∠B．
理由：由折叠知，∠BGH=12∠BGF，∠BHG=12∠BHF，
∵∠BGF＝180°﹣∠1，∠BHF＝180°﹣∠2，
∴∠BGH＝90°−12∠1，∠BHG＝90°−12∠2，
∴∠B＝180°﹣∠BGH﹣∠BHG=12∠1+12∠2，
即∠1+∠2＝2∠B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，折叠性质，邻补角的性质，关键是熟练运用这些知识解决问题．
25．（9分）（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°， DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）连接CE，求证AD垂直平分CE．
（3）若AB＝10，AF＝6，求CF的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质可得DC＝DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF＝EB；
（2）利用“HL“证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC＝AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC＝DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；
（3）设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝10﹣x＝AC＝AF+FC＝6+x，即可建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DF=DBDC=DE，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADDC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE．
∴点A在CE的垂直平分线上，
∵DC＝DE，
∴点D在CE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分CE；
（3）解：设CF＝BE＝x，
∵AB＝10，AF＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣x，AC＝AF+FC＝6+x，
∵AE＝AC，
∴10﹣x＝6+x，
解得：x＝2．
∴CF＝2．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
26．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，求点C的坐标；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
【分析】（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，可求解；
（2）过点E作EF⊥x轴于F，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得BO＝DF＝8，OD＝EF，由等腰直角三角形的性质可得∠BAO＝45°，∠EAF＝∠AEF＝45°，可得结论；
（3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO＝GC，AO＝BG＝4，再由“AAS”可证△CPG≌△FPB，可得PB＝PG＝4．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°＝∠HBC+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
∠CHB=∠AOB∠BCH=∠ABOBC=AB，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，
∴OH＝14，
∴点C（6，14），
（2）过点E作EF⊥x轴于F，
∴∠EFD＝∠BDE＝∠BOD＝90°，
∴∠BDO+∠EDF＝90°＝∠BDO+∠DBO，
∴∠DBO＝∠EDF，
在△BOD和△DFE中，
∠BOD=∠EFD∠DBO=∠EDFBD=ED，
∴△BOD≌△DFE（AAS），
∴BO＝DF＝8，OD＝EF，
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝OB＝8，
∴∠BAO＝45°，
∵OA＝DF＝8，
∴OD＝AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BA⊥AE；
（3）过点C作CG⊥y轴G，
由（1）可知：△ABO≌△BCG，
∴BO＝GC，AO＝BG＝8，
∵BF＝BO，∠OBF＝90°，
∴BF＝GC，∠CGP＝∠FBP＝90°，
又∵∠CPG＝∠FPB，
∴△CPG≌△FPB（AAS），
∴BP＝GP，
∴BP=12BG＝4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（ ）
A．4或6B．2或4C．4D．6
2．如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（ ）
A．AD∥BCB．BE∥DFC．BE＝DFD．∠A＝∠C
3．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
4．将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE＝2cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，且DB＝4cm，则BC的长是（ ）
A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
6．点A（m﹣1，2）与点B（3，n﹣1）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．32019
7．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
8．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
9．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（ ）
A．α+θ＝90°B．α+2θ＝180°C．α﹣θ＝90°D．2α+θ＝180°
10．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷
二．填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
11．等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是 ．
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 ．
13．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是 ．
14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为 ．
15．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是 ．
16．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为 ．
17．如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则OM+ON的长是 ．
18．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 ．
三．解答题（共8小题，共66分）
19．（6分）如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝50°，求∠DBC的度数．
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为28cm，求BE的长．
20．（7分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
21．（7分）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AC的长．
22．（8分）如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题：
（1）求证：∠ABF=∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
23．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
24．（9分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
（1）如图1．∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝x°，∠DAE＝10°，则∠C＝ ；
（3）F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请说明∠1，∠2与∠B的数量关系．
25．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）连接CE，求证AD垂直平分CE．
（3）若AB＝10，AF＝6，求CF的长．
26．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，求点C的坐标；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
