【精品同步练习】沪科版八年级数学上册第十一周测试题（知识梳理+含答案）

这是一份【精品同步练习】沪科版八年级数学上册第十一周测试题（知识梳理+含答案），文件包含沪科版八年级数学上册第十一周测试题154原卷版docx、沪科版八年级数学上册第十一周测试题154解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．在△ABC内确定一点到三边的距离相等，则这一点在△ABC的（ ）
A．两个内角的平分线的交点处B．两边高线的交点处
C．两边中线的交点处D．两边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】根据三角形的三个内角的角平分线交于一点，这一点到三边的距离相等，即可进行解答．
【详解】解：△ABC内确定一点到三边的距离相等，则这一点是两个内角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形内角的角平分线的性质，熟练掌握三角形的三个内角的角平分线交于一点，这一点到三边的距离相等是解题的关键．
2．以下不是命题的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．定理一定是真命题
C．画线段cmD．全等三角形对应角相等
【答案】C
【分析】利用命题的定义进行判断即可确定正确的选项．
【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题，不符合题意；
B、定理一定是真命题，是命题，不符合题意；
C、画线段cm，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
D、全等三角形对应角相等，是命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题的定义，解题的关键是了解“对一件事情作出判断的句子”是命题，难度不大．
3．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（ ）
A．28B．21C．14D．7
【答案】C
【分析】作DH⊥BA于H，根据角平分线的性质，得出DH＝DE＝4，从而可以计算S△ABD．
【详解】解：作DH⊥BA于H．
∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB，
∴DH＝DE＝4，
∴S△ABD＝×7×4＝14，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．在中，是边上的高，平分交于点，，，则的面积是（ ）
A．24B．12C．16D．11
【答案】B
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
6．在中，，若，平分交于点，且：：，则点到线段的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的长度，根据角平分线的性质即可求出答案．
【详解】解：，：：，
，，
平分，，∠C=90°，
，
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线，解题的关键是求出的长度，本题属于基础题型．
7．如图，是的角平分线，若，则点的距离是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】过D作于E，则DE是点D到AC的距离，根据角平分线性质得出BD＝DE，代入求出即可．
【详解】解：过D作DE⊥AC于E，则DE是点D到AC的距离，
∵AD是∠BAC的角平分线，，，
∴BD＝DE，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根据题意易得△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度．
【详解】解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝30°，
∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，
∴∠AEP＝60°，BE＝EC，
又AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠EAP＝60°，
则∠AEP＝∠EAP＝60°，
∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，
在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，
∴BE＝EC＝4，
∴AC＝CE+AE＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质，利用三角形外角性质得到∠AEB＝60°是解题的关键．
10．如图，在等腰直角△ABC中，＝90°，AB＝AC，BD平分交AC于点D，DE⊥BC于点E，下面结论：①AB＝EB；②AD＝DC；③；④AD＝EC，正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到AD=ED，证明Rt△ABD≌Rt△EBD得到AB=EB，即可判断①；根据直角三角形中斜边大于直角边即可判断②；只需要证明△DEC的周长= AC+CE，再由AB=AC=BE即可判断③；证明△DEC是等腰直角三角形即可判断④；
【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴AD=ED，
又∵BD=BD，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=EB，故①正确；
在Rt△DEC中，CD＞DE，
∴CD＞AD=DE，故②错误；
∵AB=AC，
∴△DEC的周长=DE+CD+EC=AD+CD+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC，故③正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴∠C=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴DE=CE=AD，故④正确；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明Rt△ABD≌Rt△EBD是解题的关键．
二、填空题
11．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，BD＝7，则点D到AB的距离为______．
【答案】3
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE＝CD，即可得出答案．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵BC＝10，BD＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
12．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为______．
【答案】18
【分析】过点P作于点D，由角平分线的性质定理可知，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】如图，过点P作于点D．
∵是的平分线，，，
∴，
∴．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确的作出辅助线是解题关键．
13．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=10，BD=8，则点D到AB的距离为_____．
【答案】2
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE=CD=BC-BD=10-8=2，即可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E．
∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵BD=8，BC=10，
∴DE=CD=BC-BD=10-8=2，
即点D到AB的距离为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是_____．
【答案】4
