2023-2024学年陕西省榆林市定边县九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省榆林市定边县九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
A．B．0C．6D．9
5．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB=BCB．AC⊥BDC．AC=BDD．∠ABD=∠CBD
6．已知点在反比例函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的周长为5，则的周长为（ ）
A．25B．20C．15D．10
8．已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③；④当时，随的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．已知，则的值是 ．
10．在一个不透明的盒子中有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后再放回盒子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.3左右，由此可估计盒子中的白球有 个．
11．将二次函数的图像向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点在轴的负半轴上，连接．若的面积为，则的值为 ．
13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．计算：．
15．解方程：2x2+x﹣6＝0．
16．如图，点E，F分别在菱形的边上，且．求证：．

17．在茂密的森林中，如果没有外界事物的帮助，人们走一段时间就很可能会回到最开始的地方．这种“瞎转圈”的现象指人蒙上眼睛后行走的是一个圆圈，而这种现象中圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数，当一个人的两腿迈出的步长差为时，他蒙上眼睛所走的圆圈的半径是．
(1)求该函数表达式；
(2)若小王蒙上眼睛走出的圆圈半径是，求他两腿迈出的步长差．
18．如图，在中，点P为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
19．2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等．
(1)首次将安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是___________；
(2)若第2次安排两名航天员出舱，用列表或画树状图的方法求航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率．
20．已知关于的方程一个根是，求的值及方程的另一个根
21．长安塔位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性．小智想利用所学的三角函数的知识测量塔的高度．他先走到点处，测得此时塔尖的仰角是，再向前走了32.5米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知小智的眼睛离地面高度是1.5米，请你帮他求出长安塔的高度．（参考数据：）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图像交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当时，的取值范围是多少？
23．某服装店销售一款毛衣，当每件售价为60元时，每星期可以卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可以多卖10件，已知该款毛衣每件成本为40元．
(1)当每件毛衣售价定为多少元时，该店一星期可以获得2210元的利润？
(2)当每件毛衣售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，已知在中，，，点D、E在上，连接、，且．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
25．如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．
26．如图，正方形边长为4，点E在边上（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．
(1)求证：；
(2)若的面积为，求的长；
(3)在（2）的条件下，取，的中点M，N，连接，求的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐个判断即可，熟记二次函数的定义是解本题的关键．
【详解】A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．函数是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了正切的定义，根据正切的定义求解即可，熟练掌握角的正切值等于角的对边比邻边是解此题的关键．
【详解】解：在中，，
，
故选：B．
3．C
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看是一个矩形被分为3部分，上面的分线是实线，下面的分线是虚线．
故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意能看到的线用实线画，看不到的线用虚线画是解题的关键．
4．D
【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式列出关于c的方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故选D．
5．C
【分析】根据菱形的判定定理解答即可．
【详解】选项A，当AB=BC时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形；选项B，当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形；
选项C，当AC=BD时，可判定平行四边形ABCD是矩形，不能判断平行四边形ABCD是菱形；
选项D，当∠ABD=∠CBD，易证得AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解本题的关键．
6．C
【分析】本题考查反比例函数中比较函数值大小，涉及反比例函数图象与性质、求反比例函数值等知识，将代入反比例函数，比较函数值即可得到答案，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：点在反比例函数的图像上，
，
，
，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查位似性质，涉及位似图形的位似比等于其中相似三角形的相似比、相似三角形性质等知识，根据相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟练掌握相似性质和位似性质是解决问题的关键．
【详解】解：与是位似图形，点是位似中心，若，
与的相似比是，
的周长为5，
由相似三角形性质可知的周长：的周长，即，解得，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及利用二次函数图像与性质判断代数式符号、y与x的变化情况等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：由题中条件及图像可知，（抛物线开口向下）；，且；；，且抛物线与轴的交点坐标为和；
①如图所示，在抛物线上取点，则当时，，①正确；
②如图所示，在抛物线上取点，则当时，，
，
，则，解得，
，
，
，②正确；
③，
，则，
，
，③正确；
④由于抛物线开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④错误；
故选：A．
9．
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：由，
得，，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．
10．15
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：估计盒子中的白球有（个），
故答案为：．
11．
【分析】本题考查抛物线的平移，涉及二次函数图像与性质、抛物线平移法则：左加右减、上加下减，根据题中平移要求即可得到答案，熟记函数平移法则是解决问题的关键．
【详解】解：将二次函数的图像向左平移2个单位长度，得到的新抛物线，
新抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12．6
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数列式可得结论．设，则，由的面积为即可求解．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．7.5
【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，即可求解．
【详解】连接、、，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当A、P、C三点共线时，
，
∴的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的综合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，准确计算．
【详解】解：原式
．
15．x1＝1.5，x2＝﹣2．
【分析】利用因式分解法进行解方程即可.