2023-2024学年八年级数学上学期期中模拟考试02
（人教版11~13章，测试范围：三角形、全等三角形、轴对称）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．（2023春•市南区校级期中）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为（ ）
A．4或6B．2或4C．4D．6
【分析】根据三角形三边关系，可令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．
【解答】解：由题意，令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
∵第三边长为偶数，
∴第三边长是4或6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．
2．（2022秋•华容区期末）如图，点E，点F在直线AC上，AE＝CF，AD＝CB，下列条件中不能判断△ADF≌△CBE的是（ ）
A．AD∥BCB．BE∥DFC．BE＝DFD．∠A＝∠C
【分析】在△ADF与△CBE中，AE＝CF，AD＝CB，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
A、添加AD∥BC，可得到∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．
B、添加BE∥DF，可得到∠BEC＝∠AFD，不能判定△ADF≌△CBE，故本选项符合题意．
C、添加BE＝DF，由全等三角形的判定定理SSS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．
D、添加∠A＝∠C，由全等三角形的判定定理SAS可以判定△ADF≌△CBE，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．（2023•岳麓区校级三模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学B．北京大学
C．中国人民大学D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2022秋•诸暨市期中）将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据题意和三角板的特点，可以得到∠E和∠ABC的度数，再根据平行线的性质，可以得到∠BCE的度数，最后根据三角形外角的性质得到∠AFC的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，∠E＝30°，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∵∠B＝45°，∠AFC＝∠B+∠BCE，
∴∠AFC＝∠B+∠BCE＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2022秋•荣成市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，DE＝2cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，且DB＝4cm，则BC的长是（ ）
A．6cmB．4cmC．10cmD．以上都不对
【分析】由角平分线的性质得CD＝DE＝2，等量代换后求出BC的长．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，
DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝2，
∵BC＝BD+CD
＝BD+DE
＝4+2＝6 （cm）；
故选：A．
【点评】本题考查角平分线的性质的应用，熟练掌握角平分线的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键
6．（2022秋•枣阳市期末）点A（m﹣1，2）与点B（3，n﹣1）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．32019
【分析】根据平面直角坐标系中两点关于y轴对称的特点，求出m，n的值，进而求出结果．
【解答】解：∵点A（m﹣1，2）与点B（3，n﹣1）关于y轴对称，
∴m﹣1＝﹣3，n﹣1＝2，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴（m+n）2023＝（﹣2+3）2023＝1．
故选：C．
【点评】本题考查的是关于x轴，y轴对称的点的坐标特点，掌握这一特征是关键．
7．（2022秋•平定县期中）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB＝∠ACD＝108°，再由邻补角得出∠ACB＝∠EAC＝72°，结合图形代入求解即可．
【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠EAB＝∠ACD=180°×(5−2)5=108°，
∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，
故选：B．
【点评】主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
8．（2022秋•铁西区月考）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于F，直线FD交BC于点E，连接AE，若AD＝2，△ABE的周长为12，则△ABC的周长为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【分析】根据线段中点的定义可得AC＝4，根据题意可得ED是AC的垂直平分线，从而可得EA＝EC，然后根据△ABE的周长为12，可得AB+BC＝12，从而求出△ABC的周长，即可解答．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AC＝2AD＝4，
由题意得：
ED是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ABE的周长为12，
∴AB+BE+AE＝12，
∴AB+BE+EC＝12，
∴AB+BC＝12，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝12+4＝16，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（ ）
A．α+θ＝90°B．α+2θ＝180°C．α﹣θ＝90°D．2α+θ＝180°
【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根据△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°−12α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°+12α，从而90°+12α+θ＝180°，即可答案．
【解答】解：∵∠BAC＝α，
∴∠B+∠C＝180°﹣α，
∵△BED≌△CFE，
∴∠B＝∠C＝90°−12α，∠BDE＝∠FEC，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°−12α）＝90°+12α，
∴∠FEC+∠BED＝90°+12α，
∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°，
∴90°+12α+θ＝180°，
∴α+2θ＝180°，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
10．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由等边三角形的性质可得BF⊥AC，可判断①，由等边三角形的性质可求∠A+∠FDH＝180°，由四边形内角和定理可得∠AHD+∠AFD＝180°，可判断②，由“SAS”可证△CFE≌△GFD，可得CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，可判断③和④，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点，
∴BF⊥AC，故①正确，
∵△ABC和△EFD是等边三角形，
∴∠A＝∠EDF＝60°＝∠EFD，EF＝FD，
∴∠FDH＝120°，
∴∠A+∠FDH＝180°，
∴∠AHD+∠AFD＝180°，故②正确；
如图，连接FG，
∵F、G分别为AC和BC的中点，
∴CG=12AC＝CF=12BC，
又∵∠FCG＝60°，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF＝FG＝CG，∠FCG＝60°＝∠FGC，
∴∠FGD＝120°，
∵∠CFG＝∠EFD＝60°，
∴∠CFE＝∠GFD，
在△CFE和△GFD中，
CF=FG∠CFE=∠GFDEF=FD，
∴△CFE≌△GFD（SAS），
∴CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，
∴CD＝CG+GD＝CF+CE，∠BCE＝60°，故③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（每小题3分，共8小题，共24分）
11．等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是 ．
【分析】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，
∴其一个底角的度数是55°或70°．
故答案为：70°或55°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意等边对等角的性质的应用，注意分类讨论思想的应用．
