四川省泸县第一中学2023-2024学年高二上学期（12月）第三学月考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第一中学2023-2024学年高二上学期（12月）第三学月考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数z的共轭复数为,若复数z满足,则( )
A.B.C.D.
2．下面的事件：
①在标准大气压下,水加热到时会沸腾;
②,,则;
③一枚硬币连掷两次,两次都出现正面向上．
其中是不可能事件的为( )
A.②B.①C.①②D.③
3．如图一个电路中有A,B,C三个电器元件, 每一个电器元件正常通电的概率均为0.9,且每一个电器元件,是否正常通电相互独立,则该电路能正常通电的概率为( ).
4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是
A.B.C.D.
5．已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．已知,直线和直线与两坐标轴围成一个四边形.则使这个四边形面积最小的k值为.
A.2B.C.D.
7．已知抛物线的焦点为圆的圆心,又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,则( )
A.12B.14C.16D.18
8．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、,P是它们的一个交点,则,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
9．已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若,,与,,均不能构成空间的一个基底,则下列结论中正确的有( )
A.,,不能构成空间的一个基底
B.,,不能构成空间的一个基底
C.,,不能构成空间的一个基底
D.,,能构成空间的一个基底
10．将一枚骰子向上抛掷一次,设事件{向上的一面出现奇数点},事件{向上的一面出现的点数不超过2},事件{向上的一面出现的点数不小于4},则下列说法中正确的有( )
A.
B.{向上的一面出现的点数大于3}
C.{向上的一面出现的点数不小于3}
D.{向上的一面出现的点数为2}
11．已知圆的方程为,则下列结论中正确的是( )
A.实数k的取值范围是
B.实数k的取值范围是
C.当圆的周长最大时,圆心坐标是
D.圆的最大面积是π
12．已知O为坐标原点,椭圆E的方程为,离心率为,为E上一点,过点A作两条直线分别与E交于B,C两点,且直线AB与直线AC的倾斜角互补,则下列结论正确的是( )
A.椭圆E的长轴长为
B.直线BC的斜率为定值
C.点O到直线BC的距离为定值
D.若,则直线BC的方程为
二、填空题
13．抛物线上一点到焦点的距离为__________．
14．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,两人获一等奖的概率分别为和,若两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为_____.
15．已知向量,,,且,则____________．
16．已知,分别为双曲线的左、右焦点,P是C左支上一点,,若存在点M满足,则C的离心率为__________.
三、解答题
17．已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.
18．已知圆和点．
（1）过点M向圆O引切线,求切线的方程;
（2）求以点M为圆心,且被直线截得的弦长为8的圆M的方程;
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD为菱形,点E在SD上,且．
（1）若M,N分别为SA,SC的中点,证明：平面平面ACE;
（2）若,,,平面ABCD,求直线BS与平面ACE所成角的正弦值．
20．眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活,每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分;2分的概率;
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.
21．已知抛物线的焦点是曲线的一个焦点,O为坐标原点,点M为抛物线C上任意一点,过点M作x轴的平行线交抛物线的准线于P,直线OP交抛物线于点N.
（1）求抛物线C的方程;
（2）求证：直线MN过定点G,并求出此定点的坐标.
22．已知椭圆的一个顶点为,焦距为．
（1）求椭圆E的方程;
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当时,求k的值．
参考答案
1．答案：B
解析：设则其共轭复数,所以,
所以由复数相等的概念可知,解得,,所以.
故选：B.
2．答案：B
解析：对于①,在标准大气压下,水加热到沸腾的概率为0,为不可能事件;
对于②,由乘法交换律可知：,,则发生概率为1,为必然事件;
对于③,一枚硬币连掷两次,两次都出现正面向上为随机事件.
故选：B.
3．答案：C
解析：要想该电路能正常通电,则要A正常,BC中至少一个正常,
故该电路能正常通电的概率为.
故选：C.
4．答案：B
解析：由题意可得关于实数m的不等式组：,解得：,
综上可得：m的取值范围是.
故选：B.
5．答案：C
解析：由题知,在直三棱柱中,平面ABC,平面ABC,
平面ABC,平面ABC,
,,
,,
.
,,,
异面直线与所成角的余弦值为
故选：C.
6．答案：D
解析：易知,直线和都过定点.
在中,令,得;在中,令,得.
联结OP.则
.
所以,当时,四边形PAOB的面积最小.
故选：D.
7．答案：C
解析：由题可得抛物线焦点为,则,即,则抛物线方程为,
直线AB的倾斜角为60°,则斜率为,故直线AB的方程为,
联立直线与抛物线可得,
设,,则,,则.
故选：C.