【分析】根据角平分线的性质可得DF＝DE＝2，根据建立方程即可求解．
【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵，AB＝6，
∴10＝×6×2+×AC×2，
∴AC＝4，
故答案为：4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
三、解答题
15．尺规作图：如图，在两条公路和之间，要建一个加油站，使加油站到两村庄、的距离相等，且到两条公路的距离相等．保留作图痕迹，不写作图步骤．
【答案】见解析
【分析】作∠AOB的平分线，再作线段MN的垂直平分线，两线的交点P就是所求点．
【详解】解：如图所示：
点P即为所求．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法．
16．如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，．求证：平分．
【答案】证明见解析
【分析】根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的性质可得DE＝DF，再根据角平分线的判定即可求解．
【详解】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD．
17．如图，在中，平分，，于点，点在上，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；
（2）设CF＝x，则AE＝12−x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．
（1）
证明：平分，，于，
．
在Rt△CDF与Rt△EBD中，
，
Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），
．
（2）
解：设，则，
平分，，
．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
，即，
解得，即．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
18．如图，在中，，．
(1)作的平分线交于点E，过B作的垂线，垂足为点F；
(2)请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)两对全等三角形是△ACE≌△ADE和△ACE≌△CBF，证明见解析
【分析】（1）根据作已知角的平分线和过已知点作已知直线的垂线的作法，即可求解；
（2）根据平分，可得，可得到；再由，BF⊥CD，可得∠ACD=∠CBF，然后根据，可得∠AEC=∠AED=90°，可证得．
（1）
解：如图，AE和BF即为所求；
（2）
解：
选择，
证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
选择，
∵，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB=90°，
∴∠BCD+∠CBF=90°，
∴∠ACD=∠CBF，
∵，
∴∠AEC=∠AED=90°，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∵AC=BC，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，熟练掌握作已知角的平分线和过已知点作已知直线的垂线的作法，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
(1)求证：BE＝CF；
(2)如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
（1）
证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
20．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．
(1)证明：BE＝DF．
(2)连接EF，则AC、EF之间有何关系．
【答案】(1)见解析
(2)AC垂直平分EF
【分析】（1）由“HL”可证Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出BE＝DF；
（2）由“HL”可证Rt△ACE≌Rt△ACF，得AF＝AE，再由等腰三角形的性质即可得出结论．
（1）
证明：∵AC平分∠BAD，且CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，
在Rt△CDF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴BE＝DF；
（2）
解：AC垂直平分EF，理由如下：
如图，在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∵AC平分∠BAD，
∴AC垂直平分EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求证：CH平分∠AHE．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE可得∠ACD＝∠BCE，再用SAS可证明△ACD≌△BCE；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，再用△ACD≌△BCE推导∠MDC=∠NEC，从而运用AAS判定△CDM≌△CEN ，从而推出CM＝CN，最后用角平分线的判定定理即可得证．
（1）
解：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）
过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，则∠CMD=∠CNE=90°
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，即∠MDC=∠NEC
在△CDM与△CEN中，
，
∴△CDM≌△CEN
∴CM＝CN，
∵CM⊥AD，CN⊥BE， CM＝CN
∴CH平分∠AHE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握SAS和AAS判定三角形全等的方法和角平分的判定定理是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=EB．
(2)求证：AB=AF+2EB．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，即可得出结论；
（2）通过HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，得AC=AE，再进行等量代换即可．
（1）
证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
在Rt△CDF与Rt△EBD中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF=EB；
（2）
证明：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵CF=BE，
∴AB=AC+EB=AF+2EB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键．
23．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．
(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见详解
(3)，
【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；
（2）解答方法同（1）；
（3）解答方法同（2）．
（1）
，，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，
∴四边形OCPD的内角和为360°，
同理，四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（2）
成立，理由如下：
过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（3）
成立，，，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键．