12．（2023春•宿迁期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 ．
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝310°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠CPD的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝310°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣310°＝230°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD=12（∠BCD+∠CDE）＝115°，
∴∠CPD＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
13．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是 ．
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．
14．（2023春•城阳区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为 ．
【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答．
【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD＝DE，AC＝CE＝9，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．
故答案是：10．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
15．（2022秋•东平县校级月考）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是 ．
【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可．
【解答】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD=12∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝34°，
故选：34°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
16．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为 ．
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
∠F=∠DGC∠EDF=∠GDCDE=DC，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
17．（2023春•东莞市期中）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则OM+ON的长是 ．
【分析】过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF＝PG＝PE，然后根据三角形的面积求出PF＝PE＝PG＝2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝8，进行计算即可解答．
【解答】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，
∵P是△MON外角平分线的交点，
∴PF＝PG＝PE，
∵MN＝2，△PMN的面积是2，
∴12MN•PF＝2，
∴PF＝2，
∴PG＝PE＝2，
∵△OMN的面积是8，
∴△OMP的面积+△ONP的面积﹣△PMN的面积＝8，
∴12OM•PG+12ON•PE﹣2＝8，
∴OM+ON＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 ．
【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝130°
∴∠A′+∠A″＝180°﹣130°＝50°，
由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°．
故答案为100°．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
三．解答题（共8小题，共66分）
19．（6分）（2022春•毕节市期中）如图所示，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝50°，求∠DBC的度数．
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为28cm，求BE的长．
【分析】（1）已知∠A＝50°，易求∠ABC的度数．又因为DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数．
（2）同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．
【解答】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴∠A＝∠ABD＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝BE，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝18cm．
∵△ABC的周长＝28cm，
∴AB＝28﹣18＝10cm，
∴BE＝AE＝5cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．
20．（7分）（2023春•大洼区校级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，∠DFB+∠BEC＝180°．
（1）求证：∠FDE＝∠C；
（2）若BE平分∠ABC，∠BEC＝110°，∠FDE＝50°，求∠ABC的度数．
【分析】（1）由DE∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠DEF＝∠CBE，由等角的补角相等，可得出∠BEC＝∠EFD，再结合∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，即可证出∠FDE＝∠C；
（2）由（1）可得出∠C的度数，在△BCE中，利用三角形内角和定理，可求出∠CBE的度数，再结合角平分线的定义，即可求出∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBE，
∵∠DFB+∠BEC＝180°，∠DFB+∠EFD＝180°，
∴∠BEC＝∠EFD，
又∵∠FDE＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD，∠C＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC，
∴∠FDE＝∠C；
（2）解：∵∠FDE＝∠C，∠FDE＝50°，
∴∠C＝50°．
在△BCE中，∠C＝50°，∠BEC＝110°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠BEC＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBE＝2×20°＝40°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用平行线的性质及等角的补角相等，找出∠DEF＝∠CBE及∠BEC＝∠EFD；（2）利用三角形内角和定理，求出∠CBE的度数．
21．（7分）（2022秋•辛集市期末）如图，已知△ABC和△CDE均是直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，AB⊥CD于点F．
（1）求证：△ABC≌△CDE；
（2）若点B是EC的中点，DE＝10cm，求AC的长．
【分析】（1）由ASA即可证明△ABC≌△CDE；
（2）由全等三角形的性质得DE＝BC＝10cm，AC＝CE，再由点B是EC的中点，得EC＝2BC＝20cm，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠AFC＝90°，
∴∠BAC+∠ACF＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠ACF＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
∠BAC=∠DCEAC=CE∠ACB=∠CED，
∴△ABC≌△CDE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴DE＝BC＝10cm，
∵点B是EC的中点，
∴CE＝2BC＝20cm，
∴AC＝CE＝20cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
22．（8分）如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题：
（1）求证：∠ABF=12∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于点G，根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解；
（2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角对等边”即可得解．