8．答案：A
解析：设P为第一象限的交点,,,
则由椭圆和双曲线的定义可知,,
在中由余弦定理得：,
即：,,即：,
,
当且仅当,即时,取得最小值为3．
故选：A．
9．答案：ABC
解析：因为,,与,,均不能构成空间的一个基底,
且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线所以空间五点A,B,C,D,E共面,
所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底,
所以ABC正确,D错误.
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：由题意可知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,3,5;
事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1,2;
事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4,5,6;
所以{向上的一面出现的点数为2},故A错误;
{向上的一面出现的点数为4或5或6},故B正确;
{向上的一面出现的点数为3或4或5或6},故C正确;
,故D错误;
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：将圆的方程为化为标准式为,
由,解得,故A正确,B错误;
当时,圆的半径最大,则圆的周长以及面积最大,
此时半径为1,圆心坐标为,则圆的面积为,故CD正确;
故选：ACD.
12．答案：BD
解析：对于选项A,由题意得,,结合,
得,,所以椭圆E的长周长为,故A错误.
对于选项B,由A得椭圆E的方程为,设,,
由题意知直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,
与椭圆的方程联立,得,
则,得,,即.
因为直线AB与直线AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k,同理可得,故直线BC的斜率,为定值,故B正确.
对于选项C,由B知可设直线BC的方程为,
则原点O到直线BC的距离,不是定值,故C错误.
对于选项D,联立直线BC与椭圆的方程,得,
整理得,,即,则,,
由,得,整理得,得,,此时直线BC的方程为,故D正确.
故选：BD.
13．答案：3
解析：因为,所以点在该抛物线上,
又抛物线的准线方程为：,所以点到焦点的距离为：,
故答案为：3.
14．答案：
解析：设甲乙分别获一等奖的概率为和,
则这两人中恰有一人获得一等奖的概率
故答案为：.
15．答案：3
解析：因为,,,所以,
可得,因为,解得,故答案为3.
16．答案：
解析：
因为,所以M是的中点,又O为的中点,
所以,因为,所以,所以,
设,则,,且P在双曲线上,
则,即,又,即,所以.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）3
解析：（1）椭圆的焦点坐标为,
设双曲线的方程为,,
所以双曲线的半焦距.又由,得,所以,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知,双曲线C的焦点坐标为,渐近线方程为,
所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为.
18．答案：（1）或
（2）
解析：（1）若过点M的直线斜率不存在,直线方程为：,为圆O的切线;
当切线l的斜率存在时,设直线方程为：,即,
圆心O到切线的距离为：,解得：
直线方程为：．
综上,切线的方程为：或
（2）点到直线的距离为：,
又圆被直线截得的弦长为8,由垂径定理得：,
圆M的方程为：
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）
证明：连接BD交AC于点O,连接ND交CE于G,取SE的中点F,连接NF,
因为M,N分别为SA,SC的中点,所以,
因为平面ACE,平面ACE,所以平面ACE,
因为,F为SE的中点,所以,
因为N为SC的中点,所以,所以G为ND的中点,
因为底面ABCD为菱形,所以O为BD的中点,所以,
因为平面ACE,平面ACE,所以平面ACE,
因为,所以平面平面ACE
（2）
取BC的中点H,连接AH,
因为平面ABCD,AH,平面ABCD,所以,,
因为底面ABCD为菱形,所以为等边三角形,所以,
因为,所以,
所以以A为原点,AH,AD,AS所在的直线分别为x,y,z建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
因为,所以,
所以,,,
设平面ACE的一个法向量为,则,
令,则,设直线BS与平面ACE所成角为,
则,
所以直线BS与平面ACE所成角的正弦值为
20．答案：（1）;
（2）
解析：（1）记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲队总得分为2分”为事件B,
甲队总得分为0分,即甲队三人都回答错误,其概率;
甲队总得分为2分,即甲队三人中有1人答错,其余两人答对,其概率;
（2）记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分乙队得1分”为事件D;
事件C即乙队三人中有2人答错,其余1人答对,
则,
甲队得2分乙队得1分即事件B、C同时发生,则．
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）曲线,即,所以曲线是双曲线,
,所以,,所以抛物线C的方程为.
（2）抛物线的准线方程为,设,且,
所以,直线OP的方程为,
由解得,,所以,
①当,即时,直线MN的方程为,过点.
②当,即时,直线MN的方程为,
整理得MN的方程为,此时直线恒过定点
综上所述,直线MN的方程恒过定点.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意可得,,又,
所以,所以椭圆方程为;
（2）依题意过点的直线为,
设、,不妨令,
由,消去y整理得,
所以,解得,
所以,,
直线AB的方程为,令,解得,
直线AC的方程为,令,解得,
所以
,
所以,即
即
即
整理得,解得.