【详解】解：因式分解得：，
可得或，
解得：，
【点睛】本题主要考查因式分解法解方程，熟练运用因式分解是关键.
16．见解析
【分析】证即可．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质．熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
17．(1)与的函数表达式为
(2)他两腿迈出的步长差是
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、求自变量等知识，熟练掌握反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）由题意，设与的函数表达式为，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）根据题意，将代入解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设与的函数表达式为，
把代入上式，得，解得，
与的函数表达式为；
（2）解：将代入，得，解得，
答：他两腿迈出的步长差是．
18．见解析
【分析】本题考查直线、射线、线段的概念、表示及作图，熟练根据题干要求做图是解题的关键，根据题意要想使，只需做即可．
【详解】解：如图所示，点Q即为所求，
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意，列出图表或树状图，利用概率公式计算概率即可．
（1）直接根据概率计算即可．
（2）根据列表法得出所有等可能情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：从三名航天员中安排1名航天员出舱，则航天员汤洪波被选中出舱的概率是
（2）根据题意，列表如下：
由上表得共有6种可能结果，航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的情况有2种，故
航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为．
20．，方程的另一个根为
【分析】本题考查了一元二次方程的解的含义，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．把代入方程求出的值，再求解方程即可．
【详解】解：把代入，
得：，
解得：，
∴原方程化为：，
解得：，，
∴方程的另一个根为．
21．长安塔的高度约为99米
【分析】本题考查的是解直角三角形—俯角仰角问题、矩形的性质，根据矩形的性质和三角函数解答即可，熟练掌握俯角仰角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意，得，
则四边形、四边形、四边形均为矩形，
米，米，
在中，，
，
设米，则米，
在中，，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
米，
（米），
答：长安塔的高度约为99米．
22．(1)
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法将点的坐标代入解方程即可得到答案；
（2）当时，的取值范围是反比例函数图像在直线上方部分对应的范围，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：将点代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
∵点在直线上，
，
，
∵点在反比例函数的图像上，
，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立方程组，解得，
，，
时，令，，则，即反比例函数图像在直线上方，过与的交点作轴的垂线，垂直于轴的三条直线将平面分成4部分，如图所示：
观察图像可知，当时，的取值范围是或．
23．(1)当每件毛衣售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润
(2)当每件毛衣售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是2250元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用：
（1）根据获得的利润，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设每星期的销售利润为W元，根据题意，得到二次函数的解析式，由二次函数性质可得到答案；
准确理解题意，正确列出一元二次方程、二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设该款毛衣每件售价为x元．
根据题意，得，
整理得，
解得或，
答：当每件毛衣售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润；
（2）解：设每星期的销售利润为W元，
根据题意，得．
，
∴当时，W取最大值，最大值为2250，
答：当每件毛衣售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是2250元．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，加上，则可判断；
（2）过A点作于H点，如图，根据等腰三角形的性质得到，再利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，则，然后利用得到，从而利用比例的性质可求出的长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）过A点作于H点，如图，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．
25．(1)
(2)安全，说明见解析
【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、利用二次函数图像与性质解决实际问题等知识，读懂题意，将实际问题转化为数学知识是解决问题的关键．
（1）根据题意设该抛物线的表达式为，利用待定系数法，把代入表达式解方程即可确定函数关系式；
（2）根据题意得到左侧最低点横坐标为，将其代入表达式解得左侧最低点的纵坐标为1.8，进而由题中限制条件判断即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意知，顶点，设该抛物线的表达式为，
把代入表达式得，解得，
∴这条抛物线的表达式为；
（2）解：∵中间的灯笼正好悬挂在A处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，
∴左侧最低点横坐标为，
由（1）知抛物线的表达式为，
∴当时，，
∴左侧最低点的纵坐标为1.8，
∵灯笼长为，
∴最低点到水面的距离为，
∵降水水面会上升，
，
∴最低点距水面，
∴现在的悬挂方式安全．
26．(1)证明见解析
(2)5或
(3)或
【分析】（1）先证得，再利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可设，则，再由得到方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长即可；
（3）连接并延长交于点P，连接PF，可证明，得到，再根据3或1，是的中位线，求出的长即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴可设，
∴，
∴
，
∴，
解得或，
∴或，
∴或；
（3）解：如图所示，连接并延长交于点P，连接，
∵点M是的中点，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，或1，
当时，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴；
当时，，
∴，
∴，
同理可得；
综上所述，的长度为或．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
汤洪波
唐胜杰
江新林
汤洪波
—
汤洪波，唐胜杰
汤洪波，江新林
唐胜杰
唐胜杰，汤洪波
—
唐胜杰，江新林
江新林
江新林，汤洪波
江新林，唐胜杰
—