【解答】（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG=12∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG=12∠BCD；
（2）解：△BCF是等腰三角形，
理由：如图，∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记“等角对等边”及“等边对等角”是解题的关键．
23．（8分）（2022秋•商水县期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
【分析】（1）求出∴△AED≌△CEF，根据全等得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；
（2）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵在△AED和△CEF中
AE=CE∠AED=∠CEFDE=FE
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．（9分）（2023春•法库县期末）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
（1）如图1．∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝x°，∠DAE＝10°，则∠C＝ ；
（3）F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请说明∠1，∠2与∠B的数量关系．
【分析】（1）三角形根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求得∠BAE，再根据三角形的高和直角三角形的性质求得∠BAD，进而由角的和差关系求得结果；
（2）分两种情况，根据直角三角形的性质求得∠BAD，再由角的和差关系求得∠BAE，由角平分线的定义求得∠BAC，最后根据三角形内角和定理求得结果；
（3）根据邻补角性质和角平分线定义用∠1、∠2分别表示∠BGH和∠BHG，再由三角形内角和定理得结果．
【解答】解：（1）在△ABC 中，∠B＝70°，∠C＝30°，
∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵AE是△ABC 的角平分线．
∠BAE=12∠BAC−12×80°−40°
∵线段AD是△ABC 中BC边上的高，
∠ADB＝90°
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB﹣180°﹣70°﹣90°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°，
（2）当AE在AD右侧时，如图1（a），
∵∠B＝x°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣x，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝100°﹣x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝200°﹣2x，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣x﹣200°+2x＝（x﹣20）°；
当AE在AD左侧时，如图1（b），
∵∠B＝x°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣x，
∵∠DAE＝10°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝80°﹣x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝160°﹣2x，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣x﹣160°+2x＝（x+20）°，
综上∠C的度数为（x﹣20）°或（x+20）°，
故答案为：（x﹣20）°或（x+20）°；
（3）∠1+∠2＝2∠B．
理由：由折叠知，∠BGH=12∠BGF，∠BHG=12∠BHF，
∵∠BGF＝180°﹣∠1，∠BHF＝180°﹣∠2，
∴∠BGH＝90°−12∠1，∠BHG＝90°−12∠2，
∴∠B＝180°﹣∠BGH﹣∠BHG=12∠1+12∠2，
即∠1+∠2＝2∠B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，折叠性质，邻补角的性质，关键是熟练运用这些知识解决问题．
25．（9分）（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°， DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）连接CE，求证AD垂直平分CE．
（3）若AB＝10，AF＝6，求CF的长．
【分析】（1）利用角平分线的性质可得DC＝DE，再利用“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可证明CF＝EB；
（2）利用“HL“证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AC＝AE，所以点A在CE的垂直平分线上，根据DC＝DE，可得点D在CE的垂直平分线上，进而可以解决问题；
（3）设CF＝BE＝x，则AE＝AB﹣BE＝10﹣x＝AC＝AF+FC＝6+x，即可建立方程求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
又AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DF=DBDC=DE，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB．
（2）证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=ADDC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE．
∴点A在CE的垂直平分线上，
∵DC＝DE，
∴点D在CE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分CE；
（3）解：设CF＝BE＝x，
∵AB＝10，AF＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣x，AC＝AF+FC＝6+x，
∵AE＝AC，
∴10﹣x＝6+x，
解得：x＝2．
∴CF＝2．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定是关键．
26．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，0），点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）如图1，若OB＝6，求点C的坐标；
（2）如图2，若OB＝8，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB；
（3）如图3，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF，连接CF，交y轴于点P，求线段BP的长．
【分析】（1）如图1，过点C作CH⊥y轴，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，可求解；
（2）过点E作EF⊥x轴于F，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得BO＝DF＝8，OD＝EF，由等腰直角三角形的性质可得∠BAO＝45°，∠EAF＝∠AEF＝45°，可得结论；
（3）由（1）可知△ABO≌△BCG，可得BO＝GC，AO＝BG＝4，再由“AAS”可证△CPG≌△FPB，可得PB＝PG＝4．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠BCH+∠HBC＝90°＝∠HBC+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
∠CHB=∠AOB∠BCH=∠ABOBC=AB，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝OB＝6，BH＝AO＝8，
∴OH＝14，
∴点C（6，14），
（2）过点E作EF⊥x轴于F，
∴∠EFD＝∠BDE＝∠BOD＝90°，
∴∠BDO+∠EDF＝90°＝∠BDO+∠DBO，
∴∠DBO＝∠EDF，
在△BOD和△DFE中，
∠BOD=∠EFD∠DBO=∠EDFBD=ED，
∴△BOD≌△DFE（AAS），
∴BO＝DF＝8，OD＝EF，
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝OB＝8，
∴∠BAO＝45°，
∵OA＝DF＝8，
∴OD＝AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴BA⊥AE；
（3）过点C作CG⊥y轴G，
由（1）可知：△ABO≌△BCG，
∴BO＝GC，AO＝BG＝8，
∵BF＝BO，∠OBF＝90°，
∴BF＝GC，∠CGP＝∠FBP＝90°，
又∵∠CPG＝∠FPB，
∴△CPG≌△FPB（AAS），
∴BP＝GP，
∴BP=12BG＝4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
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